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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 3.1导数的概念及其运算教案 理 新人教A版


§3.1
2014 高考会这样考 简单的复合函数求导. 复习备考要这样做

导数的概念及其运算

1.利用导数的几何意义求切线方程;2.考查导数的有关计算,尤其是

1.理解导数的意义, 熟练掌握导数公式和求导法则; 2.灵活进行复合函

数的求导;3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.

1. 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δy -f(x1),则平均变化率可表示为 . Δx 2. 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率Δ lim x→0

f? x2? -f? x1? ,若 Δ x=x2-x1,Δ y=f(x2) x2-x1

f? x0+Δ x? -f? x0? Δy =Δ lim 为函数 y x→0 Δ x Δx
Δy = lim Δ x Δ x→0

= f(x) 在 x = x0 处的导数,记作 f′(x0) 或 y′|x = x0 ,即 f′(x0) = Δ lim x→0

f? x0+Δ x? -f? x0? . Δx
(2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切 线的斜率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3. 函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)=Δ lim x→0

f? x+Δ x? -f? x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4. 基本初等函数的导数公式

1

原函数

导函数

f(x)=c (c 为常数) f(x)=x (n?Q ) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax
(a>0,且 a≠1)
n
*

f′(x)=__0__ f′(x)=nxn-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex

f′(x)= xln a f′(x)=
1

1

f(x)=ln x
5. 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);

x

(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)?

?f? x? ?′=f′? x? g? x? -f? x? g′? x? ? 2 [g? x? ] ?g? x? ?

(g(x)≠0).

6. 复合函数的导数 复合函数 y = f(g(x)) 的导数和函数 y = f(u) , u = g(x) 的导数间的关系为 y′x =

y′u·u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
[难点正本 疑点清源] 1. 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数,是针对某一区间内任意点 x 而言的.如果函数 y=f(x)在区 间(a,b)内每一点 x 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个 确定的导数 f′(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数,就是函数 f(x)的导 函数 f′(x).在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数. 2. 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线斜率为 k=f′(x0)的切线, 是唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点.点 P 可以是切点,也可以 不是切点,而且这样的直线可能有多条.

1 3 1. f′(x)是函数 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为________. 3
2

答案 3 解析 ∵f′(x)=x +2,∴f′(-1)=(-1) +2=3. 2. 如图, 函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8, 则 f(5) +f′(5)=______. 答案 2 解析 如图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此 f(5)+f′(5)=2. 3. 已知 f(x)=x +3xf′(2),则 f′(2)=________. 答案 -2 解析 由题意得 f′(x)=2x+3f′(2), ∴f′(2)=2×2+3f′(2),∴f′(2)=-2. 4. 已知点 P 在曲线 f(x)=x -x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x-y=0,则点 P 的坐标 为________. 答案 (1,0) 解析 由题意知,函数 f(x)=x -x 在点 P 处的切线的斜率等于 3,即 f′(x0)=4x0-1 =3,∴x0=1,将其代入 f(x)中可得 P(1,0). 5.曲线 y=
4 3 4 2 2 2

x 在点(-1,-1)处的切线方程为____________. x+2

答案 y=2x+1

x+2-x 解析 易知点(-1, -1)在曲线上, 且 y′= 2= ? x+2? ?
=-1

2

x+2?

2

, ∴切线斜率 k=y′|x

2 = =2. 1

由点斜式得切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.

题型一 利用定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数 f(x)=x 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x 在 x=x0 处的
3 3 3

切线与曲线 f(x)=x 的交点. 思维启迪:正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是本题的关键. 解

f′(x0)=xlim →x0
2

f? x? -f? x0? x3-x3 0 =xlim →x0 x-x0 x-x0
2 2

=xlim →x0 (x +xx0+x0)=3x0. 曲线 f(x)=x 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3 0=3x0·(x-x0), 3

3

?y=x , ? 即 y=3x x-2x ,由? 2 3 ?y=3x0x-2x0, ?
2 0 3 0

3

得(x-x0) (x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0. 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x0),(-2x0,-8x0);若 x0=0,则交点坐标为(0,0). 探究提高 求函数 f(x)的导数步骤: (1)求函数值的增量 Δ f=f(x2)-f(x1); Δ f f? (2)计算平均变化率 = Δx (3)计算导数 f′(x)=Δ lim x→0
3 3

2

x2? -f? x1? ; x2-x1
Δf . Δx

利用导数的定义,求: (1)f(x)= (2)f(x)= 1

x
1

在 x=1 处的导数;

x+2

的导数. -1 1+Δ x 1+Δ x? -f? 1? = Δx Δx 1

Δ y f? 解 (1)∵ = Δx = =

1- 1+Δ x 1-? 1+Δ x? = Δ x 1+Δ x Δ x 1+Δ x? 1+ 1+Δ x? -Δ x Δ x? 1+Δ x+1+Δ x? Δy = lim Δ x Δ x→0 = , 1+Δ x+1+Δ x -1 -1

∴f′(1)=Δ lim x→0 Δ y f? (2)∵ = Δx

1 =- . 2 1+Δ x+1+Δ x

x+Δ x? -f? x? Δx

1 1 - x+2+Δ x x+2 = Δx = = ? x+2? -? x+2+Δ x? Δ x? x+2? ? x+2+Δ x? -1 , ? x+2? ? x+2+Δ x? Δy -1 1 =Δ lim =- x →0 Δx ? x+2? ? x+2+Δ x? ? x+2?
2

∴f′(x)=Δ lim x→0 题型二 导数的运算 例2

.

求下列函数的导数: (1)y=e ·ln x;
4
x

? 2 1 1? (2)y=x?x + + 3?; ?
x x?
π? 2? (3)y=sin ?2x+ ?; 3? ? (4)y=ln(2x+5). 思维启迪:求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. 解 1 x x x (1)y′=(e ·ln x)′=e ln x+e ·

x

1 x =e (ln x+ ).

x

1 2 3 2 (2)∵y=x +1+ 2,∴y′=3x - 3.

x

x

π 2 (3)设 y=u ,u=sin v,v=2x+ , 3 则 y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cos v·2 π? π? 2π ? ? ? ? =4sin?2x+ ?·cos?2x+ ?=2sin?4x+ ?. 3 3 3 ? ? ? ? ? ? (4)设 y=ln u,u=2x+5,则 y′x=y′u·u′x, 因此 y′= 1 2 ·(2x+5)′= . 2x+5 2x+5

探究提高 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导, 这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量; (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然 后求导. 求下列各函数的导数: (1)y= (2)y= 1 + ; 1- x 1+ x cos 2x ; sin x+cos x
2

1

(3)y=(1+sin x) ; (4)y=ln x +1. 解 1 1 2 (1)∵y= + = , 1 - x 1- x 1+ x 2 ? 2 ?′=-2? 1-x? ′= ? 2 1 - x ? 1-x? ? 1-x? ? ?
2 2

∴y′=?

.

5

cos 2x (2)∵y= =cos x-sin x, sin x+cos x ∴y′=-sin x-cos x. (3)设 u=1+sin x,则 y=(1+sin x) , 由 y=u 与 u=1+sin x 复合而成. 因此 y′=f′(u)·u′=2u·cos x=2cos x(1+sin x). (4)y′=(ln x +1)′= = 1
2 2 2 2

1

x2+1

·( x +1)′

2

1 2 1 x 2 · (x +1)- ·(x +1)′= 2 . 2 x +1 x +1 2

题型三 导数的几何意义 例3 1 3 4 已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程. 思维启迪:求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式 得切线方程. 解 1 3 4 2 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x , 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 3 4 ? (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ? ,则切线的斜率为 3 3? 3 3 ?

y′|x=x0=x2 0.

?1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0), 3? ?3
2 3 4 2 即 y=x0·x- x0+ . 3 3 2 3 4 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3 即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0.
2 2 3 2 3 2 2

6

(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 x0=1,x0=±1.

2

? 5? 切点为(-1,1)或?1, ?, ? 3?
5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- =x-1, 3 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率. 即已知切点坐标可求切线斜率, 已知斜率 可求切点坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点. 已知抛物线 y=ax +bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x -3 相切,求实数 a、b、c 的值. 解 ∵y′=2ax+b,
2

∴抛物线在点 Q(2,-1)处的切线斜率为

k=y′|x=2=4a+b.
∴4a+b=1.① 又∵点 P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1,② 4a+2b+c=-1.③

a=3, ? ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ? ?c=9.
∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

一审条件挖隐含

典例:(12 分)设函数 y=x -2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x +ax+b 的图象为 C2,已知过

2

2

C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值. 审题路线图

C1 与 C2 有交点
↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)

7

两切线的斜率互为负倒数 ↓? 导数的几何意义?

利用导数求两切线的斜率:

k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓? 等价转换?

(2x0-2)(-2x0+a)=-1① ↓(交点(x0,y0)适合解析式)
? ?y0=x0-2x0+2 ? 2 ?y0=-x0+ax0+b ?
2

,即 2x0-(a+2)x0+2-b=0 ②

2

↓?

注意隐含条件方程①②同解? 5 2

a+b=
↓?

消元? 5 5

? ? ? ? ab=a? -a?=-?a- ?2+ 2 4 ? ? ? ?

25 16

5 25 当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16 规范解答 解 (1)对于 C1:y=x -2x+2,有 y′=2x-2,[1 分]
2 2

对于 C2:y=-x +ax+b,有 y′=-2x+a,[2 分] 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x0-2(a+2)x0+2a-1=0① 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
? ?y0=x0-2x0+2 故有? 2 ?y0=-x0+ax0+b ?
2 2

? 2x0-(a+2)x0+2-b=0② 5 由①②消去 x0,可得 a+b= .[6 分] 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2

2

?5 ? ? 5?2 25 ∴ab=a? -a?=-?a- ? + .[9 分] ?2 ? ? 4? 16
8

5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= .[12 分] 4 16 温馨提醒 审题包括两方面内容:题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切 入点是两条曲线有交点 P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到 审题的思维过程.

方法与技巧 1. 在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表 函数 f(x)在 x=x0 处的导数值,不一定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数 值 f(x0)是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2. 对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1. 利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δ x 的区别,这里的 x 是常量,Δ x 是变量. 2. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 3. 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者 包括了前者. 4. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 ( )
4 2

A.-1 B.-2 C.2 D.0 答案 B 解析 f′(x)=4ax +2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 2. 已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 ( )
3

9

A.e

2

ln 2 B.e C. D.ln 2 2

答案 B 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, 由 f′(x0)=2,即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 3. 若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 答案 A 解析 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x0=4,∴x0=1, ∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 4. (2011·大纲全国)曲线 y=e 形的面积为 ( A. 1 3 ) 1 B. 2 2 C. 3 D.1
-2x 4 3 4

(

)

B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角

答案 A 解析 ∵y′=-2e
-2x



k=y′|x=0=-2e0=-2,
∴切线方程为 y-2=-2(x-0), 即 y=-2x+2. 2 2 如图, ∵y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标为( ,), y=-2x+2 与 x 轴的交点坐标为(1,0), 3 3 1 2 1 ∴S= ×1× = . 2 3 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 3 2 5. 若以曲线 y= x +bx +4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数, 3 则实数 b 的取值范围为__________. 答案 [-2,2] 解析 y′=x +2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ =4b -16≤0,∴-2≤b≤2.
2 2

?π ? ?π ? 6. 设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f′? ?=________. ?2? ?4?
答案 - 2
10

?π ? 解析 因为 f(x)=f′? ?sin x+cos x, ?2? ?π ? 所以 f′(x)=f′? ?cos x-sin x, ?2?
π π ?π ? ?π ? 所以 f′? ?=f′? ?cos -sin , 2 2 ?2? ?2?

?π ? 即 f′? ?=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x, ?2?
π π ?π ? 故 f′? ?=-cos -sin =- 2. 4 4 ?4? 7. 已知函数 f(x), g(x)满足 f(5)=5, f′(5)=3, g(5)=4, g′(x)=1, 则函数 y= 的图象在 x=5 处的切线方程为____________. 答案 5x-16y+3=0 解析 由 y=

f? x? +2 g? x?

f? x? +2 =h(x)知 g? x?

f′? x? g? x? -? f? x? +2? g′? x? y′=h′(x)= , 2 [g? x? ]
得 h′(5)= =

f′? 5? g? 5? -? f? 5? +2? g′? 5? 2 [g? 5? ]

3×4-? 5+2? ×1 5 = . 2 4 16

又 h(5)=

f? 5? +2 5+2 7 = = , g? 5? 4 4

7 5 所以切线方程为 y- = (x-5), 4 16 即 5x-16y+3=0. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第 三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x +x-2,得 y′=3x +1,
2 3 2 3

由已知令 3x +1=4,解之得 x=±1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). 1 (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为- . 4
11

∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 1 9 9. (12 分)已知函数 f(x)= x在 x= 处的切线为 l,直线 g(x)=kx+ 与 l 平行,求 f(x) 4 4 的图象上的点到直线 g(x)的最短距离. 解 因为 f(x)= x,所以 f′(x)= 1 2 x .

1 ?1? ?1 1? 所以切线 l 的斜率为 k=f′? ?=1,切点为 T? , ?.所以切线 l 的方程为 x-y+ =0. 4 ?4? ?4 2? 9 因为切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行, 4 9 所以 k=1,即 g(x)=x+ . 4

f(x)的图象上的点到直线 g(x)=x+ 的最短距离为切线 l: x-y+ =0 与直线 x-y+ =
0 之间的距离,

9 4

1 4

9 4

所以所求最短距离为

?9-1? ?4 4? ? ?
2

= 2. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图象是(
2

)

答案 A 解析 ∵f(x)=x +bx+c=?x+ ? - +c, ? 2? 4
2

?

b?2 b2 b

由 f(x)的图象的顶点在第四象限得- >0,∴b<0. 2 又 f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选 A. 2. (2011·湖南)曲线 y= ( ) sin x 1 ?π ? - 在点 M? ,0?处的切线的斜率为 4 sin x+cos x 2 ? ?

12

1 A.- 2 答案 B

1 B. 2

C.-

2 2

D.

2 2

cos x? sin x+cos x? -? cos x-sin x? sin x 解析 ∵y′= 2 ? sin x+cos x? = ? 1 sin x+cos x?
2

π 1 .故 y′|x= = , 4 2

1 ?π ? ∴曲线在点 M? ,0?处的切线的斜率为 . 4 2 ? ? 3. 已知点 P 在曲线 y= ( ) 4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 x e +1

? π? A.?0, ? 4? ?
C.?

?π π ? B.? , ? ?4 2?
D.?

?π ,3π ? ? 4 ? ?2

?3π ,π ? ? ? 4 ?

答案 D 解析 设曲线在点 P 处的切线斜率为 k, -4e 则 k=y′= x ? e +1?
x x
2



-4 . 1 x e + x+2 e

因为 e >0,所以由基本不等式可得

k≥
2

-4 1 e · x+2 e
x

=-1.

又 k<0,所以-1≤k<0,即-1≤tan α <0. 3π 所以 ≤α <π .故选 D. 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 3 1 2 4. 若函数 f(x)=- x + f′(1)x -f′(2)x+5,则曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 3 2 的方程为________. 答案 x-y+5=0 解析 f′(x)=-x +f′(1)·x-f′(2), ∴?
? ?f′? ?f′? ?
2

1? =-1+f′? 1? -f′? 2? 2? =-4+2f′? 1? -f′? 2?



∴f′(2)=-1,f′(1)=1.

13

1 3 1 2 2 ∴f(x)=- x + x +x+5,f′(x)=-x +x+1. 3 2 ∴f′(0)=1,f(0)=5. ∴曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x+5. 5. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=

f(x)
在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 的斜率 k=

f′(2)=1,又过点 P(2,0),
所以切线方程为 x-y-2=0. 6. 曲边梯形由曲线 y=x +1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x +1,x?[1,2]上一 点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标 为__________.
2 2

?3 13? 答案 ? , ? ?2 4 ?
解析 设 P(x0,x0+1),x?[1,2],则易知曲线 y=x +1 在点 P 处的切线方程为 y-(x0 +1)=2x0(x-x0), 令 y=2x0(x-x0)+x0+1=g(x), 由 g(1)+g(2)=2(x0+1)+2x0(1-x0+2-x0), 得 S 普通梯形=
2 2 2 2 2

g? 1? +g? 2?
2

×1=-x0+3x0+1

2

3?2 13 ? =-?x0- ? + , 2? 4 ?

?3 13? 所以当 P 点坐标为? , ?时,S 普通梯形最大. ?2 4 ?
三、解答题 7. (13 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12

b x

=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值.

14



7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x

b 1 2a- = , ? ? 2 2 于是? b 7 a+ = , ? ? 4 4

解得?

?a=1, ? ? ?b=3.

3 故 f(x)=x- .

x

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y

x

? 3? -y0=?1+ 2?(x-x0), x

0? ? 3? ? 3? ? 即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0). x x 0? 0? ? ?

6 令 x=0,得 y=- ,

x0

6? ? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,- ?.

?

x0?

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6? 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的 面 积为S= ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定值,且此 定值为 6.

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