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圆锥曲线分类讲义——弦中点问题


弦中点问题
例 1、已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

【分析一】 :已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求 k . 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ?

1 1? ? ? k ? x ? ? 代入椭圆方程,并整理得 2 2? ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

1 3 ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 . 2 2

?

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 2k . 1 ? 2k 2
1 . 2

∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1.故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

【分析二】 :设弦两端坐标为 ?x1,y1 ? 、 ?x2,y2 ? ,列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组,从 而求斜率:

y1 ? y 2 . x1 ? x2

解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得

?1 1? ? 2 2?

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ? 22 ? x2 2 ? ? y2 ? 1, ?2 ? x1 ? x2 ? 1, ? ? y1 ? y2 ? 1.
①-②得

① ② ③ ④


2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ?0. 2

将③、④代入⑤得

1 y1 ? y2 1 ? ? ,即直线的斜率为 ? . 2 x1 ? x2 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

【说明】 :有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .

【变式 1】已知椭圆 C : x 2 ? y2
a b

2

2

? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为

6 ,椭圆 C 上任意 3

一点到椭圆两个焦点的距离之和为 6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交与 A, B 两点,点 P(0,1) ,且 PA ? PB ,求 直线 l 的方程.

x y 【变式 2】 已知椭圆 C: 2 ? 2 a b

2

2

? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 2 3 , 离心率 e ?

6 . 3

(I)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M 、N ,点 D(0,? 1),当
| DM |? | DN |时,求实数 m 的取值范围.

【变式 3】 已知椭圆的中心在原点 O ,离心率 e ?
点 M 为直线 y ? (0, 2) , 交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

3 ,短轴的一个端点为 2

1 x 与该椭圆在第一象限内的交点, 平行于 OM 的直线 l 2

(Ⅱ)求证:直线 MA , MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

【变式

x2 y 2 4】已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, 3 ), 其离心率为 1 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边 形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值.

垂直问题
x2 y 2 3 【例1】 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,且点 (1, ) 在椭圆上. a b 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过原点,求直线 l 方 程

【变式 1】已知长方形 ABCD, AB ? 2 2, BC ? 1 ,以 AB 的中点 O 为原点建立如
图所示的平面直角坐标系 xOy . (Ⅰ)求以 A 、 B 为焦点,且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2) 的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M , N 两点, 判断是否存在直线 l ,使得以

弦 MN 为直径的圆恰好过原点,并说明理由.

【综合】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,短轴 a 2 b2

两个端点为 A 、 B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2) 若 C 、D 分别是椭圆长轴的左、 右端点, 动点 M 满足 MD ? CD , 连结 CM , 交椭圆于点 P .证明: OM × OP 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为 直径的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明 理由.

面积问题
【例】 已知椭圆
x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 3 ,直线 2 3 a b

l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两点 A、B。

(1)求椭圆的方程; (2)求 m ? 1, 且OA? OB ? 0, 求k 的值 (O 点为坐 标原点) ; (3)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为
3 ,求 ?AOB 面积的最大值。 2

【变式】已知椭圆的中点在原点 O,焦点在 x 轴上,点 A(?2 3,0) 是其左顶点, 点 C 在椭圆上且 AC ? CO ? 0, | AC |?| CO | . (I)求椭圆的方程; (II)若平行于 CO 的直线 l 和椭圆交于 M,N 两个不同点,求 ?CMN 面积的最 大值,并求此时直线 l 的方程.

斜率问题
【例 1】 若椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴的一个端点与左右焦点 F1 、 F2 组
成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的中点为 M ,求直线 MF1 的斜 率 k 的取值范围.

练习
x2 y2 2 1.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (-1,0) ,离心率为 ,过点 F 的 a b 2
直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

2.已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过 (0, 3) 点,离心率 e ? . 2 2 a b

(1) 求椭圆 C 的方程; 设 Q 是 椭 圆 C 上 的 一 点 , 过 点 Q 的 直 线 l 交 x 轴 于 F (? 1, 0 ) ,交 y 轴于点 M .若

uuu r uuu r | MQ |? 2 | QF | ,求直线 l 的斜率。


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