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1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线


1.2.1

任意角的三角函数
三角函数线

复习引入
1.设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),角α 的三角函数是怎样定义的?

sin ? ? y

cos ? ? x
正弦为正 其余为负 正切为正 其余为负

2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何?
y
三角函数 全为正 o 余弦为正 其余为负 x

y tan ? ? ( x ? 0) x

3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ?, tan(? ? 2k? ) ? tan ?( k ? Z ).其数学意义如何? 终边相同的角的同名三角函数值相等.

探究:角是一个几何概念,同时角的大小也具有数量
特征.我们从数的观点定义了三角函数,如果能从图形 上找出三角函数的几何意义,就能实现数与形的完美 统一.

MP ? y ? sin ?
OM ? x ? cos ?
M

y
p(x , y)

o

M

x

P(x,y)

p(x , y)

p
M

o
y
M

M

x

o
y
M

x

正弦线 余弦线
x o

o

x
p

p

思考:设α为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα+cosα>1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

问题1:如图,设角α 为第一象限角,其终边与单 y 位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是正数,用 x 哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?

y MP AT tan ? ? ? ? ? x OM OA
正切线:AT

AT

y P O

T

M A x

正切线
问题2:若角α 为第四象限角,其终边与单位 y 圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? 是负数, x 此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合 适?

y

y tan ? ? ? AT x

M O

A x

P
T

思考:若角α 为第二象限角,其终边与单位圆的交 y tan ? ? 点为P(x,y),则 是负数,此时用哪条 x 有向线段表示角α 的正切值最合适?

y tan ? ? ? AT x

T

y P A T x

A M O

思考:若角α 为第三象限角,其终边与单位圆的交点 y 为P(x,y),则 tan ? ? 是正数,此时用哪条有向 x 线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

A M
O
T

A x

P

思考:根据上述分析,你能描述正切线的几何特征吗?

y P O

T P A x O

y A T

x

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反 向延长线相交于点T,则AT=tanα .

思考:当角α 的终边在坐标轴上时,角α 的正切线 的含义如何?

y

P
P O x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线是一个点; 当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在.

例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
? (1) 4 5? ( 2) 6 2? (3) ? 3 23? ( 4) 6

3 例2 在0~ 2? 内,求使 sin a > 成立的α 的取值 2 范围. y

y =

3 2

P2

P P1

O M

x

? ? 2? ? ? ?? , ? ?3 3 ?

例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域. y
P2 P O M x P1

? ? ? ? ? ? ?? ? 2k? , ? 2k? ?, k ? Z 3 ? 3 ?

1 x = 2

思考:观察下列不等式:

sin sin sin

? ?

6 4

? ? ?

? ?

6 4

? tan ? tan ? tan

?
6

?
4

?
3

?
3

?
3

你有什么一般猜想?

思考:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗?

y P
O M

T

A x


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