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2016届高考数学大一轮复习 第1节 绝对值不等式课件 文 新人教版选修4-5


选修 4-5 第一节

不等式选讲

绝对值不等式

考纲要求:1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对 值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a - b|≤|a - c| + |c - b|.2. 会利用绝对值的几何意义求 解以下类型的不等式: |ax +b|≤c ;|ax+b|≥c;|x-a|+|x - b|≥c.

[基础真题体验] 考查角度[绝对值不等式的解法] 1.(2011· 课标全国卷)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a> 0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

【解】

(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2.

由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式化为不等式组
? ?x≥a, ? ? ?x-a+3x≤0 ? ?x<a, 或? ? ?a-x+3x≤0,

? ? ?x≥a, ?x<a, 即? a 或? a x≤4 x≤-2. ? ? ? ?

因为

? ? ? a ? ? a>0,所以不等式组的解集为 x x≤-2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

a 由题设可得-2=-1,故 a=2.

2.(2012· 课标全国卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

【解】

?-2x+5,x≤2, ? (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ?

当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3, 解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2, 即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

3.(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1 (2)设 a>-1 时,且当 x∈[-2,2)时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.

【解】

(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|

+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 1 ? ?-5x,x<2, ? 1 则 y=? ?-x-2,2≤x≤1, ? ?3x-6,x>1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y <0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

a 1 (2)当 x∈[-2,2)时,f(x)=1+a, 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, a 1 所以 x≥a-2 对 x∈[-2,2)都成立, a 故-2≥a-2, 4 即 a≤3. 4 从而 a 的取值范围是(-1,3].

[命题规律预测] 命题 规律 从近几年的高考试题看, 绝对值不等 式的解法是高考命题的热点. 主要考 查学生的等价转化能力,难度不大. 预测 2016 年高考对本节的考查以解 考向 绝对值不等式为主, 同时注意绝对值 预测 不等式与函数问题的综合是高考的 趋势,值得关注.

考向一

绝对值三角不等式的应用 [典例剖析]

【例 1】

(1)(2014· 江西高考)对任意 x,y∈R,|x-1|+ )

|x|+|y-1|+|y+1| 的最小值为( A.1 C.3 B.2 D.4

1 (2)(2012· 江苏高考)已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x- 1 5 y|<6,求证:|y|<18.
【思路点拨】 (1)利用三角不等式直接求解.

(2)由|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|结合三角不等式求解.

【解析】 (1)∵x,y∈R,∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1, |y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3. ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3.
【答案】 C

(2)证明: 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x -y|, 1 1 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6, 2 1 5 从而 3|y|<3+6=6, 5 所以|y|<18.

含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是比较简单的 不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为常见的 不等式的证明,另一类是利用绝对值三角不等式: ||a| - |b||≤|a± b|≤|a|+|b|,通过适当的添加、拆项证明,但一定注 意放缩要适当.

[对点练习] 若 f(x)=x2-x+c(c 为常数),|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)| <2(1+|a|).
【证明】 |f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)| =|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)| =|x-a||x+a-1|=|x-a||(x-a)+(2a-1)|, ∵|x-a|<1, ∴|x-a||(x-a)+(2a-1)|<|(x-a)+(2a-1)| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(1+|a|). 故不等式|f(x)-f(a)|<2(1+|a|)成立.

考向二

含绝对值不等式的解法 [典例剖析]

【例 2】 a>1.

(2013· 辽宁高考)已知函数 f(x)=|x-a|,其中

(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2) 已知关于 x 的不等式 |f(2x + a) - 2f(x)|≤2 的解集为 {x|1≤x≤2},求 a 的值.

【思路点拨】

绝对值不等式,分段讨论求解;将 a 看

做已知,求解|f(2x+a)-2f(x)|≤2,将结果与已知结果对比确 定 a 的值.

?-2x+6,x≤2, ? 【解】 (1)当 a=2 时, f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ?2x-6,x≥4. ? 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4, 解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4, 解得 x≥5. 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为 x|x≤1或x≥5 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x), ?-2a,x≤0, ? 则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ?2a,x≥a. ? a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为 x|1≤x≤2 , ? ?a-1=1, ? 2 所以? ?a+1 =2, ? 2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

于是 a=3.

含绝对值的不等式的解法: (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;② 划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取 每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值. (2)用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式, 使得代数问题几何化,即通俗易懂,又简洁直观,是一种较 好的方法.

[对点练习] 1 (2014· 石家庄模拟)设函数 f(x)=|x-1|+2|x-3|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集; (2)若不等式 范围.
? 1? f(x)≤a?x+2?的解集非空,求实数 ? ?

a 的取值

【解】

3 5 ? ?- x+ >2, (1)原不等式等价于? 2 2 ? ?x≤1

1 1 3 5 ? ? ? x+ >2, ? x- >2, 或?2 2 或?2 2 ? ? ?1<x≤3 ?x>3,
? 1? 解得原不等式解集为?-∞,3?∪(3,+∞). ? ?

? ?-3x+5,x≤1, ? 2 2 ?1 1 1 (2)f(x)=|x-1|+2|x-3|=?2x+2,1<x≤3, ? ?3 5 x- ,x>3. ? ?2 2 f(x)的图象如图所示,其中 A(1,1),B(3,2).

直线

? ? 1 ? 1? y=a?x+2?绕点?-2,0?旋转, ? ? ? ? ? 1? f(x)≤a?x+2?的解集非空时,a ? ?

由图可得不等式

的取值范

? ? 3? ?4 围为?-∞,-2?∪?7,+∞?. ? ? ? ?

考向三

与绝对值不等式有关的恒成立问题 [典例剖析]

【例 3】 (2014· 贵州六校联考)设函数 f(x)=|x+1|+|x- 4|-a. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的最小值; 4 (2)若 f(x)≥a+1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取 值范围.

【思路点拨】 几何意义求最值.

(1)利用分段函数求最值或利用绝对值的

4 (2)利用 f(x)min≥a+1 求参数 a 的范围.

【解】 (1)法一:当 a=1 时,f(x)=|x+1|+|x-4|-1= ?-2x+2,x≤-1, ? ?4,-1<x<4, ?2x-4,x≥4, ? ∴f(x)min=4. 法二: f(x)=|x+1|+|x-4|-1≥|(x+1)-(x-4)|-1=5-1 =4.(当且仅当-1≤x≤4 时等号成立) ∴f(x)min=4.

4 (2)f(x)≥a+1 对任意的实数 x 恒成立?|x+1|+|x-4|- 4 4 1≥a+a对任意的实数 x 恒成立?a+a≤4, 当 a<0 时,上式成立; 4 当 a>0 时,a+a≥2 4 a· a=4.

4 4 当且仅当 a=a即 a=2 时上式取等号,此时 a+a≤4 成 立. 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪{2}.

含绝对值不等式的恒成立问题的求解策略: 研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分 类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后利用数形结 合解决,是常用的思想方法. f(x)<a 恒成立?f(x)max<a; f(x)>a 恒成立?f(x)min>a.

[对点练习] 已知不等式|x+1|-|x-3|>a.分别求出下列情形中 a 的取 值范围. (1)不等式有解; (2)不等式的解集为 R; (3)不等式的解集为?.

【解】 法一: |x+1|-|x-3|表示数轴上的点 P(x)与两定 点 A(-1),B(3)距离的差,即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|. 由绝对值的几何意义知, PA-PB 的最大值为|AB|=4, 最 小值为-|AB|=-4,即-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则 a 只要比|x+1|-|x-3|的最大值小 即可,故 a<4. (2)若不等式的解集为 R,即不等式恒成立,则 a 只要比 |x+1|-|x-3|的最小值小即可,即 a<-4. (3)若不等式的解集为?,则 a 只要不小于|x+1|-|x-3| 的最大值即可,即 a≥4.

法二:由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4, |x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4, 可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则 a<4. (2)若不等式的解集为 R,则 a<-4. (3)若不等式的解集为?,则 a≥4.

满分指导 23

绝对值不等式中逆向问题的求解策略 [典例剖析]

【典例】

(10 分)(2014· 大连模拟)已知 f(x)=|ax+1|(a∈

R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值;
? ?x ?? (2)若?f?x?-2f?2??≤k ? ?? ?

恒成立,求 k 的取值范围.

【审题指导】 信息提取 f(x)=|ax+1|(a∈R), 不 (1) 等式 f(x)≤3 的解集为 {x|-2≤x≤1} 破题技巧 直接解|ax+1|≤3, 对比解集与{x|- 2≤x≤1}的关系求 a 的值.
?x ? 只要求|f(x)-f?2?|的 ? ?

(2)

?x ? |f(x)-2f?2?|≤k ? ?

恒成立

最大值便可.

【规范解答】 (1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.
又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, ∴当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,-a≤x≤a, 4 2 因此-a=-2 且a=1, ∴a=2. 5分 2分

(2)由(1)知 f(x)=|2x+1|, x 记 h(x)=f(x)-2f(2)=|2x+1|-2|x+1|, ?1,x≤-1, ? ?-4x-3,-1<x<-1, 2 则 h(x)=? ? 1 ?-1,x≥- , 2 ? 所以|h(x)|≤1, 因此 k≥1. 10 分

8分

【名师寄语】

(1)逆向问题可正向求解,以本题为例,

求出不等式的解集后,与已知不等式的解集作比较,便可建 立关于 a 的方程. (2)不等式恒成立,常转化为求函数的最值,本题充分利 用绝对值定义,零点分段法化为分段函数,数形结合可求最 值.

[对点练习] (2013· 福建高考)设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A, 3 1 且2∈A,2?A. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

?3 ? ?1 ? 3 1 【解】 (1)因为2∈A,且2?A,所以?2-2?<a,且?2-2? ? ? ? ?

1 3 ≥a,解得2<a≤2.又因为 a∈N*,所以 a=1. (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号,所 以 f(x)的最小值为 3.

1.设 ab>0,下面四个不等式中,正确的是( ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|; ④|a+b|>|a|-|b|. A.①和② C.①和④
【解析】

)

B.①和③ D.②和④
∵ab>0,即 a,b 同号,则|a+b|=|a|+|b|,

∴①④正确,②③错误.
【答案】 C

2.(2013· 重庆高考)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+ 3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是________.

【解析】

∵|x-5|+|x+3|

=|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8.
【答案】 (-∞,8]

3.(2012· 江西高考)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+ 1|≤6 的解集是________.
【解析】
? 1? ? 1? 原不等式化为?x-2?+?x+2?≤3. ? ? ? ?

1 1 其几何意义是数轴上到2与-2两点的距离之和不超过 3 的点的集合. 3 3 1 1 又点2或-2到两点2与-2的距离之和恰好为 3,
? ? ? 3 3 ? ? 数形结合,不等式的解集为 x -2≤x≤2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

【答案】

? ? ? 3 3 ?x?- ≤x≤ 2 ? ? ? 2

? ? ? ? ?

4.(2014· 保定模拟)已知函数 f(x)=|x-a|+|x-2|+a. (1)当 a=2 时,求 f(x)>4 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)-|x-4|<0 在 x∈(1,2)上恒成 立,求实数 a 的取值范围.

【解】 (1)当 a=2 时,f(x)>4 即为|x-2|>1, 所以 x-2<-1 或 x-2>1, 即 x<1 或 x>3, 所以 f(x)>4 的解集为{x|x<1 或 x>3}.

(2)由题意得 |x-a|+|x-2|+a-|x-4|<0 在区间(1,2)上恒成立, ∴|x-a|+2-x+a-4+x<0, 即|x-a|<2-a,
? ?a<2, ∴? 2 2 ? ??x-a? <?2-a? , ? ?a<2, ?? 2 ? ?x -4<2a?x-2?,

x+2 又因为 x∈(1,2),所以 a< 2 , 3 又 f(x)-|x-4|<0 区间(1,2)上恒成立,所以 a≤2.


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