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广东省高州四中2015届高三9月月考 数学(理)

2014-2015 学年度高三级质量监测 9 月份数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M ? N ? A. {0,1} B. {?1, 0,1, 2} C. {?1, 0, 2} D. {?1, 0,1} 2 2.函数 y=x -2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A. {-1,0,3} 3、已知 f ( x) ? A. 5 B. {0,1,2,3} )
1 2

C. {y|-1≤y≤3}

D. {y|0≤y≤3}

1 ,则 f ( f (0)) =( x2 ? 1

B. 3

C.

D. ? 1 )

4.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 单调递增的函数是( (A) y ? x3 (B) y ? x ? 1 (C) y ? ? x 2 ? 1 )

(D) y ? 2? x

5、下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”. B.若 p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题. C.命题“存在 x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的否定是:“对任意 x ? R ,均有
x2 ? x ? 1 ? 0 ”.

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 6.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? x ? m 有零点”的 A.充分非必要 B.充要 C.必要非充分
x

条件 D.非充分必要

7. 在同一坐标系中画出函数 y ? log a x , y ? a , y ? x ? a 的图象,可能正确的是 ( D )
y 1 y y y

O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B

C

D

8 . 定 义 新 运 算 ? : 当 a ? b 时 , a ? b ? a ; 当 a ? b 时 , a ? b ? b2 , 则 函 数

f ( x) ? (1 ? x) x ? (2 ? x) , x ?? ?2, 2? 的最大值等于

A.-1

B.6

C.1

D.12

二、填空题:(本大共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的相应 位置.) 9. | x |2 ?2 | x | ?15 ? 0 的解集是 .

1 10.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 2

f(1)+f′(1)=________
11.积分 ?
a ?a

a 2 ? x 2 dx ?


f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1)

12 、 已 知 函 数
f ( x12 ) ? f ( x2 2 ) ?

, 若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3

, 则



13.若方程 x 2 ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,则 k 的取值范围 __________ _ 。 14 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3, x ? [0,1] 时 ,
f ( x ) ? 2 ? x ,则 f ( ?2005.5) 等于

.

三.解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 15.( 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 , x ? [?5,5] (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 [?5,5] 上是单调函数。

16.(12 分)设命题 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实 数 x 满足 x2 ? 2 x ? 8 ? 0, 且 ?p是?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范 围.

17.( 14 分)

? 5? 3 2 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ), x ? R ,且 f ( ) ? 3 12 2

(1) 求 A 的值;

? ? (2) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ) 2 6

9 18.(14 分)已知函数 f(x)=(x2-3x+ )ex,其中 e 是自然对数的底数. 4 (1)求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值.

19 . ( 14 分 ) 已 知 函 数
1 1 1 x ? [ , ]时, f ( x) ? 4 2 8,

f ( x) ? ax ?

3 2 1 x 2 的最大值不大于 6 ,又当

求 a 的值。

20



(14



)











f ( x) ? x (0 ? x ? 1)的图象, 其在点M (t, f (t ))处的切线为l, l与y 轴和直线 y ? 1

分别交于点 P、Q,点 N(0,1),设△PQN 的面积为 S ? g (t ). (Ⅰ)求 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)若 g (t ) 在区间 (m, n) 上单调递增,求 n 的最大值; (Ⅲ)若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,求 b 的取值范围.

2014 年 9 月月考理科数学答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9、 (??, ?5) 12. 6

(5, ??)

10、3 13、

11.

1 ?a 2 2

1 2 ?k? 2 3

14. 1.5

三.解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(12 分)(1) f min ( x) ? 1, f max ( x) ? 37 ??6 分 (2) (??,?5] ? [5,??) ??12 分

16. 解:设 A ? x x ? 4ax ? 3a ? 0(a ? 0) ? x 3a ? x ? a(a ? 0)
2 2

?

? ?

?

B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2?.

?

?

????? 5 分

? ? p 是 ? q 的必要不充分条件,? q是p 必要不充分条件,

? A? B ,
?

????????8 分

所以 3a ? 2或a ? ?4 ,又 a ? 0 , 所以实数 a 的取值范围是 a ? ?4 . 17.(14 分) ???????12 分

解 : (1) f (

5? 5? ? 3? 3 2 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? 2 ? 3. 12 12 3 4 2 2

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 3 ? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin( ?? ? ) 3 3 ? 3(sin ? cos ? 6sin ? cos ? sin ? ?

?

?

?

?

? cos ? sin ) ? 3(sin( ?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 3 3 3 3 ? 3sin ? ? 3

?

?

?

?
3

3 ? 6 , 又 ? ? (0, ),? cos ? ? 3 2 3

? ? ? ? 6 ? f ( ? ? ) ? 3sin( ? ? ? ) ? 3sin( ? ? ) ? 3cos ? ? 3 ? ? 6. 6 6 3 2 3

18. (14 分)解:

9 x 9 2 (1)因为 f(x)=(x -3x+ )e ,所以 f(0)= , 4 4 ??2 分

9 x 3 x 3 x 2 2 又 f ′(x)=(2x-3)e +(x -3x+ )e =(x -x- )e ,所以 f ′(0)=- , 4 4 4 ??4 分 所以函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为:

y- =- x,即 3x+4y-9=0.

9 4

3 4

??6 分

3 2 x 1 3 x (2)由(1)得 f(x)=(x- ) e ,f ′(x)=(x+ )(x- )e . ??7 分 2 2 2 当 x 变化时,函数 f(x),f ′(x)在区间[-1,2]上的变化情况如下表:

x f ′(x) f(x)

1 [-1,- ) 2 + ↗

- 0

1 2

1 3 (- , ) 2 2 - ↘

3 2 0 极小值

3 ( ,2] 2 + ↗

极大值

1 函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大值 f(x)max=max{f(- ),f(2)},最小值 f(x)min= 2 3 min{f(-1),f( )}. 2 ??10 分 1 1 2 ∵f(2)-f(- )= e -4e 2 4 - 1 2 e -16 4 e
5



<

3 - 256 4 e

5

<0,

3 25 3 又 f( )=0,f(-1)= >0,∴f( )-f(-1)<0, 2 4e 2 1 - 2 1 3 ∴f(x)max=f(- )=4e ,f(x)min=f( )=0. 2 2

??12 分

??14 分

3 a 1 1 1 f ( x) ? ? ( x ? ) 2 ? a 2 , f ( x) ? a 2 ? , 得 ? 1 ? a ? 1 2 3 6 6 6 19.(14 分)解: ,


??4

x?
对称轴

?1 1? a 3 1 , ? ?1 ? a ? f ( x) ? ? 3 ,当 4 时, ? 4 2 ? 是 f ( x) 的递减区间,而 8,

1 a 3 1 3 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ?1 ? a ? 2 2 8 8 4 矛盾,即不存在; 即 与

??9 分

1 1 ? 3 a 1 a 1 1 4 2 3 ? a ?1 x? ? ? ? ? 3 ,而 4 3 3 ,且 3 2 8 当4 时,对称轴
1 a 3 1 3 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ? a ?1 2 2 8 8 即 ,而 4 ,即 a ? 1
∴a ?1
1

??13 分

??14 分

1 ? 1 , M (t , t ), 20.(14 分)解:(Ⅰ) f ?( x) ? x 2 ? 2 2 x

??1 分

∴点 M 处的切线方程为 y ? t ?

1 2 t

( x ? t ), ? P(0,

t ), Q(2 t ? t ,1) 2

??3 分

1 1 t t t S?PQN ? ? | PN | ? | QN |? (1 ? )(2 t ? t ) ? t ? ?t 2 2 2 4 t t ? g (t ) ? t ? ? t, 0 ? t ? 1 4 又
(Ⅱ) g (t ) ? t ?
t t 3 1 ? t ,0 ? t ? 1则g ?(t ) ? t? ?1 , 4 8 2 t

??5 分

??6 分

2 由g ?(t ) ? 0得3t ? 8 t ? 4 ? 0, 即 t ? 或 t ? 2(舍) 3 4 ? ? 0 ? t ? 时 g (t )单调递增, ? n的最大值为 9 9

??9 分

(Ⅲ) g (t ) ? t ? 则 g ?(t ) ?

t t ? t ,0 ? t ? 1(图像大致如右) 4

3 1 3t ? 8 t ? 4 (3 t ? 2)( t ? 2) t? ?1 ? ? 8 2 t 8 t 8 t
t
g ?(t ) g (t )

4 (0, ) 9

4 9

4 ( ,1) 9

+ 递增

0
4 极大值 f ( ) 9

— 递减

4 8 1 g (0) ? 0, g ( ) ? , g (1) ? 9 27 4

1 8 又 有且仅有两个t , 使得g (t ) ? b(0 ? t ? 1)成立, ? b ? ( , ) 4 27

??14分


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