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2014北京西城区高三期末数学(理)试题


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北京市西城区 2013—2014 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2014.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | | x | ≤1} ,则集合 A ? B ? ( (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (1, 2) ) (D) [1, 2)

2.已知复数 z 满足 z = (A) ?1

2i ,那么 z 的虚部为( 1? i
(B) ?i

) (C) 1 (D) i

3.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? 则c ?( (A) 4 ) (B) 15 (C) 3 (D) 17

1 , 3

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(


开始 i=1,S=0

3 (A) 4 4 (B) 5 5 (C) 6
(D) 1

S?S?

1 i (i ? 1)

i=i+1

i≥5
是 输出 S 结束



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AB 的中点为 5.已知圆 C : ( x + 1) + ( y - 1) = 1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ?
2 2

M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是( (A) y = x + 2 (C) y = x - 2 +

) (B) y = x + 1-

2 2

1 2
2

(D) y = x + 1-

6. 若曲线 ax ? by ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足(
2 2



(A) a ? b
2

2

(B)

1 1 ? a b

(C) 0 ? a ? b

(D) 0 ? b ? a

7. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 且当 x ? (0,1] 时,f ( x) ? x 2 ? x , 则当 x ?[?2, ?1] 时, f ( x) 的最小值为( (A) ?
1 16

) (B) ?
1 8

(C) ?

1 4

(D) 0

8. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 3 ,动点 P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂直于

BD1 的平面 ? ,记这样得到的截面多边形
(含三角形)的周长为 y,设 BP ? x, 则当 x ? [1,5] 时,函数 y ? f ( x) 的值域为( ) A1

D1 B1

C1

(A) [2 6, 6 6] (B) [2 6,18] (C) [3 6,18] (D) [3 6, 6 6]

D A

P B

C

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第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A3 1 , ) ( , 若向量 OA ? AB , 则实数 k ? _____. B(?2, k ) ,

??? ?

??? ?

10 . 若 等 差 数 列 {an } 满 足 a1 ?

1 , a4 ? a6 ? 5 , 则 公 差 d ? ______ ; 2

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? ______.

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所 示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.
2 侧(左)视图

12.甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位,则两人所选的实习单位中恰有 1 个相同的选法种数是______. (用数字作答)

13. 如图, B, C 为圆 O 上的两个点, P 为 CB 延长线上一点, PA 为圆 O 的切线, A 为 切点. 若 PA ? 2 , BC ? 3 ,则 PB ? ______;

AC ? ______. AB
O. C B A P

? x ? y≥0, ? 14.在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 ? x 2 ? y 2 ≤2 ?

?u ? x ? y , T :? 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u, v) . ?v ? x ? y
(1)在映射 T 的作用下,点 (2, 0) 的原象是 ;

(2)由点 (u, v) 所形成的平面区域的面积为______.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x ,g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) , 且 g ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ? [? π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

16. (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、 乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩. 乙组记录中有一个 数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩 之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?BAD ? 60 ? , 四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3, H 是 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 H ? BD ? C 的大小. F D H C A B E

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

19. (本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k,
2

O 为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交 点为 D ,求 OD 的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 设无穷等比数列 {an } 的公比为 q,且 an ? 0( n ? N ) ,[an ] 表示不超过实数 an 的最大整
*

数(如 [2.5] ? 2 ),记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . (Ⅰ)若 a1 = 4, q =

1 ,求 Tn ; 2

(Ⅱ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1,证明: ( ) 2012 ? q ? 1 . (Ⅲ)证明: S n = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 a1 挝N , q
*

2 3

1

N* .

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