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高一数学月考试卷 答案


高一年级数学月考试卷 时间:90 分钟
1.下列说法正确的是 A.单位向量的模长必须为 1cm C.长度相等的向量叫相等向量 2.给出下列命题: ① k 为实数,若 k ? a ? 0 ,则 k ? 0 或 a ? 0 ;②若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共 线;③若 a0 为单位向量,且 a0 ∥ a ,则 a ?| a | a0 ;④设 a ? 0 ,若 na ? mb(m, n ? R , 且 m ? n) 则 a ? b .其中正确的命题的个数是 A.1
?

满分:120 分
( B B.零向量的长度是 0 D.共线向量是在一条直线上的向量 )

一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分):

( B ) D.4

B.2
? ?

C.3
?

3.化简式子 cos 72 cos12 ? sin 72 sin12 的值是

( A



A.

1 2

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

4.在 ?ABC 中,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,那么点 O 是 ?ABC 的 A.外心 5.若 0 ? ? ? A. B.内心 C.重心 D. 垂心

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

( D )

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,且 tan ? ?

? 6

B.

? 4

1 3 , tan ? ? ,则 ? ? ? 的值为 7 4 3? ? C. D. 4 3

( B )

B C 是 6.在 ?ABC 中, 若 cos A cos B ? sin A sin B , 则 ?A
A.锐角三角形 B.直角三角形 7.已知 ? ? ( C.钝角三角形 D.无法判定

( C )

? ?

4 4 , ), 那么 sin ? ? cos ? 等于 4 2

( B ) D. ?2 cos 2?

A. sin 2?

B. ? cos 2?
高一年级 数学学科

C. 2sin 2?

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??? ? ??? ? ??? ? A B ? C A B? 8.如图, 四边形 ABCD 是梯形,AD / / BC , 则O 等于
A. CD
? ??

( B

)

B. OC A

? ??

C. DA D

? ??

D. CO

? ??

O B C

二.填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上): ? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? 9.在 ?ABC 中,D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2DB , CD ? CA ? ? CB ,则 ? 的值为_2/3___; 3 1 1 10.已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? ? , 则 cos(? ? ? ) ? -59/72 ; 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 11.在 ?ABC 中,若满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5 , 则 AB?BC ? BC? CA ? CA?AB 的值
等于 -25 ;

12. log 2 cos

?
9

? log 2 cos

2? 4? ? log 2 cos = 9 9

-3



三.解答题(5 个小题,满分 60 分) : ? ? ? ? 4 sin ? ? 2 cos ? 13.(10 分)已知 a ? (3 , 1) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,求 的值. 5 cos ? ? 3sin ? ? ? 解: ∵ a ∥b
∴ ∴ ∵

3cos ? ? sin ? ? 0 tan ? ? 3

4sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3 tan ?

把 tan ? ? 3 代入上式得

4sin ? ? 2 cos ? 4 tan ? ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3 tan ? 5 ? 3 ? 3 7
14.(10 分)已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( ? 1, 0) , B (4, 0) , C (0, c) . (1)若 AC ? BC ,求 c 的值;
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????

??? ?

(2)当c满足(1)问题的结论时,求△ ABC 的重心坐标 G( x, y ) . 解: (1)∵

???? AC ? (0, c) ? (?1, 0) ? (1, c) ??? ? BC ? (0, c) ? (4, 0) ? (?4, c) ??? ? ??? ? 若 AC ? BC ??? ? ??? ? AC ? BC ? 0 即 1? (?4) ? c2 ? 0 ∴
c ? ?2

解得 (2) 、 若 c ? ?2 则 G(

?1 ? 4 ? 0 0 ? 0 ? 2 ?1 ? 4 ? 0 0 ? 0 ? 2 , )或G ( , ) 3 3 3 3 2 2 )或G (1, ? ) 3 3
? ? ? ? ? ? ?? ? 5 , b ? ?1,?3? ,且 ? 2 a ? b ? ? b , ? ?
? ?

即 G (1,

15.(12 分)已知向量 a , b 满足 | a |?
?

(1)求向量 a 的坐标; (2)求向量 a 与 b 的夹角.

(x, y ) 因为 | a |? 5 解: (1) 设 a ?

?

?

?

x 2 ? y 2 ? 5 -------①

又∵ 已知 b ? ?1, ?3? ,且 ? 2 a ? b ? ? b
? ?

? ?

?

?

? ?

?

2 a ? b ? 2( x, y ) ? (1, ?3) ? (2 x ? 1, 2 y ? 3)


(2 x ? 1, 2 y ? 3) ? (1, ?3) ? 2 x ? 1 ? (2 y ? 3) ? (?3) ? 0 -------②

由①②解得
?

? x ? 1 ? x ? ?2 或? ? ?y ? 2 ?y ?1
?

(1, 2)或 a ? ( ? 2, 1 ) ∴a ?
(2)设向量 a 与 b 的夹角 ?
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? ?

? ? a ?b ∵ cos ? ? ? ? | a || b | ? ? a ?b (1, 2) ? (1, ?3) 2 ?? ∴ cos ? ? ? ? ? 2 2 2 | a || b | 1 ? 2 1 ? (?3) ? ? a ?b (?2,1) ? (1, ?3) 2 ?? 或 cos ? ? ? ? ? 2 | a || b | 1 ? 22 1 ? (?3) 2
∵0 ?? ?? ∴向量 a 与 b 的夹角 ? ?
? ?

3? 4

16. (14 分) 已知△ABC 的内角 B 满足 2 cos 2 B ? 8cos B ? 5 ? 0 , BC ? a , CA ? b 且 a, b 满足: a? b ? ?9 , a ? 3, b ? 5 , ? 为 a, b 的夹角, 求 sin( B ? ? ) . 解: 2(2cos2 B ?1) ? 8cos B ? 5 ? 0, 4cos2 B ? 8cos B ? 5 ? 0

??? ?

? ? ???

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ? a ?b 3 4 1 3 得 cos B ? ,sin B ? , cos ? ? ? ? ? ? ,sin ? ? , 5 5 2 2 a?b

s i nB ( ?? ? )

4? 3 3 sB i n ?c? o s B c o? s? sin 10
2

17.(14 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ? (1)写出函数的单调递减区间;

3 a ? b (a ? 0) 2

(2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ?b 2 2 2 a 3a sin x 2? 2 2 c ox s? 2b ? a sxi ? n ( 2? b 3

?

?

)

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(1) 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求 12 12

? 2x ?

?

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

f ( x)m i n? ?

3 a? b? ? 2 , f ( xm ) ax ? a? b? 3 , 2

? 3 ?a ? 2 a ? b ? ?2 ? ?? ? ? 2 ? ? ?b ? ?2 ? 3 ?a ? b ? 3 ?

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