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2015年高考数学试题分类汇编-----专题七(不等式)


2015 年高考数学试题分类汇编-----专题七(不等式) 答案解析
?x ? y ≤ 0 , ? 1.(15 北京理科)若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?

A.0 【答案】D

B.1

C.

3 2

D.2

【解析】 试题分析: 如图, 先画出可行域, 由于 z ? x ? 2y , 则y ? ?

1 1 x ? z, 令Z ? 0 , 2 2

作直线 y ? ? 取得最小值 2.

1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 2

考点:线性规划; 2.(15 北京文科)如图, ???C 及其内部的点组成的集合记为 D , ? ? x, y ? 为 D 中任意一 点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为.

【答案】7

考点:线性规划.

?4 x ? 5 y ? 8 ? 3. (15 年广东理科)若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?0 ? y ? 2 ?
A.

31 23 B.6C. D. 4 5 5

【答案】 C . 【解析】不等式所表示的可行域如下图所示, l y

A O x

由 z ? 3x ? 2 y 得 y ? ?

3 z 3 z ? 4? x ? ,依题当目标函数直线 l : y ? ? x ? 经过 A ?1, ? 时, 2 2 2 2 ? 5? 4 23 ? ,故选 C 5 5

z 取得最小值即 zmin ? 3 ?1 ? 2 ?

【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题,属于容易题.

4.(15 年广东文科)若变量 ,

满足约束条件

,则

的最大值为

() A. B. C. D.

【答案】C

考点:线性规划. 5.(15 年广东文科)不等式 【答案】 【解析】 试题分析:由 ,所以答案应填: 考点:一元二次不等式. 得: . ,所以不等式 的解集为 的解集为. (用区间表示)

? x? y ?0 ? 5.6.(15 年安徽文科)已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是( ? y ?1 ?
(A)-1 【答案】A 【解析】 (B)-2 (C)-5 (D)1

)

试题分析:根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图:

令 z ? ?2 x ? y ? y ? ?2 x ? z ,可知在图中 A(1,1) 处, z ? ?2 x ? y 取到最大值 -1, 故选 A. 考点:简单的线性规划.

? x ? 2 y ? 0, ? 7.(15 年福建理科)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值等于 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
( A. ? )

5 3 B. ?2 C. ? D.2 2 2

【答案】A 【解析】 试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 最小时,直线

1 y ? 2 x ? z 的纵截距最大, 故将直线 y ? 2 x 经过可行域, 尽可能向上移到过点 B ( ?1, ) 时, 2

z 取到最小值,最小值为
z ? 2 ? (?1) ? 1 5 ? ? ,故选 A. 2 2

考点:线性规划. 8. (15 年福建理科) 已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t , 若 P 点是 ?ABC 所在平面内一点,

??? ?

???? ??? ?

1 ???? t

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB 4 AC 且 AP ? ??? ? ? ???? ,则 PB ? PC 的最大值等于() AB AC
A.13 B.15 C.19 D.21

【答案】A

y C P B A x

考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式. 9.(15 年福建文科)若直线 A.2 B.3 C.4

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于() a b
D.5

【答案】C

考点:基本不等式.

?x ? y ? 0 ? 10. (15 年福建文科) 变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 若 z ? 2 x ? y 的最大值为 2, ?mx ? y ? 0 ?
则实数 m 等于() A. ? 2 【答案】C 【解析】
3 2

B. ? 1

C. 1

D. 2

C
–4 –3 –2 –1

1

B
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

试题分析: 将目标函数变形为 y ? 2 x ? z , 当 z 取最大值, 则直线纵截距最小, 故当 m ? 0 时, 不满足题意; 当 m ? 0 时, 画出可行域, 如图所示, 其中 B (

2 2m , ). 显然 O (0, 0) 2m ? 1 2m ? 1

不是最优解,故只能 B ( 解得 m ? 1 ,故选 C. 考点:线性规划.

2 2m 4 2m , ) 是最优解,代入目标函数得 ? ?2, 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1

11.(15 年新课标 1 理科)若 x,y 满足约束条件



y 的最大值为. x

【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,
y 是可行域内一 x y 的 x

点与原点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 最大值为 3.

12.(15 年新课标 2 理科)若 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为

____________. 【答案】

? x? y ?5? 0 ? 13.(15 年新课标 2 文科)若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为. ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
【答案】8

考点:线性规划 14. ( 15 年 陕 西 理 科 ) 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b , 若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ) , 2

r?

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系 2
B. q?r? p C. p?r?q

式中正确的是() A. q?r? p D. p ? r ? q 【答案】C

考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. 15.(15 年陕西理科)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每 种产品需原料及每天原料 的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企 业每天可获得最 大利润为() A. 12 万元 B. 16 万元 C. 17 万元 D. 18 万元

A(吨) B(吨)
【答案】D 【解析】

甲 3 1

乙 2 2

原料限额 12 8

试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 、 y 吨,则利润 z ? 3x ? 4 y

?3 x ? 2 y ? 12 ?x ? 2 y ? 8 ? 由题意可列 ? ,其表示如图阴影部分区域: ?x ? 0 ? ?y ? 0

当直线 3x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值,所以 zmax ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 ,故选 D. 考点:线性规划. 16.(15 年陕西文科)某企业生产甲乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种 产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、 4 万元,则该企业每天可获得最大利润为()

A(吨) B(吨)
【答案】 D

甲 3 1

乙 2 2

原料限额 12 8

A.12 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元

当直线 3x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值 z ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 故答案选 D 考点:线性规划.

?x ? 2 ? 0 ? 17.(15 年天津理科)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 6 y 的 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
最大值为 (A)3 【答案】C (B)4 (C)18 (D)40

8 6 4

B
2

A
15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

考点:线性规划.

ì x- 2? 0 ? ? 18.(15 年天津文科)设变量 x , y 满足约束条件 í x - 2 y ? 0 ,则目标函数 z = 3x + y 的最 ? ? ? x +2y - 8 ? 0
大值为() (A) 7 【答案】C (B) 8 (C) 9 (D)14

考点:线性规划 19.(15 年天津文科)设 x ? R ,则“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的() (A) 充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

试题分析:由 x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ,可知“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的充分 而不必要条件,故选 A. 考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件. 20. (15 年天津文科) 已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为时 log2 a ? log2 ? 2b? 取得最大值. 【答案】4 【解析】 试题分析:log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? ?

? log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? 1 1 2 2 ? ? ? log 2 2ab ? ? ? log 2 16 ? ? 4, 当 2 4 ? ? 4

a ? 2b 时取等号,结合 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 可得 a ? 4, b ? 2.
考点:基本不等式. 21.(15 年湖南理科)执行如图 1 所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? ( A. )

6 7

B.

3 7

C.

8 9

D.

4 9

y ? 1 时,

z ? 3x ? y 的最小值是 ? 7 ,故选 A.

考点:线性规划. 22.(15 年山东理科)不等式 | x ? 1| ? | x ? 5 |? 2 的解集是 (A) ( ??, 4) (B) (??,1) (C) (1, 4) (D) (1,5)

解析: 当 x ? 1 时, 当 1 ? x ? 5 时, 1 ? x ? (5 ? x) ? ?4 ? 2 成立; x ?1 ? (5 ? x) ? 2 x ? 6 ? 2 , 解得 x ? 4 ,则 1 ? x ? 4 ;当 x ? 5 时, x ? 1 ? ( x ? 5) ? 4 ? 2 不成立.综上 x ? 4 ,答案选(A)

? x ? y ? 0, ? 23. (15 年山东理科) 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若 z ? ax ? y 的最大值为 4, 则a ? ? y ? 0. ?
(A) 3 (B) 2 (C) ?2 (D) ?3 解析:由 z ? ax ?y 得 y ? ?ax ? z ,借助图形可知:当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时在 x ? y ? 0 时 有 最 大 值 0 , 不 符 合 题 意 ; 当 0 ? ? a ? 1 , 即 ?1 ? a ? 0 时 在 x ? y ? 1 时 有 最 大 值

a ? 1 ? 4, a ? 3 ,不满足 ?1 ? a ? 0 ;当 ?1 ? ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时在 x ? y ? 1 时有最大
值 a ? 1 ? 4, a ? 3 ,不满足 0 ? a ? 1 ;当 ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时在 x ? 2, y ? 0 时有最大值

2a ? 4, a ? 2 ,满足 a ? 1 ;答案选(B)
24.(15 年江苏)不等式 2 【答案】 (?1, 2). 【解析】 试题分析:由题意得: x 2 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2). 考点:解指数不等式与一元二次不等式
x2 ? x

? 4 的解集为________.


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