当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届高考数学大一轮复习 第8章 平面解析几何学案 文 新人教版


第八章

平面解析几何

第一节 直线的倾斜角与斜率、 直线的方程[基础知识深耕] 一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0°. (2)倾斜角的范围为[0°,180°). 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k=tan_α ,倾斜角是 90°的直线没有 斜率. (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=

y2-y1 y1-y2 = . x2-x1 x1-x2

【拓展延伸】 斜率与倾斜角的关系 π? ? 1.求斜率可用 k=tan α ?α ≠ ?,其中 α 为倾斜角,斜率 k 是一个实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存 2? ? π 在斜率.倾斜角为 的直线不存在斜率. 2

? π? ?π ? 如图(1),α ∈?0, ?时,随 α 增大 k 单调递增且 k≥0;当 α ∈? ,π ?时,随 α 增大 k 单调递增且 k<0. 2? ? ?2 ?

(1)

(2)
1

8?1?1 π 如图(2),k2>k1>0>k4>k3(斜率为 k1,k2,k3,k4 的直线对应的倾斜角为 α 1,α 2,α 3,α 4),π >α 4>α 3> >α 2>α 1>0. 2 2.在平面直角坐标系中,直线越陡,|k|越大. 二、直线方程 名称 点斜式 斜截式 两点式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 过两点(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2, 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 y 轴的直线 不包括平行于坐标轴的直线 不包括垂直于坐标轴和过原点的 直线
2

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0(A +B ≠0)
2

y1≠y2)
在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,

截距式 一般式

b(a,b≠0)

平面内所有直线都适用

【易错提醒】 使用直线方程应注意的问题 使用直线方程时,一定要注意限制条件,以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件是直线必须有斜率.截距式的使用条件是截距存 在且不为零等. 【方法技巧】 巧用斜率公式求最值 对于求形如 k=

y2-y1 c+dx 的分式、y= 的最值问题,可利用定点与动点的相对位置,转化为求直线斜率的范围,数形结合进行求解. x2-x1 a+bx
[基础能力提升]

1.给出下列命题 ①根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置; ②坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率; ③直线的倾斜角越大,其斜率就越大; ④直线的斜率为 tan α ,则其倾斜角为 α ; ⑤斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. 其中正确的是( A.①③④ ) B.②③ C.① D.①④⑤

【解析】 由确定直线的几何要素和直线的斜率与倾斜角的关系可知①正确,②③④⑤均错误. 【答案】 C 2.直线 x- 3y+a=0(a 为常数)的倾斜角 α 为( A. π 6 3 π ,∴α = . 3 6
2

) π B. 3 2 C. π 3 5 D. π 6

【解析】 由题意可知 tan α = 【答案】 A

3.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 C.1 或 3 【解析】 由题意可知 4-m =1,∴m=1. m+2 【答案】 A 4.过点(-1,2)且倾斜角为 150°的直线方程为( A. 3x-3y+6+ 3=0 C. 3x+3y+6+ 3=0 D. 3x+3y-6+ 3=0 ) B.4 D.1 或 4

)

B. 3x-3y-6+ 3=0

【解析】 由点斜式得,y-2=tan 150°(x+1),即 3x+3y-6+ 3=0. 【答案】 D

1.一条规律——斜率与倾斜角的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α ≠90°时,k=tan α .直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为 90°的直线无斜 率. 2.两种方法——求直线方程的方法 (1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组).求出待定系数,从而求出直线方程. 3.三个注意点 (1)求直线的倾斜角时要注意其范围. (2)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在. (3)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点.

3

第二节

两条直线的位置关系

[基础知识深耕] 一、两条直线的位置关系 1.两直线的平行与垂直 (1)两条直线平行: ①对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2?k1=k2. ②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直: ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1⊥l2?k1?k2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1⊥l2. 2.两条直线的交点 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组?
?A1x+B1y+C1=0, ? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解.

【拓展延伸】 常见的直线系方程 1.设定点 P(x0,y0)的直线系:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A +B ≠0),还可以表示为 y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为 x=x0). 2.平行于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Ax+By+λ =0(λ ≠C). 3.垂直于直线 Ax+By+C=0 的直线系方程:Bx-Ay+λ =0. 4.过两条已知直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线 A2x+
2 2

B2y+C2=0).
二、三种距离 1.两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1? . 2.点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离
2 2

d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2

|C1-C2| 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2 [基础能力提升] 1.下列说法正确的是( )

①若直线 l1 与 l2 的斜率相等,则 l1∥l2; ②若直线 l1∥l2,则两直线的斜率相等; ③若直线 l1,l2 的斜率均不存在,则 l1∥l2; ④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行. A.①③ B.②④ C.①③④ D.④
4

【解析】 ①③中直线 l1,l2 有可能重合,②中直线 l1,l2 有可能斜率均不存在,只有④正确.

【答案】 D 2.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则点 P 的坐标为( A.(3,0) C.(0,-3) 【解析】 由题意,设 P(0,y),则 B.(-3,0) D.(0,3) )

y-1

=2,∴y=3,选 D. 0+1 【答案】 D 3.若直线 ax+y+5=0 与 x-2y+7=0 垂直,则 a 的值为 ( A.2 C.-2 【解析】 由 a?1+1?(-2)=0 得 a=2. 【答案】 A 4.已知直线 l1:3x-4y+4=0 与 l2:6x-8y-12=0,则直线 l1 与 l2 之间的距离是( A. C. 8 5 4 2 D. 5 5 B.2 ) 1 B. 2 1 D.- 2 )

|4+6| 【解析】 l2 可化为:3x-4y-6=0,故 l1,l2 之间的距离 d= =2. 5 【答案】 B

三个注意点: (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时, 要单独考虑. (2)求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应化为一般式. (3)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且 x,y 的系数对应相同.

5

第三节 圆的方程 [基础知识深耕] 一、圆的定义及方程 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2.圆的标准方程 (x-a) +(y-b) =r (r>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径长. 特别地,当圆心在原点时,圆的方程为 x +y =r (r>0). 3.圆的一般方程 对于方程 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

E? 1 ? D 2 2 (1)当 D +E -4F>0 时,表示圆心为?- ,- ?,半径长为 2 2 2 ? ?

D2+E2-4F的圆;

? ? 2 2 (2)当 D +E -4F=0 时,表示一个点?- ,- ?; 2? ? 2
D E
(3)当 D +E -4F<0 时,它不表示任何图形. 【拓展延伸】 二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 当 A=C≠0,B=0 且 D +E -4AF>0 时,二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示以?- ,- ?为圆心, 2A? ? 2A
2 2 2 2 2 2 2 2

?

D

E?

D2+E2-4AF 为半 2|A|

径的圆. 【方法技巧】 求圆的方程的一般步骤: (1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程. 二、点 A(x0,y0)与圆 C:(x-a) +(y-b) =r (r>0)的位置关系 1.几何法 (1)|AC|<r?点 A 在圆内; (2)|AC|=r?点 A 在圆上; (3)|AC|>r?点 A 在圆外. 2.代数法 (1)(x0-a) +(y0-b) <r ?点 A 在圆内; (2)(x0-a) +(y0-b) =r ?点 A 在圆上; (3)(x0-a) +(y0-b) >r ?点 A 在圆外.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6

[基础能力提升] 1.给出下列命题: ①方程(x-a) +(y-b) =t (t∈R)表示圆心为(a,b),半径为 t 的一个圆; 1 ? a ? 2 2 2 ②方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆心为?- ,-a?,半径为 2 ? 2 ?
2 2 2 2 2 2 2

-3a -4a+4的圆;

2

③若点 M(x0,y0)在圆 x +y +Dx+Ey+F=0 外,则 x0+y0+Dx0+Ey0+F>0. 其中正确的是( A.①② ) B.②③ C.① D.③

【解析】 ①错误,如当 t=0 时,该方程表示一个点,②错误,如 a=1 时,该方程不表示任何图形;③正确.故选 D. 【答案】 D 2.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0
2 2

) B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

【解析】 圆的圆心坐标为(1,2),代入四个选项可知 C 符合,选 C. 【答案】 C 3.若点(1,1)在圆(x-a) +(y+a) =4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 【解析】 因为点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a) +(1+a) <4, ∴-1<a<1. 【答案】 A 4.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________. 【解析】 设圆心坐标为(a,0),易知 圆 C 的方程为(x-2) +y =10. 【答案】 (x-2) +y =10
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.0<a<1 D.a=±1

?a-5? +?-1? = ?a-1? +?-3? ,解得 a=2,∴圆心为(2,0),半径为 10,∴

2

2

2

2

7

1.一个条件——二元二次方程与圆的关系 二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件为 D +E -4F>0. 2.两种方法——圆及圆心的确定 (1)确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法:是指根据题设条件恰当选择圆的方程的 形式,进而确定其中的三个参数. (2)求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上. ②圆心在任一弦的中垂线上. ③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 [基础知识深耕] 一、直线与圆的位置关系与判断方法 方程 过程 依据 Δ >0 代数法 联立方程组消去 x(或 y)得一元二次方程,计算 Δ =b -4ac
2 2 2 2 2

结论 相交 相切 相离 相交 相切 相离

Δ =0 Δ <0

d<r
几何法 计算圆心到直线的距离 d,比较 d 与半径 r 的关系.相交时弦长为 2 r -d
2 2

d=r d>r

【拓展延伸】 圆的切线方程常用结论 (1)过圆 x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r . (2)过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r .
8
2 2 2 2 2 2 2 2

(3)过圆 x +y =r 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=r . 二、圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1) +(y-b1) =r1(r1>0), 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 方法 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

d=|r1-r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)

【拓展延伸】 圆系方程 设两圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0(D1+E1-4F1>0)和 C2:x +y +D2x+E2y+F2=0(D2+E2-4F2>0),则圆系方程:x +y +D1x+E1y +F1+λ (x +y +D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1),① 若令 λ =-1,则 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,② 其中:(1)若 C1 和 C2 相交,则①式表示过两圆交点的圆,但不包括 C2;②表示两圆的公共弦所在的直线方程.(2)若两圆相切,则②式 表示内公切线方程.(3)若两圆相离,则②式表示两圆连心线 C1C2 的垂线的方程. [基础能力提升] 1.给出下列命题: ①如果直线与圆组成的方程组只有一个实数解,则直线与圆相切; ②直线 y=kx+1 可能与圆 x +y =1 相离; ③从圆外一点 P(x0,y0)引圆的切线,则切线必有两条. 其中正确的有( A.①②③ ) B.①③ C.①② D.②③
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

【解析】 ∵直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),故直线与圆必有公共点,所以②错误,①③均正确. 【答案】 B 2.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x +y -4y=0 截得的弦长为( A. 3 【解析】 由题意可知,该直线方程为 3x-y=0. 又圆 x +y -4y=0 的圆心为(0,2),半径 r=2. 2 所以圆心到直线的距离 d= =1. 2 弦长为 2 4-1=2 3. 【答案】 D
9
2 2 2 2

) D.2 3

B.2 C. 6

3.过坐标原点且与圆 x -4x+y +2=0 相切的直线方程为( A.x+y=0 C.x+y=0 或 x-y=0 【解析】 设所求直线为 y=kx,由题意可知 |2k| 1+ k
2

2

2

)

B.x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0

= 2,∴k=±1.

故所求直线方程为 x+y=0 或 x-y=0. 【答案】 C 4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x +(y-3) =1 内切,则此圆的方程是( A.(x-4) +(y-6) =6 C.(x-4) +(y-6) =36 【解析】 圆 x +(y-3) =1 的圆心为(0,3),半径 r=1. 设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =36,由题意得?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)
2

B.(x±4) +(y-6) =6 D.(x±4) +(y-6) =36
2 2

2

? a2+?b-3?2=6-1, ?b=6,

解得?

?a=±4, ? ?b=6, ?

故所求圆的方程为(x±4) +(y-6) =36. 【答案】 D

2

2

1.两种方法 计算直线被圆截得的弦长的常用方法: (1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法:运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k |xA-xB| = ?1+k ?[?xA+xB? -4xAxB]. 2.三个性质 解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
10
2 2 2

第五节 椭圆 [基础知识深耕] 一、椭圆的定义及标准方程 1.定义 把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭 圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 2a>|F1F2|,则集合 P 为椭圆; (2)若 2a=|F1F2|,则集合 P 为线段; (3)若 2a<|F1F2|,则集合 P 为空集. 2.标准方程 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为: 2+ 2=1(a>b>0);中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为: + 2=1(a>b>0). 【拓展延伸】 焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理. 以椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P(x0,y0)(y0≠0)和焦点 F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2 中,若∠F1PF2=θ ,注意以下公式的灵 活运用: (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c =|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|?cos θ ; 1 θ 2 (3)S△PF1F2= |PF1||PF2|?sin θ =b tan . 2 2 二、椭圆的几何性质 标准方程
2 2 2

x2 y2 a b

y2 a2

x2 b

x2 y2 a b

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x 2 + =1(a>b>0) a2 b 2

图形

范围 对称性 性质 顶点 轴 焦距

-a≤x≤a -b≤x≤b 对称轴:坐标轴 对称中心:原点

-b≤y≤b -a≤y≤a

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c
11

离心率

c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系

【拓展延伸】 1.点 P(x0,y0)和椭圆的关系

x2 y2 0 0 (1)点 P(x0,y0)在椭圆内? 2+ 2<1; a b
(2)点 P(x0,y0)在椭圆上? 2+ 2=1; (3)点 P(x0,y0)在椭圆外? 2+ 2>1. 2.一些特殊结论 (1)|PF1|的范围为[a-c,a+c]; 2b (2)通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被圆锥曲线截得的弦叫通径)长度为 .
2

x2 y2 0 0 a b x2 y2 0 0 a b

a

[基础能力提升] 1.给出下列命题: ①动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆; ②椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距); ③方程 Ax +By =1(A>0,B>0)表示椭圆方程; ④P 是椭圆上的任意一点,F1,F2 为其两个焦点,则|PF1|?|PF2|≤a . 其中正确的是( A.①②③④ ) B.②③ C.①② D.②④
2 2 2

【解析】 ①错误,因为|AB|=4;②正确,因为|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c;③错误,如 A=B=1,其表示圆;④正确,因为|PF1|

?2a?2 2 +|PF2|=2a,∴|PF1||PF2|≤? ? =a . ?2?
【答案】 D 2.一椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则该椭圆的方程为( A. C. + =1 169 144 + =1 169 25 )

x2 x2

y2

B. D.

+ =1 144 169

x2

y2

y2

+ =1 144 25

x2

y2

【解析】 由题意可知 c=5,2a=26,即 a=13. ∴b =a -c =144. 又椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆方程为 + =1.故选 A. 169 144 【答案】 A
12
2 2 2

x2

y2

x y 1 3.已知椭圆的焦点在 y 轴上,若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值是( 2 m 2
A. C. 2 3 5 3
2 2

2

2

)

4 B. 3 D. 8 3 2 1 8 1- = ,∴m= . m 2 3

【解析】 由题意可知 a =m,b =2,e= = 【答案】 D

c a

b 1 1- 2= ,即 a 2

2

4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. C. 4 5 2 5 3 B. 5 D. 1 5

)

【解析】 由题意可知,2a,2b,2c 成等差数列. 即 2b=a+c,又 c =a -b ,所以 3a -2ac-5c =0,
2 2 2 2 2

c 3 解得 3a=5c,即 e= = . a 5
【答案】 B

1.两种方法——求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a ,b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于 a,b,c 的方程组,解出 a ,
2 2 2

b2,从而写出椭圆的标准方程.
2.三种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为

a-c.
13

(2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b =a -c 就可求得 e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法.但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴. 第六节 双曲线

2

2

2

[基础知识深耕] 一、双曲线的定义及标准方程 1.双曲线定义 平面内动点 P 与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a<2c) ,则点 P 的轨迹叫做双曲线. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0);

x2 y2 a b

y2 x2 (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
【拓展延伸】 1.焦点三角形的面积 利用定义、余弦定理可推出焦点三角形的面积 S△PF1F2=

b2
θ tan 2

(其中点 P 为双曲线上异于顶点的任意一点,∠F1PF2=θ ).

2.方程 Ax +By =1(AB<0)表示的曲线特征

2

2

x y 1 2 2 方程 Ax +By =1(AB<0)包含双曲线的焦点在 x 轴上或 y 轴上两种情况,方程可变形为 + =1,当 <0 时,表示焦点在 y 轴上的双 1 1 A A
1 曲线;当 <0 时,表示焦点在 x 轴上的双曲线.

2

2

B

B

二、双曲线的几何性质 标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 焦点 顶点

|x|≥a,y∈R

|y|≥a,x∈R 对称轴:x 轴,y 轴;对称中心:原点

F1(-c,0),F2(c,0) A1(-a,0),A2(a,0)

F1(0,-c),F2(0,c) A1(0,-a),A2(0,a)
14

轴 几 何 性 质 焦距 离心率 渐近线

线段 A1A2,B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为 2a,虚轴长为 2b |F1F2|=2c 焦距与实轴长的比:e∈(1,+∞)

b y=± x a c2=a2+b2

a y=± x b

a,b,c 的关系

【拓展延伸】 1.点 P(x0,y0)和双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的关系 (1)P 在双曲线内? 2- 2>1(含焦点);

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 a b

x2 y2 0 0 (2)P 在双曲线上? 2- 2=1; a b
(3)P 在双曲线外? 2- 2<1. 2.一些特殊的结论 (1)|PF1|的取值范围为[c-a,+∞); 2b (2)通径长为 ;
2

x2 y2 0 0 a b

a

(3)焦点到渐近线的距离为 b. [基础能力提升] 1.给出下列命题: ①平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线; ②平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线; ③方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. 其中正确的个数有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

x2 y2 m n

【解析】 ①错误,由题意可知|PF1|-|PF2|=6,故点 P 的轨迹是双曲线的下支. ②错误,∵|F1F2|=8,∴点 P 的轨迹是两条射线. ③错误,如 m<0,n<0,则其表示焦点在 y 轴上的双曲线. 【答案】 A 2.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( 16 20 A.1 C.1 或 17 【解析】 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8, 又|PF1|=9,
15

x2

y2

)

B.17 D.以上答案均不对

∴|PF2|=1 或 17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1, ∴|PF2|=17. 【答案】 B 3.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( A.y=±2x 1 C.y=± x 2 【解析】 ∵e= 3,∴ = 3,即
2 2

x2 y2 a b

)

B.y=± 2x D.y=± 2 x 2

c a

a2+b2 =3, a2

∴b =2a ,∴双曲线方程为 2- 2=1, a 2a ∴渐近线方程为 y=± 2x. 【答案】 B 4.若点 P(2,0)到双曲线 2- 2=1 的一条渐近线的距离为 2,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3 |2b|

x2

y2

x2 y2 a b

)

【解析】 双曲线的渐近线方程为 bx±ay=0,点 P(2,0)到渐近线的距离为 故选 A. 【答案】 A

a +b

2

2

= 2,所以 a =b ,所以双曲线的离心率为 2,

2

2

1.一个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
16

2.二种方法——求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法 根据题目的条件,若满足定义,求出相应的 a,b 的值即可求得方程. (2)待定系数法 ① 待定系数 定位:确定焦点位置 定值:根据条件确定相关参数 设方程:由焦点位置设方程 法的步骤

②待定系数法求双曲线方程的常用方法 a.与双曲线 2- 2=1 共渐近线的可设为 2- 2=λ (λ ≠0); b.若渐近线方程为 y=± x,则可设为 2- 2=λ (λ ≠0);

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b a

x2 y2 a b

x2 y2 c.若过两个已知点则设为 + =1(mn<0). m n
第七节 抛物线

[基础知识深耕] 一、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 二、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=-2py
(p>0)

图形

范围 焦点坐标 准线方程 离心率

x≥0,y∈R

x≤0,y∈R

y≥0,x∈R

y≤0,x∈R

?p,0? ?2 ? ? ?
p x=-
2

?-p,0? ? 2 ? ? ?
p x=
2

?0,p? ? 2? ? ?
p y=-
2

?0,-p? ? 2? ? ?
p y=
2

e=1

【拓展延伸】 1.抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 P(x0,y0)到焦点 F 的距离称为焦半径. 有以下结论(p>0): (1)对于抛物线 y =2px,|PF|= +x0; 2
2

p

17

(2)对于抛物线 y =-2px,|PF|= -x0; 2 (3)对于抛物线 x =2py,|PF|= +y0; 2 (4)对于抛物线 x =-2py,|PF|= -y0. 2 2.焦点弦:线段 AB 为抛物线 y =2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)x1x2= ; 4 (2)y1y2=-p ; 2p (3)弦长 l=x1+x2+p= (θ 为 AB 的倾斜角), 2 sin θ
2 2 2 2

2

p

p

p

p2

x1+x2≥2 x1x2=p,当且仅当 x1=x2 时,弦长最短为 2p,此时的弦又叫通径;

图 8?7?1 (4)S△AOB= ; 2sin θ 1 1 2 (5) + = ; |AF| |BF| p (6)A,O,B′三点共线,A′,O,B 三点共线; (7)∠A′FB′=90°; (8)以 AB 为直径的圆与准线相切. 3.过抛物线 y =2px 的顶点 O 任意作两条互相垂直的弦 OA,OB,则直线 AB 恒过定点(2p,0). [基础能力提升] 1.给出下列命题: ①平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线;
2

p

2

? ? 2 ②方程 y=ax (a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是? ,0?,准线方程是 x=- ; 4 ?4 ?
a a
③抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形;

? ? 2 2 ④AB 为抛物线 y =2px(p>0)的过焦点 F? ,0?的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p ,弦长|AB|=x1+x2+p. 4 ?2 ?
p
其中不正确的命题为( A.①② B.①②③ ) C.②③ D.①③④

p2

18

1? 1 1 ? 2 【解析】 ①错误,点 F 不在定直线 l 上时,满足题设的轨迹为抛物线;②错误,由 x = y 可知焦点为?0, ?,准线为 y=- ;③ a 4a ? 4a? 错误,该图形不是中心对称图形;④正确.故选 B. 【答案】 B 2.若抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A. C. 17 16 7 8 15 B. 16 D.0
2

)

1 1 15 【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离,又准线方程为 y=- ,设 M(x,y),则 y+ =1,∴y= . 16 16 16 【答案】 B 3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( A.y =-8x C.y =-4x 【解析】 因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以 =2, 2 所以 p=4,所以抛物线的方程是 y =8x. 【答案】 B 4.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A.4 C.8 B.6 D.12
2 2 2 2

)

B.y =8x D.y =4x
2

2

p

)

【解析】 如图所示,抛物线的准线 l 的方程为 x=-2,F 是抛物线的焦点,过点 P 作 PA⊥y 轴,垂足是 A,延长 PA 交直线 l 于点 B, 则|AB|=2,由于点 P 到 y 轴的距离为 4,则点 P 到准线 l 的距离|PB|=4+2=6,所以点 P 到焦点的距离|PF|=|PB|=6. 【答案】 B

19

1.一种转化——转化思想在定义的中应用 抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离. 2.两个易误点——对抛物线的定义及标准方程的释疑 (1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线. (2)抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义. 3.熟知焦点弦的有关结论(详见本节知识延伸). 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 [基础知识深耕] 一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程:ax +bx+c=0(或 ay +by+c=0). 1.当 a≠0,可考虑一元二次方程的判别式 Δ ,有 ①Δ >0?直线与圆锥曲线相交; ②Δ =0?直线与圆锥曲线相切; ③Δ <0?直线与圆锥曲线相离. 2.当 a=0,b≠0 时,即得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 E 相交,且只有一个交点, ①若 E 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行; ②若 E 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 二、圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+k |x2-x1|= 【拓展延伸】 中点弦的几个常见结论
2 2 2

1 1+ 2|y2-y1|.

k

x2 y2 b2x0 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一条弦,弦中点 M 的坐标为(x0,y0),则 AB 的斜率为- 2 .运用点差法求 AB 的斜率,设 A(x1,y1), a b a y0 B(x2,y2).∵A,B 都在椭圆上.

20

x y ? ?a +b =1, ∴? x y ? ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

两式相减得

2 2 x2 y2 1-x2 1-y2 + =0, a2 b2

∴ 即

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, 2 2

a

b

y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 b2x0 =- 2 =- 2 .故 kAB=- 2 . x1-x2 a ?y1+y2? a y0 a y0

x2 y2 b2x0 (2)运用类比的方法可以推出:已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦,弦中点 M(x0,y0),则 kAB= 2 . a b a y0
(3)已知抛物线 y =2px(p>0)的弦 AB 的中点 M(x0,y0),则 kAB= .
2

p y0

[基础能力提升] 1.给出下列命题: ①直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是:直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点; ②直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是:直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点; ③直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是:直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点; ④如果直线 x=ty+a 与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|= 1+t |y1-y2|; ⑤若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点,则需满足直线 l 与抛物线 C 的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式 Δ >0. 其中正确的是( A.①② ) C.①④ D.①④⑤
2

B.②③

【解析】 ②不正确,当直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时不成立,③⑤不正确,如 l 为抛物线 C 的对称轴. 【答案】 C 2.若直线 y=kx 与双曲线 - =1 相交,则 k 的取值范围是( 9 4

x2 y2

)

? 2? A.?0, ? ? 3? ? 2 2? C.?- , ? ? 3 3?
x y 2 【解析】 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x, 9 4 3
2 2

? 2 ? B.?- ,0? ? 3 ?
2? ?2 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ?

? 2 2? 若直线与双曲线相交,数形结合,得 k∈?- , ?. ? 3 3?
【答案】 C 3.斜率为 3的直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点且与该抛物线交于 A,B 两点,是|AB|=________. 【解析】 如图,分别过 A,B 作 AA1,BB1 垂直准线 x=-1 于 A1,B1,抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),过 F 作 FM⊥AA1 于 M,直线 l 4 16 的倾斜角为 60°,所以|AF|=|AA1|=|A1M|+|AM|=2+|AF|cos 60°,所以|AF|=4,同理得|BF|= ,故|AB|=|AF|+|BF|= . 3 3
2 2

21

【答案】

16 3
2

4. 已知双曲线方程是 x - =1, 过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1, P2 两点, 并使 P(2,1)为线段 P1P2 的中点, 则此直线方程是________. 2 【解析】 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由

y2

y ? ?x - 2 =1, ? y ?x - 2 =1, ?
2 1 2 2 2 2

2 1



y2-y1 2?x2+x1? 2?4 k= = = =4. x2-x1 y2+y1 2
从而所求方程为 4x-y-7=0. 将此方程与双曲线联立得 14x -56x+51=0,Δ >0,故此直线满足条件. 【答案】 4x-y-7=0
2

1.掌握一个步骤——用“点差法”求解中点弦问题
22

设点 设出弦的两端点坐标 代入 代入圆锥曲线方程 作差 两式相减,再用平方差公式把上式展开 整理 转化为斜率与中点坐标 的关系式,然后求解 验证 验证所求直线与曲线C联立的方程 是否有两解

2.明确两个易误点——直线与双曲线和抛物线的位置判断 (1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相 交于一点. (2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点. 3.体会两种思想——函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查,一直是高考考查的 重点,特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想方法的 热点题型.

23


相关文章:
2016届高考数学大一轮复习 第8章 平面解析几何学案 文 ....doc
2016届高考数学大一轮复习 第8章 平面解析几何学案 新人教版_数学_高中教育_教育专区。第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、 直线的方程[基础...
】高考数学大一轮复习 第8章 平面解析几何学案 文 新人....doc
高考数学大一轮复习 第8章 平面解析几何学案 新人教版 - 第八章 平面解
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何(单元总结与测试....doc
高考数学轮复习 第八章 平面解析几何(单元总结与测试)精品学案 新人教版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 版高考数学轮复习精品学案:第八章 单元总结...
2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的....doc
2019版高考数学轮复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程学案 -
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文 - 8.3 圆
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文 - 8.3 圆
19版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文.doc
19版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案文 - 8.3 圆的方
2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲....doc
2019版高考数学轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线学案 - 8
版高考数学一轮复习第8章平面解析几何85椭圆学案文(数....doc
高考数学轮复习第8章平面解析几何85椭圆学案文(数学教案) - 8.5 椭圆
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文.doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文 - 8.5 椭圆
届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案....doc
届高考数学轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案文09202116_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。届高考数学轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案文...
(浙江版)2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何学案.doc
(浙江版)2019版高考数学轮复习 第八章 平面解析几何学案 - 第八章 平面
...高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文20....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文2018052212
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文.doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文 - 8.5 椭圆
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案文201805221208_高考_高中教育_教育专区。8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 [知识梳理] ...
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程学案理 - 8.8
全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲....doc
全国版2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程学案 - 第 3
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案理.doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案理 - 8.6 双曲
高考数学一轮复习 8.1直线与方程精品学案 新人教版.doc
2013 版高考数学轮复习精品学案:第八章 平面解析几何 【知识特点】 1、本
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆....doc
2019版高考数学轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案文 - 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 [知识梳理] 1.直线与圆的位置关系 设直线 l...
更多相关标签: