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2013年数学高考试题分类解析(理数)——平面解析几何及参考答案


2013 年数学高考试题分类解析(理)

【考点 4】解析几何—★★参考答案★★
姓名:____________ 广东高考理科数学解析几何模块雷打不动的考查一个填空题(5 分)加一道解答题,总 分值 19 分左右。

一、填空题部分:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 题号 11 11 11 12 10 12 设问 准线方程 直线方程 椭圆方程 圆的方程 圆的方程 切线方程 涉及推论 线段的中垂线;抛物线的焦点及准线方程 圆一般方程求圆心;两直线垂直斜率积为-1;点斜式求 直线方程 已知长轴在 x 轴、离心率、PF1+PF2=12 圆与直线相切(利用圆的几何性质) 抛物线上一点&两定点求圆方程(利用圆的几何性质) 求导得斜率,点斜式求切线方程 难度 易 易 易 易 易 易

由上表可知,解析几何部分填空题考点主要有三个: ① 椭圆、抛物线、双曲线定义、标准方程和简单几何性质的考查; ② 直线方程:点斜式,一般由两直线关系或者求导得斜率; ③ 圆的方程:需利用圆的几何性质,作图分析,计算量会谁之减小。 备考策略为:掌握基本的定义、性质;涉及到圆的方程少联立方程解得未知数,多用圆的 几何性质求答案。 (2007-2012 广东高考理数填空题) 1、 (2007. 广东第 11 题)在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2, ,若线段 OA 的垂直 1) 平分线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是
2



【解析】线段 OA 的垂直平分线方程为 y ?
2

5 1 5 ? ?2( x ? 1) ? F ( , 0) ? 准线方程 x ? ? 4 2 4
2

2、 (2008. 广东第 11 题)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直 线方程是 .

【解析】易知点 C 为 (?1,0) ,而直线与 x ? y ? 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b ? 1 ,故待求的直线的方程为 x ? y ?1 ? 0 。

第 1 页 共 8 页

3、(2009.广东第 11 题)巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,且 2

G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为
【解析】 e ?



x2 y2 3 , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 ? ? 1. 2 36 9

4、 (2010 年广东第 12 题)若圆心在 x 轴上、 半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 【解析】设圆心为 (a,0)(a ? 0) ,则 r ? 。

| a ? 2?0 | 1 ?1
2 2

? 2 ,得 a ? ?2 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2

以抛物线 C : y ? 8 x 上的一点 A 为圆心作圆, 若该圆经过抛物线 C 的 5、 2011 年第 10 题) (
2

顶点和焦点,那么该圆的方程为



【解析】依题意得,抛物线的顶点为(0,0),焦点为(2,0) 利用圆的几何性质作图可知,圆心一定在点(0,0)和点(0,2)所组成的线段的垂直平分 线 x=1 上,可得圆心为( )或者( ) ,勾股定理得半径 r=3,可得圆标准方程。

6、 (2012.广东第 12 题)曲线 y ? x ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为_____________。
3

【解析】y=2x+1

第 2 页 共 8 页

二、解答题部分:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 题号 18 18 19 20 19 20 设问 (1)圆的方程 (1)椭圆方程 抛物线方程 (1)点的轨迹 方程 (1)点的轨迹 方程 (1)点的轨迹 方程 (1)椭圆方程 涉及推论 利用圆的几何性质:圆到切线的距离为圆半径且圆 心跟切线所成的直线的斜率与切线斜率相乘为-1 抛物线求导再利用点斜式得过抛物线某点的切线 方程 韦达定理求交点的中点; x 的范围要留心是否全体实数 两直线的交点轨迹:两式相乘 垂直向量相乘为 0; 斜率不存在或者 k=0 需讨论:会影响 x 的取值范围 计算:分类讨论 b 的取值范围,二次函数求最值 难度 易 易 中 易 易 中

由上表可知,近年来圆锥曲线主要考的方向应该是(概率从高到低排列) : ① 点的轨迹; ② 点的坐标 ③ 圆锥曲线的标准方程 备考策略为: 尽量多用几何性质求解;求点的轨迹方程时也别忘了考虑 x 的范围。 (2007-2012 广东高考理数解答题) 7、 (2011 年广东第 19 题)已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴, 动点 P 在 l1 上,且满足 OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C . (1) 求曲线 C 的方程; 解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2 ? . ∵ OP ? OQ ,

k ∴ kOP ? OQ ? ?1 .
当 x ? 0 时,得 ?

y ?2 ? ?1 ,化简得 x 2 ? 2 y . x x

当 x ? 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 .
2 ∴曲线 C 的方程为 x ? 2 y ? x ? 0 ? .

8、 (2007 年广东第 18 题)在平面直角坐标系 xOy ,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的

第 3 页 共 8 页

圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O .椭圆 距离之和为 10 . (1)求圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的 a2 9

[解析](1)显然圆心 C 的坐标为 (?2, 2) ,故圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

9、 (2010 年广东第 20 题) 已知双曲线

x 右顶点分别为 A1 , A2 , P( x1 , y1 ) , 点 ? y 2 ? 1 的左、 2

Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线 A1 P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程;

解 : (1) A1 , A2为双曲线的左, 右顶点,? 它们的坐标为A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0). 则A1 P : y ? y1 ? 0 x1 ? 2 ( x ? 2 ), A2 Q : y ?
2

? y1 ? 0 x1 ? 2

( x ? 2 ), 两式相乘得 : y 2 ?
2

? y1
2

2

x1 ? 2

( x 2 ? 2).

? 点P( x1 , y1 )在双曲线上, 所以
[来

x1 y 1 1 x2 2 ? y1 ? 1, 即 2 1 ? , 故y 2 ? ? ( x 2 ? 2), 即 ? y 2 ? 1. 2 2 2 x1 ? 2 2

经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, 且x ? ? 2 ). 2

三、2012 年其它省份高考解析几何模块
10、 【2012 高考真题重庆理 3】任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系
2 2

一定是 (1) 相离

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

【解析】直线 y ? kx ? 1 恒过定点 (0,1) ,定点到圆心的距离 d ? 1 ? 所以直线 y ? kx ? 1 与圆相交但直线不过圆心,选 C.

2 ,即定点在圆内部,

11、2012 高考真题浙江理 3】 a∈R ,“a=1”“直线 l1: 【 设 则 是 ax+2y=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行 的 A 充分不必要条件 C 充分必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

【解析】当 a ? 1 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 0 ,直线 l 2 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 l1 // l 2 ;若 l1 // l 2 , 则有 a(a ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 , a ? a ? 2 ? 0 , 即 解之得,a ? ?2 或 a ? 1 , 所以不能得到 a ? 1 。
2

第 4 页 共 8 页

故选A. 12、 【2012 高考真题陕西理 4】 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , 过点 P(3,0) 的直线, ( 则 l
2 2



A. l 与 C 相交

B. l 与 C 相切
2 2

C. l 与 C 相离

D. 以上三个均有可能

【解析】圆的方程可化为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,易知圆心为 (2,0) 半径为 2,圆心到点 P 的距 离为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 13、 【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)



2

( B) 2 2
2 2

(C ) ?

( D) ?

【解析】设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) ,抛物线的准线为 x ? ?4 ,由

AB ? 4 3 ,则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3 ) 代入双曲线方程得

m ? x 2 ? y 2 ? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,即

x2 y2 ? ? 1 ,所以 4 4

a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C.
14、 【2012 高考真题新课标理 4】 F1 F2 是椭圆 E : 设 为直线 x ?

x2 y 2 右焦点,P ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2


3a 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2 ? ? ( A) ( B) (C ) ( D) 2 3 ? ?

【 解 析 】 因 为 ?F2 PF1 是 底 角 为 30? 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 F2 F1 ? F2 P , , 因 为

1 1 PF2 ? F1 F2 ,即 2 2 3a 1 3a c 3 3 ? c ? ? 2c ? c ,所以 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 2 2 2 a 4 4 15、 【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经

?PF1 F2 ? 30 0 ,所以 ?PF2 D ? 60 0 , ?DPF2 ? 30 0 ,所以 F2 D ?

过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (



第 5 页 共 8 页

A、 2 2

B、 2 3

C、 4

D、 2 5

【答案】B(可能为 A)
2 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px ,则点 M (2, ?2 p ) Q 焦点 ?

?p ? , 0 ? ,点 M 到该抛物线 ?2 ?

p? ? 焦点的距离为 3 ,? ? 2 ? ? ? 4 P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2? ?
16、 【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : C 的渐近线上,则 C 的方程为 A.

2

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 a 2 b2

x2 y2 x2 y2 x2 y2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

【解析】设双曲线 C :

x2 y2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a 2 b2

又?C 的渐近线为 y ? ?

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a
x2 y2 =1. 【答案】A 20 5

2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,?C 的方程为

17、 【2012 高考真题福建理 8】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重 4 b2

合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A.

5

B. 4 2

C.3
2

D.5

【解析】由抛物线方程 y ? 12 x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知

4 ? b 2 ? 32 ,所以 b ? 5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?

5 x ,即 ? 5 x ? 2 y ? 0 ,所以 2

d?

| ? 5 ?3 ? 2? 0 | ? 5 ,故选A. 5?4

x2 y2 18、 【2012 高考真题江西理 13】椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、 a b
右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 。 若 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为

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_______________. 【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B( A,0) , 焦 点 坐 标 为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 所 以

AF1 ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c ,又因为 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等比数列,所以有
4c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? a 2 ? c 2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
19、 【2012 高考江苏 8】 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 则 m 的值为 ▲ . 【解析】由

c 5 . ? a 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a = m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m=2 。 ∴ e= = a m

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于 4 3 点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。 【解析】当 直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 3 1 3 将 x ? 1 带入解得 y ? ? ;所以 S?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2
20、 【2012 高考真题四川理 15】椭圆 21、 【2012 高考江苏 19】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右 a 2 b2

? 3? 焦点分别为 F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心 0) e 0) ? 2 ? ? ?
率. (1)求椭圆的方程;

【答案】解: (1)由题设知, a 2 =b2 ? c2,e=

c ,由点 (1, ) 在椭圆上,得 e a


12 a
∴ c 2 =a 2 ? 1 。
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b2 ? c 2 =a 2b2 ? a 2 =a 2b2 ? b2 =1

第 7 页 共 8 页

? 3? 由点 ? e , ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ?1? 4 ? ? 1 ? 4 ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a a
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

x2 y2 22、 【2012 高考真题福建理 19】如图,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右 a b
焦点为 F2 ,离心率 e ?

1 .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△AB F2 的周长为 8. 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程.

23、 【2012 高考真题山东理 21】 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位
2

于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距 离为

3 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

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