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2016-2017学年人教B版选修2-3第2章-2.4 正态分布 课件(45张)_图文

阶 段 1

阶 段 3

2.4
阶 段 2

正态分布
学 业 分 层 测 评

1.了解正态分布的意义. 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质.(重点) 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 正态曲线及正态分布 阅读教材 P65~P66,完成下列问题. 1.正态变量的概率密度函数 正态变量概率密度曲线的函数表达式为
μ? 1 -?x- e 2σ ,(x∈R) 2π· σ f(x)=______________________ .
2 2

其中 μ,σ 是参数,且 σ>0,-∞<μ<+∞,μ 和 σ 分别为正态变量的

数学期望 和________. 标准差 __________

2.正态分布的记法
2 N ( μ , σ ) 期望为 μ、标准差为 σ 的正态分布通常记做_________

3.正态曲线

概率密度函数 的图象叫做正态曲线. 正态变量的______________
4.标准正态分布

0 , 1 的正态分布叫做标准正态分布, (0,1) 数学期望为____ 标准差为____ 记做N ______

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正态变量函数表达式中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( (3)正态曲线是一条钟形曲线.( ) ) )

(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量 的概率分布用分布列描述.( )

【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数 μ 是随机变量取值 的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而 σ 是衡量随机变量总体波 动大小的特征数,用样本的标准差去估计. (2)√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取 某个区间上的任何值. (3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确. (4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变

量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

教材整理 2 正态曲线的性质及 3σ 原则 阅读教材 P66~P67 习题以上部分,完成下列问题. 1.正态曲线的性质

x轴 x=μ 对称; (1)曲线在_________ 的上方,并且关于直线_________ x=μ 时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐 (2)曲线在_________ 中间高 ,________ 两边低 ”的形状; 降低,呈现“________

σ越大 ,曲线越“矮胖”;_________ σ越小 , (3)曲线的形状由参数 σ 确定,_________
曲线越“高瘦”.

2.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 若 X~N(μ,σ2),则

0.683 , P(μ-σ<X<μ+σ)=_______ 0.954 , P(μ-2σ<X<μ+2σ)=________ 0.997 P(μ-3σ<X<μ+3σ)=_________.
上述结果可用图 241 表示如下:

图 241

3.3σ 原则 由 P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 知,正态变量 X 在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取

距x=μ三 值的概率为 0.3%.于是若 X~N(μ, σ2), 则正态变量 X 的取值几乎都在__________ 倍标准差之内 ,即在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,这就是正态分布的___________. 3σ原则 ______________

1.把一条正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位, 得到一条新的曲线 b, 下列说法中不正确的是______(填序号). 【导学号:62980058】 ①曲线 b 仍然是正态曲线; ②曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等; ③以曲线 b 为正态分布的总体的方差比以曲线 a 为正态分布的总体的方差 大 2; ④以曲线 b 为正态分布的总体的均值比以曲线 a 为正态分布的总体的均值 大 2.

【解析】 【答案】

正态曲线向右平移 2 个单位,σ 不发生变化,故③错误. ③

2.关于正态分布 N(μ,σ2),下列说法正确的是________(填序号). ①随机变量落在区间长度为 3σ 的区间之外是一个小概率事件; ②随机变量落在区间长度为 6σ 的区间之外是一个小概率事件; ③随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件; ④随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.

【解析】 ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4, ∴P(X>μ+3σ 或 X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6, ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
【答案】 ④

3.(2016· 山东滨州月考 ) 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1 , σ2)(σ>0).若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为________.
【解析】 ∵X 服从正态分布(1,σ2),

∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4+0.4=0.8.
【答案】 0.8

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

正态分布的概念及正态曲线的性质

如图 242 所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的 概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.

图 242

【精彩点拨】 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值, 从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.

【自主解答】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称, 最大值是 ,所以μ=20. 2 π 1

1 1 由 = ,得σ= 2. 2π· σ 2 π 于是概率密度函数的解析式是 f(x)= · e 2 π 1
?x-20?2 - 4

,x∈(-∞,+∞),

总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=( 2)2=2.

利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ,具体方法如下:? ?1?正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结合图象求 μ.? 1 ?2?正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象可求 σ. σ 2π

[再练一题]
2 2 1.(1)设两个正态分布N(μ1,σ 1 )(σ1>0)和N(μ2,σ 2 )(σ2>0)的密度函数图象如图

243所示,则有(

)

图243 A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

【解析】 根据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状. 由题图可得,选A.
【答案】 A

2 2 (2)如图244是正态分布N(μ,σ2 1),N(μ,σ2),N(μ,σ3)(σ1,σ2,σ3>0)相应的

曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(

)

图244 A.σ1>σ2>σ3 C.σ1>σ3>σ2 B.σ3>σ2>σ1 D.σ2>σ1>σ3

【解析】 由σ的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,σ2越小,故有 σ1>σ2>σ3.
【答案】 A

服从正态分布变量的概率问题
(1)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( A.0.6 C.0.3 ) B.0.4 D.0.2

(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布 N(1,4),求正态总体 X 在(-1,1) 内取值的概率.

【精彩点拨】

(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解;(2)题可先求出X

在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的 概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.

【自主解答】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.

【答案】 C (2)由题意得μ=1,σ=2, 所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.682 6. 又因为正态曲线关于x=1对称, 1 所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)=0.341 3. 2

利用正态分布求概率的两个方法 1.对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于 直线x=μ对称的区间上概率相等.如: (1)P(X<a)=1-P(X≥a); (2)P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 2.“3σ”法:利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+ 3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.

[再练一题] 2.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求c的值;(2)求P(-4<x<8).

【解】 (1)由 X~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x =2 对称(如图所示), 又 P(X>c+1)=P(X<c-1), 故有 2-(c-1)=(c+1)-2, 所以 c=2. (2)P(-4<x<8)=P(2-2×3<x<2+2×3)=0.954 4.

[ 探究共研型]

正态分布的实际应用
探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),那么该圆柱形 零件外直径的均值,标准差分别是什么?
【提示】 零件外直径的均值为μ=4,标准差σ=0.5.

探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),若零件的外直径 在(3.5,4.5]内的为一等品.试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品? 【提示】 P(3.5<ε≤4.5)=P(μ-σ<ε<μ+σ)=0.682 6,所以1 000件产品中 大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品.

探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生 产的1 000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产 的这批零件是否合格?

【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25), 由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×0.5,4+3×0.5), 即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003,而5.7∈(2.5,5.5). 这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中 假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的.

设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试 卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分 以上)的人数和130分以上的人数.
【精彩点拨】 将P(X≥90)转化为P(X-μ≥-σ),然后利用对称性及概率

和为1,得到2P(X-μ≤-σ)+0.682 6=1,进而求出P(X≥90)的值,同理可解得 P(X≥130)的值.

【自主解答】 -σ),

μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥

∵P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ) =2P(X-μ≤-σ)+0.682 6=1, ∴P(X-μ≤-σ)=0.158 7, ∴P(X≥90)=1-P(X-μ≤-σ)=1-0.158 7=0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人),即及格人数约为45人.

∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ), ∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ) =0.682 6+2P(X-μ≥σ)=1, ∴P(X-μ≥σ)=0.158 7,即P(X≥130)=0.158 7. ∴54×0.158 7=9(人),即130分以上的人数约为9人.

1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的 概率值求出. 2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态 分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此 过程中用到归纳思想和数形结合思想.

[再练一题] 3.(2016· 杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交 通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布X~N(50,102),求他在(30,60] 分内赶到火车站的概率. 【导学号:62980059】

【解】 ∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60) 1 1 =2P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+2P(μ-σ<X≤μ+σ) 1 1 =2×0.954 4+2×0.682 6=0.818 5. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.

[构建· 体系]

1 -x8 1.正态分布密度函数为φμ,σ(x)= e ,x∈(-∞, 8π
2

+∞),则总体的平均数和标准差分别是( A.0和8 C.0和2 B.0和4 D.0和 2

)

【解析】 【答案】

由条件可知μ=0,σ=2. C

2.如图245是当ξ取三个不同值ξ1,ξ2,ξ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象, 那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )

图245 A.σ1>1>σ2>σ3>0 C.σ1>σ2>1>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3 D.0<σ1<σ2=1<σ3

1 - x2 【解析】 当μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)= e .在x=0时,取最大值 2π
2

1 ,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲 2π 线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.
【答案】 D

3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________.

【解析】

由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态密度曲线关于直线X=μ对

1 称,故P(X≤μ)= . 2

1 【答案】 2

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)___. 【导学号:62980060】
【解析】 由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则

P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.

【答案】

0.16

5.随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.841 3,求P(-1<ξ≤0).

【解】 如图所示,因为P(ξ≤1)=0.841

3,所以P(ξ>1)=1-0.841

3=

0.158 7,所以P(ξ≤-1)=0.158 7,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.158 7=0.341 3.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

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