当前位置:首页 >> 数学 >>

《基本不等式(第1课时)》教学设计


必修 5

第三章 不等式
3.4.1 基本不等式第一课时(王乙橙) 一、教学目标 1.核心素养 通过学习基本不等式,提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力. 2.学习目标 (1) 探索基本不等式的证明过程; (2) 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.学习重点 应用数形结合的思想理解基本不等式, 并从不同角度探索基本不等式的证明 过程. 4.学习难点 用基本不等式求的最大(小)值. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 1.预习课本 97 页内容,感性认识 a2+b2≥2ab 这个重要不等式和等号成立的条 件.

a+b 2.能尝试从两方面证明基本不等式吗: ab≤ 2

(1)代数法

(2)几何法

1 / 14

2.预习自测 b a 1.设 a>0,b>0,则 a+b 答案:≥ 1 2.已知 a∈R,设 P=(4+a2)(4+a2),Q=24,则 P 与 Q 的大小关系是 答案:P>Q a+b 3.设 a>0,b>0,a≠b,P= 2 ,Q= 2ab,M= 排列是 答案:Q>M>P (二)课堂设计 1.问题探究 问题探究一 什么是基本不等式 ab ?
a?b ? 2

2(填≤或≥) ,并指出“=”成立的条件.

.

a2+b2 2 ,则 P、Q、M 按由小到大的顺序

●活动一 重要不等式 a 2 ? b2 ? 2ab ? 观察与思考:如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代 表中国人民热情好客.你还记得是什么吗?

( 1 )设直角三角形 的长为 a 、 b ,那么 正方形的边长为 _________; 面积为 _________,4 个直角三角形的面积和是___________. (2)根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们在初中的时 候从这个图案中找出过一个相等关系____________________, 化简后得到勾股定 理 .

(3)根据 4 个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们可得到一个 怎样的不等式____________________.
2 / 14

(4)4 个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的情况吗?何时相等?图 形怎样变化? (5)你能给出它的证明吗?

归纳小结: (重要不等式) ,对于任意的实数 a,b, 都有 ____________; 当且仅当 _________________. ●活动二 什么是基本不等式 ab ?
a?b ? 2

(1)既然对于任意的实数 a、 b ,都有 a 2 ? b2 ? 2ab ,如果 a ? 0, b ? 0 ,用 a , b 分 别代替 a 2 ? b2 ? 2ab 中的 a、 b 可以得到 (2)对于不等式 ab ? .

a?b ? a ? 0, b ? 0? ,你能给出证明吗? 2

归纳小结: 若 a ? 0, b ? 0 那么______________________,我们把这个不等式叫做基 本不等式(又叫均值不等式). (3)如下图, AB 是圆 O 的直径,点 Q 是 AB 上任一点, AQ ? a , BQ ? b ,过 点 Q 作 PQ 垂直 AB 于 Q ,连接 AP 、 PB . 你能利用这个图形得出基本不等式
ab ? a?b 几何解释吗? 2

基本不等式解读:①基本不等式的几何意义: ②平均数解释: ③基本不等式成立的条件是_________;结论是_________. 问题探究二 基本不等式有那些推论与重要变形? 重点知识,运用技巧★▲

3 / 14

1.平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系:

a 2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? 若 a ? 0, b ? 0 ,则有 ,当且仅当 1 1 2 2 ? a b
2. 基本不等式的几个重要变形: (1) a、b ? R , (
a?b 2 a 2 ? b2 ,当且仅当 ) ____ 2 2
a?b 2 ) ,当且仅当 2

取等.

取等; 取等; 取等;

(2) a、b ? R , ab ___(

b a (3)若 ab ? 0 , 则 + a b
问题探究三

2,当且仅当

利用基本不等式能解决哪些问题? 重点、难点知识★▲

●活动一 运用基本不等式比较大小 例1 (1)已知 a、b∈(0,1),且 a≠b,那么在 a+b,2 ab,a2+b2,2ab 中的最大

者为________. 【知识点:基本不等式及取等条件】 详解:方法一 ∵a、b∈(0,1)且 a≠b, ∴a+b>2 ab,a2+b2>2ab. 又∵当 a、b∈(0,1)时,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2.∴最大者为 a+b. 方法二 1 1 (特值法),取 a=2,b=3,代入即得:最大者为 a+b. a2+b2 2 2 ,1 1的大小,并说明理由. a+b

a+b (2)设 a>0,b>0,试比较 2 , ab,

【知识点:算数平均数,几何平均数,调和平均数,均方根引出的重要结论】 1 1 2 详解:方法一 ∵a>0,b>0,∴a+b≥ , ab 2 即 ab≥1 1(当且仅当 a=b 时取等号). a+b a+b 2 a2+2ab+b2 a2+b2+a2+b2 a2+b2 又( 2 ) = ≤ = 2 , 4 4

4 / 14

a+b ∴ 2 ≤

a2+b2 2 (当且仅当 a=b 时等号成立) a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 2 2 1 1(当且仅当 a=b 时等号成立). a+b

a+b 而 ab≤ 2 ,故

方法二 (特值法)取 a=1,b=4 代入即得结论. 点拨:(1)利用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用方法; (2)代入特殊值,通过计算先估算大小关系,后比较大小更具有目标性 ●活动二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知 a>0, b>0, 且 a· b=2, 则当 a=b=______时, a+b 有最小值______. (2)已知 a>0, b≥0, 且 a+b=2.则当 a=b=______时, a· b 有最大值_______. 【知识点:基本不等式】 详解:(1)∵a+b≥2 ab,∴当 a=b= 2时,a+b 有最小值 2 2. a+b (2)∵ab≤( 2 )2,∴当 a=b=1 时,a· b 有最大值 1. 点拨:利用基本不等式求最值,必须同时满足以下三个条件: ①各项均为正数;②其和或积为常数;③等号必须成立.即“一正,二定,三 相等”.简记:积定和最小,和定积最大. ●活动三 利用基本不等式求最值 例 3 (1)已知 x>-1,求 f(x)=x+ 1 的最小值. x+1

(2)已知 x>0、y>0,且 5x+7y=20.求 xy 的最大值. 【知识点:基本不等式;数学思想:配凑,基本不等式推论】 详解:(1)∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+ 1 1 =x+1+ -1≥2 x+1 x+1 1 (x+1)· -1=1. x+1

当且仅当 x+1= ∴f(x)min=1. (2)∵x>0,y>0,

1 ,即 x=0 时取“=”. x+1

1 1 5x+7y 1 20 2 20 ∴xy=35(5x· 7y)≤35( 2 )2=35· (2) =7.

5 / 14

10 当且仅当 5x=7y=10,即 x=2,y= 7 时,取“=”. 20 ∴(xy)max= 7 . 点拨:在应用基本不等式求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“一正(各 项都是正数),二定(积或和是定值),三相等(等号能否成立)”.求最值时,若忽略 了某个条件, 就会出现错误.导致解题的失败.如: 本题(1)已知中将 x>-1 改为 x>2, 7 则值域将变为(3,+∞). 2.课堂总结 1. 基础知识思维导图
重要不等式:

a、 b ? R ,a 2 ? b2 ? 2ab

均值不等式:

a+b ? ab a、 b?R , 2
?

均值不等 式的应用

均值不等式的重要变形

2.重点难点突破 利用均值不等式求最值时,应注意的问题 (1)各项均为正数,特别是出现对数式、三角数式等形式时,要认真考虑. (2)求和的最小值需积为定值,求积的最大值需和为定值. (3)确保等号成立. 以上三个条件缺一不可,可概括“一正、二定、三相等”. 3.基本不等式推广:若 a , b , c ? R? , 则 取等号).
6 / 14

a?b?c 3 ? abc (当且仅当 a ? b ? c 时, 3

一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 , ??? , an ,则 (当且仅当 a1 ? a2 ? ??? ? an 时,取等号). 3.随堂检测 1.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2

a1 ? a2 ? ??? ? an n ? a1a2 ????? an n

)

a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< 2 <b

【知识点:基本不等式比较大小; 】 解:∵0<a<b,∴a· a<ab.∴a< ab. a+b 由基本不等式知 ab< 2 (a≠b), a+b 又∵0<a<b,a+b<b+b,∴ 2 <b. a+b ∴a< ab< 2 <b. 1 2.(1)①若 a>0,则 a+a有最________值 2,此时 a=________. 1 ②若 a<0,则 a+a有最________值-2,此时 a=________. (2)若 0<a<2,则 a· (2-a)有最大值________,此时 a=________. 【知识点:基本不等式取等条件】 解:(1)①小 (2)1,1 3. 函数 y=log2(x+ A.-3 C.4 1 +5) (x>1)的最小值为( x-1 B.3 D.-4 ) 1 ②大,-1

【知识点:基本不等式,对数函数】 解:x+ 1 1 +5=(x-1)+ +6≥2 x-1 x-1 (x-1)· 1 +6=2+6=8, x-1

7 / 14

当且仅当 x-1= ∴y=log2(x+ 故选 B.

1 即 x=2 时取“=”号, x-1

1 +5)≥log28=3. x-1

4.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( A.a+b 有最小值 2( 2+1) C.ab 有最大值 2+1

)

B.a+b 有最大值( 2+1)2 D.ab 有最小值 2( 2+1)

【知识点:基本不等式变形的应用】 解:A 5.若 x,y∈R,且 x+2y=5,则 3x+9y 的最小值( A.10 B.6 3 C.4 6 ) D.18 3

【知识点:基本不等式,指数式】 解:D a+b 1 6.已知 a>b>1,P= lga· lgb,Q=2(lga+lgb),R=lg 2 ,比较 P、Q、R 的大 小. 【知识点:基本不等式,函数的单调性】 解:∵a>b>1,∴lga>lgb>0. 1 ∴2(lga+lgb)> lga· lgb,故 Q>P. a+b a+b 又由 2 > ab,得 lg 2 >lg ab. a+b 1 即 lg 2 >2(lga+lgb),故 R>Q. 从而 P<Q<R. (四)课后作业 基础型 自主突破 1. 不等式 a2+1≥2a 中等号成立的条件是( A.a=± 1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 )

【知识点:取等条件】 解:B
8 / 14

1 2. 设 x>0,则 y=3-3x-x的最大值是( A.3 B.3-2 2 C.3-2 3

) D.-1

【知识点:基本不等式】 解:C 3. 若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( 1 A.2 B.1 C.2 D.4 【知识点:基本不等式】 解:A 4. 下列函数中,最小值为 4 的函数是( A.y=x+ 4 x B.y=sinx+ 4 sinx ) D.y=log3x+logx81 )

C.y=ex+4e-x

【知识点:基本不等式,取等条件】 解:C 1 1 5. 已知 a>0,b>0,则a+b+2 ab的最小值是( A.2 B.2 2 C.4 D.5 )

【知识点:基本不等式】 解:D x y 6.已知 x>0,y>0,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为_____ 【知识点:基本不等式】 解:3 2 5 7.已知 x>0,y>0,lgx+lgy=1,求 x+y的最小值 【知识点:基本不等式,函数的单调性】 解:2 能力型 师生共研 b a 2a2b2 8. 下列不等式①a2+1>2a;②a2+4≥4a;③|a+b|≥2;④ 2 ≤ab.其中恒成立 a +b2 的是( A.①④ ) B.③④ C.②③
9 / 14

___

D.①②

【知识点:基本不等式】 b a b a b a 解:a与b同号,|a+b|=|a|+|b|≥2. 9.(2012· 福建)下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+4)>lgx(x>0) C.x2+1≥2|x|(x∈R) )

1 B.sinx+sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) D. 1 >1(x∈R) x +1
2

【知识点:基本不等式,取等条件】 解:∵x2+1≥2|x|?x2-2|x|+1≥0, ∴当 x≥0 时,x2-2|x|+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0 成立; 当 x<0 时,x2-2|x|+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0 成立. 故 x2+1≥2|x|(x∈R)一定成立. 10. (2011· 四川)若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 【知识点:基本不等式常见变形】 解:x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1, x+y 3 ∴(x+y)2=xy+1≤( 2 )2+1.∴4(x+y)2≤1. 2 3 ∴x+y≤3 3.当且仅当 x=y= 3 时等号成立. 11. 设正数 x,y 满足 x+ y≤a· x+y恒成立,则 a 的最小值是________. 【知识点:基本不等式】 解: 2 探究型 多维突破 12.(1)设 x>-1,求 y= (x+5)(x+2) 的最小值; x+1

x4+3x2+3 (2)求函数 y= 的最小值. x2+1 【知识点:基本不等式及应用】 解:(1) ∵x>-1,∴x+1>0.设 x+1=t>0,则 x=t-1. 于是有 y= (t+4)(t+1) t2+5t+4 4 = = t + t t t +5≥2 4 t· t +5=9,

10 / 14

4 当且仅当 t= t ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. ∴当 x=1 时,函数 y= (x+5)(x+2) 取得最小值为 9. x+1

(2)令 t=x2+1,则 t≥1,且 x2=t-1. x4+3x2+3 (t-1)2+3(t-1)+3 t2+t+1 1 ∴y= = = =t+ t +1. t t x2+1 1 ∵t≥1,∴t+ t ≥2 1 1 t· t =2,当且仅当 t= t ,即 t=1 时,等号成立,

∴当 x=0 时,函数取得最小值 3. 13. 已知实数 m, n , 若m?0 且 m ? n ? 1, 则 , n? 0 , A.
1 4

m2 n2 ? 的最小值为 ( m ? 2 n ?1



B.

4 15

C.

1 8

D.

1 3

【知识点:基本不等式及应用】 解:
m2 n2 m2 ? 4 ? 4 n 2 ? 1 ? 1 4 1 ? ? ? ? m?2? ? n ?1? m ? 2 n ?1 m?2 n ?1 m?2 n ?1
4 1 4 1 ? ? ? ?2 m ? 2 n ?1 m ? 2 n ?1

? ?m ? n? ? 3 ?

m ? n ? 1 ? ? m ? 2? ? ? n ? 1? ? 4
? 4 ? n ? 1? m ? 2 ? 4 1 1 ? 1 1? ? 4 ? ?? ? ? ?4? ? ? 1? ? m ? 2 ? ? ? n ? 1?? ?? ? ? ? m ? 2 n ?1 ? m ? 2 n ?1 ? 4 4? m?2 n ?1 ?

4 ? n ? 1? m ? 2 ? 9 1? ?? ? ?5 ? 2 ? ? 4 4? m ? 2 n ? 1 ? ?
? m2 n2 9 1 m2 n2 1 ? ? ? 2 ? ,即 ? 的最小值为 4 m ? 2 n ?1 4 4 m ? 2 n ?1

自助餐 1. 如果 log3m+log3n=4,那么 m+n 的最小值是( A.4 B.18 C.4 3 D.9 )

【知识点:基本不等式】 解:B 2. (2013· 福建)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是(
11 / 14

)

A.[0,2]

B.[-2,0]

C.[-2,+∞)

D.(-∞,-2]

【知识点:基本不等式】 解:D 3. 若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) 1 1 2 b a A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab C.a+b> D.a+b≥2 ab 【知识点:基本不等式】 解:D 4. 已知正项等差数列{an}的前 20 项和为 100,则 a5· a16 的最大值为( A.100 B.75 C.50 D.25 )

【知识点:基本不等式】 解:D
y 满足 4x2 ? 9 y 2 ? 3xy ? 30 ,则 xy 的最大值是( 5. 若正数 x、

)

4 A.3

5 B.3

C.2

5 D.4

【知识点:基本不等式】 解:C 6.(襄阳市普通高中 2016 届高三统一调研)已知 x > 0,y > 0,且
2 x ? y ? t 2 ? 2t 恒成立,则实数 t 的取值范围是(
1 2 ? ? 1 ,若 x y

) C.(0,2) D.(0,4)

A.[-4,2]

B.(-4,2)

【知识点:基本不等式,恒成立】 解:B 7. 当 0<x<2 时,不等式 x(2-x)≤a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【知识点:基本不等式,恒成立】 解:[1,+∞)
?2 1? 8. 若 a ? 0, b ? 0 ,则 ? a ? b ? ? ? ? 的最小值是___________; ?a b?

【知识点:基本不等式】 解: 3 ? 2 2
12 / 14

9. ( 2013· 上海高考文科 13 )设常数 a>0.若 9 x ? 则 a 的取值范围为 .

a2 ? a ? 1对一切正实数 x 成立, x

【知识点:基本不等式,恒成立】 1 解:[5,+∞). 考查均值不等式的应用,

a2 a2 1 由题意知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ? ? 2 9 x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? . x x 5
10. 已知 x, y, z ? R? ,则 ? ?
xy ? yz 的最大值是________ x ? y2 ? z2
2

【知识点:基本不等式,配凑思想】 解:
2 2

点拔: 即 ? ?

xy ? yz xy ? yz , ? 2 2 x ?y ?z ? 2 1 2? ?1 2 2? ?x ? y ??? y ? z ? 2 ? ?2 ? ?
2

而 x2 ?

1 2 1 1 1 y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 xy, z 2 ? y 2 ? 2 z 2 ? y 2 ? 2 yz , 2 2 2 2
xy ? yz 2 ? 2 2 xy ? 2 yz
1 的最大值. x+2

所以 ? ?

11.(1)已知 x<-2,求函数 y=2x+ x2+5 (2)求 y= 2 的最小值. x +4

【知识点:基本不等式,函数最值】 解:(1)∵x<-2,∴x+2<0,-(x+2)>0. ∴y =2(x+ 2)+ -2 2-4. 当且仅当-2(x+2)= -1 2 (x<-2),即 x=-2- 2 时,y 取最大值-2 2-4. x+2 -1 1 - 4 =-[ - 2(x + 2)+ ] -4≤ - 2 x+2 x+2 -1 -2(x+2)· -4= x+2

1 1 1 (2)令 t= x2+4,则 y=f(t)=t+ t ,由 f(t)=t+ t (t≥2)的单调性,知 y=t+ t 在[2, +∞)上是增函数.
13 / 14

1 5 ∴t=2 时,f(t)min=2+2=2, 5 即当 x2+4=2,也就是 x=0 时,ymin=2. 12.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层,每 层 2 000 平方米的建房.经测算,若将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建 筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼 房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购 购地总费用 地费用= ) 建筑总面积 【知识点:基本不等式的应用】 2 160× 104 10 800 解:设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为 2 000x = x . ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+ 10 800 225 = 560 + 48( x + x x ).

225 当 x+ x 取最小值时,y 有最小值. 225 ∵x>0,∴x+ x ≥2 225 x· x =30.

225 当且仅当 x= x ,即 x=15 时,上式等号成立. 所以当 x=15 时,y 有最小值 2 000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最少.

14 / 14


赞助商链接
相关文章:
基本不等式教学设计
基本不等式教学设计 - 《基本不等式》教学设计 张中华 教材:人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版) 》必修 5 课题:3.4 基本不等式(第一课时) 一、...
《基本不等式》第一课时教学设计
《基本不等式》第一课时教学设计_数学_高中教育_教育专区。《基本不等式》第一课时教学设计 一.教学目标 知识目标:掌握两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均...
《基本不等式》教学设计
微课《基本不等式》(第一课时)教案设计 北师大版高中数学必修 5 第三章 一、教学目标 1.通过实例,引导学生利用数形结合的思想从几何图形中获得重 要不等式的...
高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计
高中数学《基本不等式》公开课优秀教学设计 - 《§3.4.1 基本不等式教学设计 教材:人教版高中数学必修 5 第三章 、教学内容解析 本节选自人教版必修五...
基本不等式(第一课时) 全国高中青年数学教师参赛优秀教案
基本不等式(第一课时) 全国高中青年数学教师参赛优秀教案_数学_高中教育_教育专区。全国高中青年数学教师参赛优秀教案 教学设计 说明 ...
《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》
《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》 - “基本不等式 . 教材分析 ab ? a?b ”教学设计 2 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》...
《基本不等式》教案
《基本不等式》教案 - 《基本不等式》教学设计 教材:人教版高中数学必修 5 第三章 、教学目标 1.通过两个探究实例,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,...
《基本不等式》优质课比赛说课稿[1]
《基本不等式》优质课比赛说课稿[1] - 《基本不等式》说课稿 各位评委老师,上午好,我选择的课题是必修 5 第三章第四节《基本不等 式》第一课时。关于本课...
基本不等式教学设计说明
它是 在系统地学习了不等关系和不等式性 《基本不等式(第一课时)》教学设计说明盐边中学 桂银银 一、内容和内容解析 本节课是人教版高中数学必修 5 中第三章...
黄明霞公开课基本不等式教学设计
黄明霞公开课基本不等式教学设计_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。高一数学《基本不等式》教学设计察布查尔县第三中学高中部 黄明霞 .教学目标: 知识与技能: 1....
更多相关标签: