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东北三省四市教研联合体高考模拟(三)数学(理)试题


2015 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(三)

理科数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,4}, B ? {2,4}, 则(CU A) ?B ?

A. ?
2、若复数

B. {2}

C.

{4}

D.

{2,3,4}

1 ? bi 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? 2?i 1 A. ?2 B. ? 2 1 C. D. 2 2 3、执行下面的程序框图,那么输出的 S 等于

A. 42 C. 72

B. 56 D. 90
? 1 2

4、设 a ? log3 3 , b ? ln 2 , c ? 5

,则

A. c ? b ? a
n

B. b ? a ? c
*

C. a ? c ? b

D. a ? b ? c

5、已知 (1 ? x) ( n ? N )的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等,则这两项的二项式系数 为
开始

A. 36 D. 120

B. 45
K=1 S=0 否 输出 S 结束 K = K+1

C.

55

6、已知 ?an ? 为等差数列且公差 d ? 0 ,其首



a1 ? 20 ,且 a3 , a7 , a9 成等比数列, S n 为

K ≤8 是

?an ? 的 前
C. 90

n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为(
A. ? 110 D. 110 B.

)

S = S +2 K

? 90

7 、 某 抛 物 线 的 通 径 与 圆

·1 ·

x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 11 ? 0 的半径相等,则该抛物线的焦点到其准线的距离为
A. 2 B. 4 C.
6

D. 8

8、某数学教师一个上午有 3 个班级课,每班一节。如果上午只能排 4 节课,并且不能连上 3 节课, 则这位教师上午的课表有( )种可能的排法

A. 6

B. 8

C.

12

D. 16

9、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0,? ? 0) 的一个最高点坐标为(2,2) ,相邻的对称轴与对称中 心之间的距离为 2,则 f (2015 )=

A. 1

B.

2

C. -1

D. ? 2

10、偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 (??,0) 上单调递减,则 f (a ? 1)与f (2 ? b) 的大小关系是

A. f (a ? 1) ? f (2 ? b) C. f (a ? 1) ? f (2 ? b)
11 、 F 为双曲线

B. f (a ? 1) ? f (2 ? b) D. 不能确定

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 P 在双曲线右支上, ?POF ( O为坐标原点)满足 a2 b2

OF ? OP ? 5, PF ? 2 ,则双曲线的离心率为
A.

3

B. 2

C. 5

D. 3 ? 1
x

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1, 且x ? [0,1]时, f ( x) ? 4 , x ? (1, 2) 时 ,

f ( x) ?

A. 6

f (1) ,令 g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? 4 , x ? [?6,2] ,则 函 数 g ( x) 的零点个数为 x B. 7 C. 8 D. 9

二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、边长为 2 的正方形 ABCD ,对角线的交点为 E ,则

( AB ? AC) ? AE =

. 方形) ,则

14.如右图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正 这个几何体的表面积为 .

15、甲乙两位同学约定早上 7 点至 12 点之间在某地会面, 一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是
·2 ·

先到者等 等可能的,

且二人互不影响,则二人能会面的概率为

.

16、棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N , P 分别为 AB1 , BC1 , DD1 的中点,给出下列 结论: ① MN ⊥ AA1 ② 直线 C1 M 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ③

5 5

MN ⊥ BP
1 3

④ 四面体 B ? DA1C1 的体积为 则正确结论的序号为 .

17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ,?ABC 的三边 a, b, c 对应的角分别为 A, B, C , 其中 f ( A) ? 2 . (1) 求角 A 的大小; (2)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 全国学生的体质健康调研最新数据表明, 我国小学生近视眼发病率为 22.78%, 初中生为 55.22%, 高中生为 70.34%.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素,学 生长时期近距离的用眼状态,加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了 学习,学生平时日常爱看电视、上、玩电子游戏,不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益 严重的原因。为了解情况现从哈市某中学随机抽取 18 名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学 生的视力状况的茎叶图(以 小数点的前一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如下:

学生视力测试结果

4 5

3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 0 1 1 2

(1) 求这 18 名学生视力的平均数(精确到 0.1)和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“正常视力” , ①求校医从这 18 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“正常视力”的概率;

·3 ·

②以这 18 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 ? 表 示抽 到“正常视力”学生的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图:四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PCD ⊥底面 ABCD ,且

PC ? PD ? a .
(1) 求证: PD ⊥ BC ; (2)若二面角 A ? PC ? B 的大小为 20. (本小题满分 12 分)

? ,求 a 的值 . 6

x2 2 已 知 椭 圆 2 ? y ? 1, (a ? 1) , 过 点 A(?a,0) 斜 率 为 k (k ? 0) 的 直 线 交 椭 圆 于 点 B . 直 线 a

BO(O为坐标原点 ) 交椭圆于另一点 C .
(1)当 a ? 2 时是否存在 k 使得 | AC |?| BC | ? (2)若 k ? [ ,1] ,求 ?ABC 的面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( 1 ? x) ? a ln(1 ? x) ? x ?

1 2

x3 . 3(1 ? x 2 )

(1)当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; (2)证明:

3 5 3 1 n ?1 1 n * ln 2 ? ln ? ? ? (n ? ) ln ? n? ? ( n ? N ). 2 2 2 2 n 12 (n ? 1)

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. P 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多 做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 如图, AD 是 ?ABC 的高, AE 是 ?ABC 的外 接圆的直径, 过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点 D

F.
(1) 求证: ?ABE ∽ ?ADC ;
·4 ·

C

A

B

(2) 若 BD ? 4CD ? 4CF ? 8 ,求 ?ABC 的外接圆的半径.

23. (本小题满分 10 分) 直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M (2,1) 作直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点,求直线 l 的 斜率. 24. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 1, b ? 1, c ? 1, 且 ab ? 10 . (1)求 lg a ? lg b 的最大值; (2)求证: loga c ? logb c ? 4 lg c .

? x ? 4 cos? (?为参数) . ? y ? 2 sin ?

·5 ·

2015 年 东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(三) 理科数学答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 C 9 D 10 A 11 C 12 C

13、 6 14、

15、 16、①③④

17.(1)

?????(1 分)



?????(3 分)



?????(4 分)

,?????(5 分)

?????(6 分)

(2) ?????(8 分) 又 (当且仅当 时取等号)?????(9 分)

面积

?????(10 分)
·6 ·

所以

面积的最大值为

?????(12 分)

18.(1)由茎叶图这 18 名学生视力的平均数为

; ?????(2 分) 中位数为 4.65?????(4 分) (2)①“正常视力”人数为 4 人,设事件 A 为至多 1 人是“正常视力” ,

则 P(A)=

,故在 18 人中随机抽 3 人,

至多 1 人为“正常视力”的概率为

.?????(6 分)

②由题可知 ?????(8 分) 的分布列为:
0 P 1 2

,故



3

?????(10 分)

?????(12 分)

19.(1) 且 所以 ⊥

⊥ ,

, ⊥

=



, ?????(2 分)



?????(4 分)
·7 ·

(2)取

的中点为 ⊥

,连接 , , , ⊥ ?????(6 分) 方向为 轴,射线 方向为 轴,平行于 的方向为 轴建立空 = ,

且 所以 以 ⊥ 为原点,射线

间坐标系, 的法向量为 的法向量为

,设 ?????(7 分) ?????(8 分)

?????(10 分)

?????(11 分)

?????(12 分)

20.(1)设直线

的方程为

,代入椭圆方程得



代入得

?????(1 分)



的中点坐标为

?????(2 分)



?????(3 分)

·8 ·

?????(4 分) 解得 ?????(5 分)

所以存在

使得

?????(6 分)

(2)由(1)得 ?????(7 分)



的面积

?????(8 分)







时,



在[1,2]上单调递减,所以当



的面积的最大值为

?????(10 分)

当 所以当

时 时,



上单调递减,在

上单调递增,

的面积的最大值为 ?????(12 分)

21. (1)解:

,?????(1 分)

依题知 令

,故

,则

。?????(2 分) ,

·9 ·



,此时

,故

,而

,所以

符合题意。?????(4 分)



,而

对称轴

,故



单调递增且

,则

,故 (6 分)

,而

,所以

符合题意。?????

综上,

。?????(7 分)

(2)证明:由(1)知,当

时,





。?????(8 分)



,则

, (10 分)

裂项累加

所以

。 (12 分)

22. (1) 又

是直径,

?????(1 分) ?????(2 分)

∽ (2)

?????(4 分)

,?????(5 分)
·10·

?????(7 分) ?????(8 分) ,?????(9 分)

由(1)得

所以

的外接圆的半径为

?????(10 分)

23.(1)由 曲线

的参数方程为





?????(2 分)

所以曲线

的直角坐标方程为

?????(4 分)

(2)设直线 的倾斜角为

直线 的参数方程为 代入曲线 的直角坐标方程得

,?????(5 分)

?????(6 分)

?????(7 分) 由题意可知 代入上式得
·11·

,?????(8 分)



?????(9 分)

所以直线 的斜率为

?????(10 分)

24.(1)由题意可知 即

,?????(1 分) ?????(2 分)

(当且仅当



的最大值为 (2) 要证:

?????(4 分)

即证: 由于 即证: 已知, 即证: 则 则

?????(5 分)

?????(7 分)

?????(9 分)

由(1)知成立 ,所以原不等式成立 ?????(10 分)

·12·


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