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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
温溪高中 一、 背景分析 1、学习任务分析 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数 学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习 任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探 究数量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽 象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研 究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有 形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好的体 现了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为本节课的核心概念,自然也 是本节课教学的重点。 2、学生情况分析 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念 及其线性运算,具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方 法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在 与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的 铺垫,使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解,一方 面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的 向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是较难接受的;另一方面, 由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对 性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。 二、教学目标 1.知识与技能: 掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。 2.过程与方法: (1)通过向量数量积物力背景的了解,体会物理学和数学的关系。 (2)通过向量数量积定义的得出,体会简单归纳与严谨定义的区别。 徐佳

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(3)通过向量数量积分配律的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法。 3.情感、态度与价值观: 通过本节探究性学习,让学生尝试数学研究的过程。 三、 教学重点、 难点 重点:平面向量数量积的定义 难点:平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。 四、 教学基本流程

概念引入

概念获得

简单运用

反思提高 五、教学准备

理解掌握

算律探究

1、实验教具:计算机、黑板、粉笔 2、教学支持资源:制作高效实用的电脑多媒体课件,主要作用是改变相关内容 的呈现方式,以此来节约课时,增加课堂容量。 六、教学过程 教学 环节 回顾 旧知 1. 向 量 的 模 和 夹 角 分 别 是 什 么 概 念?当两个向量的夹角分别为 0°, 90°,180°时,这两个向量的位置 关系如何? 2.任意两个向量都可以进行加、 减运 算, 那么任意两个向量是否也可以进 行乘法运算呢? 引入 以物理学中的做功为背景引入 教师提出 使学生了解数量积 的物理背景,让学 生知道,我们研究 数量积绝不仅仅是 学生思考 回答 承前启后回顾已学 习的向量相关知 识。同时调动学生 参与课堂学习活动 的兴趣和积极性。 教学内容 师生互动 设计意图

思考 1:如图,一个物体在力 F 的作 问题,学 用下产生位移 s,且力 F 与位移 s 的 生思考。 夹角为θ , 那么力 F 所做的功 W 是多 教师引导
2

少? 力做的功: W = |F|?|s|cos?, ?是 F 与 s 的夹角

学生理解 数量积的 定义。 回答后归

为了数学自身的完 善,而是有其客观 背景和现实意义 的,从而产生了进 一步研究这种新运 算的愿望。使学生 在形式上认识数量 积的定义。

思考 2:功是一个标量,它由力和位 纳夹角特 移两个向量所确定,能否把“功”看 征:两个 成两个向量的一种运算的结果?从 中你得到那些启示? 向量同起 点,若不

小结: 向量的数量积的定义及夹角的 同起点平 特征。 移至同起 点。 定 义 思考 3:对于两个非零向量 a 与 b, 教师提出 形成 设其夹角为θ , 把︱a|︱b︱cosθ 叫 问题,学 这样做不仅让学生 从“形”的角度重 新认识数量积的概 念,从中体会数量 积与向量投影的关 系,同时也更符合 知识的连贯性。让 学生体会数学的概 括性、严谨性及可 操作性。

探 究 做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作 生思考。 ( 一 a·b,即 a·b=︱a|︱b︱cosθ . 教师可在

): 平 那么 a·b 的运算结果是向量还是数 学生回答 面 向 量? 的基础上

量 数 思考 4:对于两个非零向量 a 与 b, 进一步归 量 积 其数量积 a·b 何时为正数?何时为 纳夹角对 的 背 负数?何时为零? 投影的正

景 与 思考 5:对于两个非零向量 a 与 b, 负情况的 含义 设其夹角为θ , 那么︱a︱cosθ 的几 影响,加 何意义如何? 深学生对

思考 6:对于两个非零向量 a 与 b, 投影的认 设其夹角为θ , ︱a︱cosθ 叫做向量 识。 a 在 b 方向上的投影.那么该投影一 定是正数吗?向量 b 在 a 方向上的投 影是什么? 小结: 向量的几何意义及投影的概念

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定 义 思考 1:设 a 与 b 都是非零向量,若 学 生 自 己 体现了教师只是教 深 化 a⊥b,则 a·b 等于多少?反之成立 回 顾 、 探 学活动的引领者, 探 究 吗? 索、总结, 而学生才是学习活

(二) 思考 2:当 a 与 b 同向时,a·b 等于 并 发 表 自 动的主体,让学生 : 平面 什么?当 a 与 b 反向时,a·b 等于 己 的 看 成 为 学 习 的 研 究 向 量 什么?特别地,a·a 等于什么? 法 , 教 师 者,不断地体验到

数 量 思考 3:︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大 可 对 学 生 成功的喜悦,激发 积 的 小关系如何?为什么? 进 行 点 学生参与学习活动 的热情,不仅使学 生获得了知识,更 培养了学生由特殊 到一般的思维品 质.

运 算 小结:向量特殊位置关系(垂直、共 拨。 性质 线)下的数量积的特征。 a⊥b a· b=0

a 与 b 同向时,a· b=︱a︱︱b︱; 当 a 与 b 反向时, a· b=-︱a︱︱b︱; a· a=a2=︱a︱2 或︱a︱= ? a2 理 论 迁移 例 1 已知: |a|=5,|b|=4, 〈a,b〉=1200,求 a·b。

学 生 通过计算巩固对定 自 己 动 手 义的理解。 简 单 应 用。

定 义 思考 4:我们学过了实数乘法的哪些 可 让 学 生 要求学生通过对过 深 化 运算律?这些运算律对向量是否也 学 生 分 组 去所学的运算律回 探 究 适用? 探 究 , 写 顾,类比得出数量

(二) 思考 5: 对于向量 a, b, 等式(a+b)2 运 算 律 , 积的运算律,体会 : 平面 = a2+2a ·b+b2 和(a+b)(a-b) 可 能 学 生 不同运算的运算律 的 答 案 有 不尽相同,培养学 遗 漏 或 错 生自主探究,引导 误 , 教 师 学生动手动脑解决 进 行 补 充 问题。 说明。
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向 量 =a2-b2 是否成立?为什么? 数 量 小结:向量的数量积的运算律 积 的 a·b=b·a 运 算 (λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b) 性质 (a+b)·c=a·c+b·c

理 论 例 2 已知︱a︱=6,︱b︱=4,向 教 师 可 将 例 2 是数量积的性 迁移 量 a 与 b 的夹角为 60°,求(a+ 例 题 内 容 质和运算律的综合 2b)·(a-3b). 与 代 数 运 应用, 完成计算后,

并 思 考 此 运 算 过 程 类 似 于 哪 种 运 算 进 行 比 进一步提出问题: 算? 较 。 教 师 此运算过程类似于

例 3 已知︱a︱=3, ︱b︱=4, 且 a 重 点 从 对 哪种运算?目的是 与 b 不共线.求当 k 为何值时,向量 运 算 原 理 培养学生通过类比 a+kb 与 a-kb 互相垂直?并思 的 分 析 和 这一思维模式达到 运 算 过 程 创新的目的。例 3 的 规 范 书 的主要作用是,在 写 两 个 方 继续巩固性质和运 面 加 强 示 算律的同时,教给 范。 学生如何利用数量 积来判断两个向量 的垂直,是平面向 量数量积的基本应 用之一。 课 堂 1、本节课我们学习的主要内容是什 可 让 学 生 通过上述问题,使 小结 么? 讨 论 总 学生不仅对本节课

考:通过本题你有什么收获?

变式:若 | a |?| b |? 1, 2a ? 3b与6a ? 4b 互相垂直,求:向量a与b的夹角。

2、我们是按照怎样的思维模式进行 结 , 教 师 的知识、技能及方 概念的归纳和性质的探究?在运算 进 行 点 评 法有了更加全面深 律的探究过程中, 渗透了哪些数学思 补充。 想? 作业 1. 阅读教材的相关内容 2. 教材第 108 页 A 组 第 1,2,3,5 题 养成学生看书的习 惯 刻的认识。

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