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几何_图文

第五节 简单几何体的 表面积和体积

基础知识梳理
1.柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积 ①直棱柱:设棱柱的高为h,底面多边 形的周长为c,则 S直棱柱侧= ch . ②圆柱:如果圆柱的底面半径为r,母 线长为l,那么 S圆柱侧= 2πrl .

基础知识梳理
(2)锥体的侧面积

①正棱锥:设正棱锥底面正多边形
的周长为c,斜高为h′,则

1 S正棱锥侧= 2 ch′ .
②圆锥:如果圆锥的底面半径为r,

母线长为l,那么 S圆锥侧= πrl .

基础知识梳理
(3)台体的侧面积 ①正棱台:设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c,斜高为h′,则正n棱台的侧面积 1 公式S正棱台侧= 2 (c+c′)h′ . ②圆台:如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r,母线长为l,则S圆台侧= πl(r′+r) . 注:表面积=侧面积+底面积.

基础知识梳理

(4)球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积公式 为S球= 4πR2.

基础知识梳理
2.柱、锥、台、球的体积 (1)长方体的体积 V长方体=abc= Sh . (其中a、b、c为长、宽、高,S为底面 积,h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体=Sh. 其中,V圆柱=πr2h(其中r为底面半径).

基础知识梳理

(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积 V锥体=

1 其中V圆锥= 3 πr2h ,r为底面半径.

1 Sh. 3

基础知识梳理
(4)台体的体积公式 V台=h(S++S′). 注:h为台体的高,S′和S分别为上下 两个底面的面积. 1 其中V圆台= 3 πh(r2+rr′+r′2) .
注:h为台体的高,r′、r分别为上、 下两底的半径. (5)球的体积 4 3 V球= 3 πR .

三基能力强化

1.(2010年山东青岛模拟)若正三棱

锥的斜高是高 2 3 的倍,则棱锥的侧面 3
积是底面积的________倍.

三基能力强化
h′ 解析: 设斜高为 h′, 高为 h, h 则 2 3 = 3 , 3 ∴h= 2 h′. ∴底面边长为 3h′. 3 · 3h′)2 S底 4 ( 1 ∴ = 1 =2, 侧=2S 底. ∴S S侧 3·· 3· 2 h′ 2 答案:2

三基能力强化

2.(2010年南通调研)正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2 3 ,则四面体A- B1CD1的外接球的体积为________.

三基能力强化

解析: 因为四面体 A-B1CD1 是由面 对角线组成的正四面体,其棱长为 2 6, 其高为 (2 6)2-(2 2)2=4, 所以外接球 3 4 的半径为4×4=3,体积为3×33π=36π. 答案:36π

三基能力强化
3.(2009年高考上海卷改编)若球O1、O2 表面积之比=4,则它们的半径之比=______.
R1 解析:S 球=4πR ,故 = R2
2

S1 = 4=2. S2

答案:2

三基能力强化
4. (2008 年高考全国卷Ⅱ改编)正四 棱锥的侧棱长为 2 3,侧棱与底面所成 的 角 为 60°, 则 该 棱 锥 的 体 积 为 ________.

解析:如图,过点 S 作 SO⊥平面 ABCD,连结 OC,则∠SCO=60° ,SO =3, CO= 3, AB=x, 2x=2 3, 设 则 1 1 故 AB= 6,∴V=3Sh=3× 6× 6×3 =6.

三基能力强化

答案:6

三基能力强化
5.(原创题)半径为 1 的半圆卷成一 个圆锥,则它的体积为________. 解析: 设圆锥的底面半径为 r, 2πr 则 =π, 1 1 1 ∴r = 2 , ∴V = 3 πr2h = 3 12 12 3 π(2) 1-(2) = 24 π.

3 答案: 24 π

课堂互动讲练
考点一 几何体的表面积问题

1.高考中对几何体的表面积的考查 一般在客观题中,借以考查空间想象能 力和运算能力,只要正确把握几何体的 结构,准确应用面积公式,就可以顺利 解决.

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2.多面体的表面积是各个面的面积 之和.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面, 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面 图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和. 3.几何体的表面积应注意重合部分 的处理.

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例1
(2010年广东省惠州市高三调研) 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的 底面边长是2,D,E是CC1,BC的中 点,AE=DE. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面 积.

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【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形,然后求侧棱长;(2)分别求出 侧面积与底面积.

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【解】 (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 x. ∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC. 又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C, 在 Rt△AED 中 , 由 AE = DE , 得 x2 1+ = 3, 4 解得 x=2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.

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(2)S=S 侧+S 底, S 侧=3×2×2 2=12 2, 1 S 底= × 3×2×2=2 3, 2 ∴S=S 侧+S 底=12 2+2 3.

【点评】 求表面积应分别求各部 分面的面积,所以应弄清图形的形状, 利用相应的公式求面积,规则的图形可 直接求,不规则的图形往往要再进行转 化,常分割成几部分来求.

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跟踪训练
1.(2009年高考福建卷)如图,平行四 边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD =4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置, 使平面EBD⊥平面ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥E-ABD的侧面积.

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跟踪训练
解:(1)在△ABD 中,∵AB=2,AD = 4 , ∠DAB = 60° , ∴BD = AB2+AD2-2AB· ADcos∠DAB=2 3. ∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD. 又∵平面 EBD⊥平面 ABD, 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB? 平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. ∵DE?平面 EBD,∴AB⊥DE.

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跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB, ∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中,∵DB=2 3, DE=DC=AB=2, 1 ∴S△DBE= DB· DE=2 3. 2 又∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD,∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE= 1 AB· BE=4. 2

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跟踪训练
∵DE⊥BD, 平面 EBD⊥平面 ABD, ∴ED⊥平面 ABD. 而 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD, 1 ∴S△ADE= AD· DE=4. 2 综上,三棱锥 E-ABD 的侧面积 S =8+2 3.

课堂互动讲练
考点二 几何体的体积

1.求空间几何体的体积除利用公式 法外,还常用分割法、补体法、转化法 等,它们是解决一些不规则几何体体积 计算问题的常用方法.

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2.计算柱体、锥体、台体的体积关 键是根据条件找出相应的底面面积和高, 要充分利用多面体的截面及旋转体的轴 截面,将空间问题转化为平面问题.

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例2
(2009年高考安徽卷)如图,ABCD是边长 为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,E和F 是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E′ 和F′是平面ABCD内的两点,EE′和FF′都与 平面ABCD垂直. (1)证明:直线E′F′垂直且平分线段AD; (2)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2, 求多面体ABCDEF的体积.

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【思路点拨】 (1)连结DE′,AE′, CF′,BF′,证明DE′=AE′,BF′=CF′; (2)可用体积分割法.

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【解】 (1)证明:连结E′A、E′D、 CF′、BF′.由EA=ED, 知Rt△EE′A≌Rt△EE′D,故在平面 ABCD中, E′A=E′D,E′在线段AD的中垂线上. 同理,F′在线段BC的中垂线上.

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由于ABCD是正方形,BC的中垂线 就是AD的中垂线,所以F′也在AD的中垂 线上,由于E′、F′都在AD的中垂线上, 所以E′F′就是AD的中垂线,因此E′F′垂 直且平分线段AD.

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(2)因为EE′∥FF′,所以E,F,E′,F′共 面.

因为EF∥平面ABCD,所以EF∥E′F′. 又E′F′∥AB,得EF∥AB,又EF=AB=2, 故四边形ABFE是平行四边形. 同理,四边形CDEF是平行四边形. 由∠DAE=60°,知△ADE是等边三角
形; 连BE,又由AB=AE,∠EAB=60°, 知△ABE是等边三角形.

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由 EA=EB=ED,知点 E 在平面 ABCD 上的射影 E′点为正方形 ABCD 中心, 连 EC,故 EA=EC. 因此,△CDE,△BEF,△CEF, △BCE,△BCF 都是等边三角形,四面 体 BCEF 是棱长为 2 的正四面体. 四棱锥 E-ABCD 是正四棱锥, AE′= 2,EE′= 2, V 多面体 ABCDEF=V 正四棱锥 E-ABCD+V 正四面 4 2 2 2 + =2 2. 体 BCEF= 3 3

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【点评】 在求多面体的体积时,如果几 何体的形状不规则或者直接求解不易进行时, 可以对几何体进行分割,化为规则几何体或者 体积容易求解的几何体,分别求出体积后再相 加即得所求几何体的体积.另外,三棱锥的体 积求解具有较多的灵活性,因为三棱锥的任意 一个顶点都可以作为顶点.任何一个面都可以 作为棱锥的底面,所以常常需要对其顶点和底 面进行转换,以方便求解.

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跟踪训练
2.如图,侧棱垂直底面的三棱柱AB C-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形AC DE中,AE=2,AC=4,∠E=60°,点B 为DE中点. (1)求证:平面A1BC⊥平面A1ABB1. (2)设四棱锥A1-AEBC与四棱锥A1- B1BCC1的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的 值.

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跟踪训练

解:(1)证明:在平行四边形ACDE 中, ∵AE=2,AC=4,∠E=60°,点 B为DE中点.

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跟踪训练
∴∠ABE=60°,∠CBD=30°, 从而∠ABC=90°, 即AB⊥BC. 又AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC. ∴BC⊥平面A1ABB1, ∵BC?平面A1BC, ∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.

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跟踪训练
(2)法一:设平行四边形 ACDE 的面 积为 S,AA1=h, 13 则四棱锥 A1-AEBC 的体积 V1= · 34 1 Sh= Sh, 4 四棱锥 A1-B1BCC1 的体积为 V2= 21 1 ·Sh= Sh. 32 3 1 1 ∴V1∶V2=( Sh)∶( Sh)=3∶4. 4 3

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跟踪训练
法二:设 AA1=h,则四棱锥 A1- AEBC 的体积 1 1 2+4 V1 = SAEBC· 1 = · AA × 3h= 3 3 2 3h, ∵A1B1⊥B1B , A1B1⊥B1C1 , B1B∩B1C1=B1, ∴A1B1⊥平面 BCC1B1.

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跟踪训练
∴四棱锥 A1-B1BCC1 的体积为 1 1 V2 = · SBCC1B1· 1B1 = ×2 3h×2 A 3 3 4 = 3h, 3 4 ∴V1∶V2=( 3h)∶( 3h)=3∶4. 3

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考点三 有关组合体问题

本类问题是指几何体由几个规则几 何体组合而成,因而求其表面积或体积 时,可拆解为几个几何体分别来求.

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例3 (解题示范)(本题满分14分) 如图,正三棱锥的高为1,底面边长 为2 6 ,内有一个球与四个面都相切.求 棱锥的表面积和球的半径.

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【思路点拨】 先画截面图再求 解. 【解】 过PA与球心O作截面PAE 与平面PCB交于PE,与平面ABC交于AE, 因△ABC是正三角形,易

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知 AE 即是△ABC 中 BC 边上的高, 又是 BC 边上的中线,作为正三棱锥的 高 PD 通过球心 O,且 D 是三角形 ABC 的重心,据此根据底面边长为 2 6,即 1 1 3 可算出 DE= AE= × ×2 6= 2,8 3 3 2 分 PE= 1+( 2)2= 3, F 为球与面 PBC 的切点,

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则有 OF⊥PE.设 OF=r, 由△POF∽△PED, 1-r r 知DE= PE , r 1-r ∴ = ,r= 6-2.12 分 2 3 ∴S 表=S 侧+S 底 1 3 =3× ×2 6× 3+ ×(2 6)2 2 4 =9 2+6 3.14 分

课堂互动讲练
【点评】 球与多面体、旋转体的 相接、相切问题简称为组合体问题,这 类问题能够很好地考查学生对空间图形 的识图、辨别能力,更能考查学生的空 间想象能力,所以在高考中一直是热点 题型.复习中要注意总结规律,掌握常 见问题的求解方法.

课堂互动讲练
相切或相接问题一般通过作出截面, 使构成组合体的各个简单体中的主要元 素尽可能集中在该截面中,从而转化成 平面图形的计算加以解决.旋转体之间 的相接、相切问题,通常作出它们的共 轴的截面;旋转体与多面体之间的相接、 相切问题,一般作出它们接、切的某个 公共点与轴所确定的截面.

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自我挑战
3.(本题满分8分)三棱锥P-ABC的 500π 四个顶点都在体积为 的球的表面上, 3 底面ABC所在的小圆面积为16π,求该三 棱锥的高的最大值.

课堂互动讲练
自我挑战
解:设球的半径为R, 4 πR3= 500π, 3 3 R=5.3分 设小圆半径为r,πr2=16π,∴r=4.6分 当三棱锥的高过球心O时,取得最大值, 2 OO1= 52-4=3,PO1=5+3=8.8分

课堂互动讲练
自我挑战

规律方法总结
1.直棱柱的侧面展开图是一些矩形, 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰 三角形,正棱台的侧面展开图是一些全 等的等腰梯形. 2.斜棱柱的侧面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积.

规律方法总结
3.如果直棱柱的底面周长是c,高 是h,那么它的侧面积是S直棱柱侧=ch. 4.应注意各个公式的推导过程,不 要死记硬背公式本身,要熟悉柱体中的 矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作 用.

规律方法总结
5.如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台, 在求其侧面积或全面积时,应对每一个侧面 的面积分别求解后再相加. 6.求球的体积和表面积的关键是求出 球的半径.反之,若已知球的表面积或体积, 那么就可以得出其半径的大小. 7.计算组合体的体积时,首先要弄清 楚它是由哪些基本几何体构成,然后再通过 轴截面分析和解决问题.

规律方法总结
8.计算圆柱、圆锥、圆台的体积时, 关键是根据条件找出相应的底面面积和高, 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴 截面,将空间问题转化为平面问题求解.

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