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二项式定理试题类型大全


二项式定理试题类型大全
一.选择题 4 1.有多少个整数 n 能使(n+i) 成为整数(B A.0 B.1 C.2 2. ) D.3

?2 ?

x

?

8

展开式中不含 x 项的系数的和为(B ) .. B.0 C.1
3 100

4

A.-1
1

D.2

3.若 S= A1 ? A 2 ? A3 ? ? ? ? A1 0 0 ,则 S 的个位数字是(C )
2

A 0

B 3
a x

C 5
8

D 8

4.已知(x- 是( C ) 8 A.2 5.在 (
2 ?
3

) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和

B.3
5)
100

8

C.1 或 3

8

D.1 或 2 ) D.16 个 ) D.6 项

8

的展开式中,有理项的个数是( B.33 个 C.17 个

A.15 个 6.在 ? ?
? ? x ? 1 ? ? ? 3 x ?
5

24

的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C B.4 项
6 3

A.3 项

C.5 项

7.在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( C ) A、-5 B、 5 C、10 D、-10 8. (1 ? x ) ? (1 ? x ) 的展开式中 x 3 的系数为( A.6 B.-6 C.9
5 3

) D .-9 )

9.若 x=

1 2

,则(3+2x) 的展开式中最大的项为(B B.第三项
4

10

A.第一项

C.第六项

D.第八项 )

10.二项式 ( 2 x ? A.7

1 3x
3

) 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为(

n

B.12

C.14

D.5 )

2 10 11.设函数 f ( x ) ? (1 ? 2 x ) , 则导函数 f ? ( x ) 的展开式 x 项的系数为(C

A.1440 12.在 ( x ? (A)51 13.若 ( x ? 1) n A.9 (A) 9
10
n

B.-1440
1 x
5

C.-2880 B )

D.2880

? 1) 的展开式中,常数项为(

(B)-51
3 2

(C)-11
?

(D)11
? 3 : 1 ,则 n

? x ? ? ? a x ? b x ? ? ? 1( n ? N )

,且 a : b

的值为( C )

B.10
2 10

C.11 (B)10

D.12
9 10

14.若多项式 x ? x

= a 0 ? a 1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a 9 ( x ? 1) ? a 10 ( x ? 1) ,则 a 9 ? ( (C) ? 9
9



(D) ? 10
9

解:根据左边 x 的系数为 1,易知 a 10 ? 1 ,左边 x 的系数为 0,右边 x 的系数为

a

9

?

a C
10

9 10

?
n

a

9

? 10 ? 0 ,∴

a

9

? ? 10

故选 D。

15.若 x(1+x) 的展开式中的每项的系数都用这一项的 x 的指数去除,则得到的新系数和等 于( A ) n+1 n n-1 n A.(2 -1)/(n+1) B.(2 -1)/(n+1) C.(2 +n-2)/(n+1) D.(n·2 +1)/(n+1) 16.设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod m).已知 a=1+C 1 +C 2 ·2+C 3 ·2 +…+C 20 ·2 ,b≡a(mod 10),则 b 的值可以 20 20 20 20 是( B ) A.2015 17.若二项式 ( A. 2 k ? ?
10 2 19

B.2011
sin ? x
6

C.2008

D.2006 B ) D. ?
?
2

? x ) 展开式的常数项为 20,则 ? 值为(

?
2

(k ? Z )

B. 2 k ? ? )

?
2

(k ? z )

C.

?
2

18.53 被 8 除的余数是( A、1 B、2

C、3
1 2 2 3 3

D、7
4 4

19 已知 x ? 2 ? i ,设 M ? 1 ? C 4 x ? C 4 x ? C 4 x ? C 4 x ,则 M 的值为(



A 4 B -4i C 4i D 6 20.数(1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近视值是………………………( ) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44 21.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中,x 的系数是…………………( ) A. C n
n ?1

B. C n

2

C. C n ? 1

2

D. C n ? 1

2

二.填空题 20、已知 3 C x ? 3 ? 5 A x ? 4 ,则 x=__________________
2 x?7

21、 (x-1) (x+2) (x-5) (x+7) (x-10)中 x 的系数为_______________ 22.若对任意实数 x , y 都有 ? x ? 2 y ? 5
? a 4 ?x ? 2 y ?y
4 5

4

? a 0 ?x ? 2 y ? ? a1 ?x ? 2 y ? y ? a 2 ?x ? 2 y ? y
5 4 3

2

? a3 ?x ? 2 y ? y ?
2 3

? a 5 y ,则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ?
x ?

-243
1 x
6

.
2

23 设 a 为 sin x ? 3 co s x ? x ? R ? 的最大值, 则二项式 ( a 是 24 -192
(1 ? x ? x ) ? (1 ? 2 x )
2 3 2 4

) 展开式中含 x 项的系数

已 知 等 式

? a 0 ? a1 x ? a 2 x

2

? ? ? a 14 x

14

成 立 , 则

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 13 ? a 14

的值等于

0

.
2 时,S 等

25、 ( x ? 于

2)

2006

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的所有项的和为 S,当 x ?

26 设二项式 ( 3 3 x ?

1 x

) 的展开式的各项系数之和为 P,所有二项式系数之和为 S,若

n

P+S=272,则 n= . 三.解答题 27、某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种, 现在餐厅准备了五种不同的荤菜, 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择, 则餐厅至少还 需准备不同的素菜品种?(要求写出必要的解答过程) 解:在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C 5 ? 10 种,设素菜为 x 种,则
2

C x ? C 5 ? 200 解得 x ? 7 ,
2 2

28、已知 ( 3 x ? x 2 ) 2 n 的展开式的二项式系数和比 ( 3 x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求
(2 x ? 1 x )
2n

的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

解: (1)n=5,—8064 4 (2)—15360x 解:由题意 2 2 n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 。 ① (2 x ?
1 x
5 即 T 6 ? T 5 ? 1 ? C 10 ? ( 2 x ) 5 ? ( ?

)

10

的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
1 x )
5

? ? 8064

.

②设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,
r r 则 T r ? 1 ? C 10 ? ( 2 x ) 10 ? r ? ( ? ) r ? ( ? 1) r ? C 10 ? 2 10 ? r ? x 10 ? 2 r

1

x

∴? ∴
8 3

r ? C 10 ? r

?2

10 ? r 10 ? r

?

r ?1 C 10 r ?1

?2 ?2

10 ? r ? 1 10 ? r ? 1

? C 10 ? 2 ?

? C 10

,得 ?

r r ? C 10 ? 2 C 10? 1 ?

? 2 C 10 ? C 10 ?
r

r ?1

,即 ?

?11 ? r ? 2 r ? 2 ( r ? 1 ) ? 10 ? r

? r ?

11 3

,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项.
3

29、(12 分)在二项式 ( x ?
2

1
3

) 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列 x

n

(1)求展开式的常数项; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中各项的系数和。 解:展开式的通项为 T r ? 1 由已知: ( ? (1) T 5
? 1 2 35 8
0 0

? (?

1 2

n?2r

) Cnx

r

r

3

,r=0,1,2,…,n
1 2 1 4

) Cn, (

1 2

)C n , (

1

1 2

) Cn

2

2

成等差数列,∴

2?

Cn ?1?

1

Cn

2

∴ n=8
1 256

(2) T5 二 项 式 系 数 最 大
1 2?
4 n

(3)令 x=1,各项系数和为

30.已知 ( x ?

) 的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列. x

(1)求展开式中所有的 x 的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 解:(1)展开式前三项的系数分别为

C n ? 1, C n ?
1 2

1 2 1 8

?

n

1 2 1 2 , C n ? ( ) ? n ( n ? 1) . 2 2 8

由题设可知: 2 ?

n 2

?1?

n ( n ? 1)

解得:n=8 或n=1(舍去). 当n=8 时, T r ? 1 ? C 8 ( x )
r 8? r

? (2 ?

4

x)

?r

=C 8 ? 2
r

?r

?x

4?

3 4

r

.

据题意,4-

3 4

r 必为整数,从而可知 r 必为 4 的倍数,

而 0? r ?8,∴ r =0,4,8. 故 x 的有理项为: T 1 ? x , T 5 ?
4

35 8

x ,T9 ?

1 256

x .

2

(2)设第 r +1 项的系数 t r ? 1 最大,显然 t r ? 1 >0, 故有
t r ?1 tr

?1 且

tr?2 t r ?1

?1.



t r ?1 tr



C8 ?2
r

?r ? r ?1

C8
9? r 2r

r ?1

?2

?

9? r 2r





?1,得 r ?3.
C8
r ?1 r



tr?2 t r ?1



?2

? r ?1 ?r

C8 ?2

?

2 ( r ? 1) 8? r





2 ( r ? 1) 8? r

?1,得 r ?2.
5 2
7

∴ r =2 或 r =3,所求项分别为 T 3 ? 7 x 和 T 4 ? 7 x 4 . 31、(12 分)已知 m , n 是正整数, f ( x ) ? (1 ? x ) 中 x 的系数为 7, (1) 试求 f ( x ) 中的 x 的系数的最小值;9 (2) 对于使 f ( x ) 的 x 的系数为最小的 m , n ,求出此时 x 的系数;5 (3) 对于使 f ( x ) 的 x 的系数为最小的 m , n , 求此时 f ( 0 . 003 ) 的近似值 (精确到 0.01) ; 2.02 32、已知(x + (2)C n0 3
2 2 3 2

m

? (1 ? x ) 的展开式
n

1 x
2

) 展开式中有第六项的二项式系数最大,求:(1)展开式中不含 x 项;
2

n

1 2

C n+

1

1 4

C n-

1 8

C n+…+(-1) ·

3

n

1 2
n

C n 的值.

n

答案.(1)210,(2)

1 1024

33.在二项式(ax +bx ) (a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展开式里最大 系数项恰是常数项. (1)求它是第几项; (2)求
a b
r 解: (1)设 T r ? 1 =C 12 (ax )

m

n

12

的最值.
12-r
r · bx ) =C 12 a (

m

n

r

12-r r m(12-r)+nr

bx

为常数项,则有 m(12-r)

+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项. (2)∵第 5 项又是系数最大的项,
4 3 C 12 a b ?C 12 a b ①

8 4

9 3

∴有
4 5 C 12 a b ?C 12 a b ②

8 4

7 5

由①得

12 ? 11 ? 10 ? 9 4?3? 2 9 4

a8b4?

12 ? 11 ? 10 3? 2 a b

a9b3,

∵a>0,b>0,∴ 由②得 故
a b a b

b?a,即
?
a b

?

9 4

.

?

8 5

,∴

8 5

?

9 4

.
9 4

的最大值、最小值分别为
? 2 ? Cn 2
n 1 n ?1



8 5

.
2 ? 1( n ? N )
?

35. 已知 S n

? Cn 2
2

n?2

? ? ? Cn

n ?1

, 求证: n 为偶数时,S n 当

? 4n ? 1



被 64 整除. 证明: S n
∵ n

? ( 2 ? 1) ? 3
n

n


?

为偶数,设 n
k

? 2k (k ? N )


k 0 k?2

∴ S n ? 4 n ? 1 ? 9 ? 8 k ? 1 ? (8 ? 1) ? 8 k ? 1 ? ( C k 8

? Ck 8
1

k ?3

? ? ? Ck

k?2

·8 )

2



(? )

当k

? 1 时, 9 ? 8 k ? 1 ? 0
k

,显然 S n

? 4n ? 1

能被 64 整除;

当k ?
∴n

2

时, ( ? ) 式能被 64 整除.
? 4n ? 1

为偶数时, S n

能被 64 整除.
2
2

例 4. 已知二项式 ( x ?

) , (n∈N )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的

n

*

x

比是 10:1, (1)求展开式中各项的系数和 (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10:1,

C ∴ C

4 n 2

? (?2)

4

? (?2) n

?
2

10 1

,解得 n=8

令 x=1 得到展开式中各项的系数和为(1-2) =1 (2) 展开式中第 r 项, 第 r+1 项,第 r+2 项的系数绝对值分别为

8

C C

r ?1 8

?2

n?r

,C 8 ? 2 ,C 8 ? 2
r

r

r ?1

r ?1

,

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足:
r ?1 8

?2

n?r

?C 8 ? 2

r

r

并且 C 8 ? 2
1 x
11

r ?1

r ?1

? C 8 ? 2 ,解得 5?r?6;
r

r

所以系数最大的项为 T 7 =1792 ?

;二项式系数最大的项为 T 5 =1120 ?

1 x
6


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