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2015届高考数学总复习第七章推理与证明第3课时数学归纳法教学案(含最新模拟、试题改编)


第七章 (理)97~98 页) 推理与证明第 3 课时 生用书 数学归纳法(对应学 考情分析 理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证 明一些简单的数学命题. 考点新知 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳 法证明一些简单的数学命题. 1 1 1 1. 若 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),则 n=1 时,f(n)=________. 2 3 2n+1 1 1 答案:1+ + 2 3 1 1 解析:当 n=1 时,f(1)=1+ + . 2 3 2. (选修 22P88 练习题 3 改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2+1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取为________. 答案:5 解析:当 n≤4 时,2n≤n2+1;当 n=5 时,25=32>52+1=26,所以 n0 应取为 5. 1 1 1 1 3. 设 f(n)=1+ + + +?+ (n∈N*),则 f(k+1)-f(k)=________. 2 3 4 3n-1 1 1 1 答案: + + 3k 3k+1 3k+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析: f(k+1)-f(k)=1+ + + +?+ -?1+2+3+4+?+3k-1?= 2 3 4 ? 3k 3(k+1)-1 ? 1 1 + + . 3k+1 3k+2 4. 用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时 xn-yn 能被 x+y 整除”第一步应验证 n= ________时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成____. 答案:2 当 n=2k(k∈N*)时结论成立,x2k-y2k 能被 x+y 整除 解析:因为 n 为正偶数,故取第一个值 n=2,第二步假设 n 取第 k 个正偶数成立,即 n =2k,故假设当 n=2k(k∈N*)时结论成立,x2k-y2k 能被 x+y 整除. 1 3an 5. 已知 a1= ,an+1= ,则 a2,a3,a4,a5 的值分别为________________,由此猜 2 an+3 想 an=________. 3 3 3 3 3 答案: 、 、 、 7 8 9 10 n+5 1 3× 2 3 3a1 3 3a2 3 3 3 3 3 解析:a2= = = = ,同理 a3= = = ,a = = ,a = = 7 2+5 a1+3 1 a2+3 8 3+5 4 9 4+5 5 10 +3 2 3 3 ,猜想 an= . 5+5 n+5 1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法,通常叫做归纳法. 第 1 页 共 8 页 2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性: 先证明当 n 取第 1 个值 n0 时,命题成立;然后假设当 n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立;证明当 n=k+ 1 时,命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法. 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: (1) 归纳奠基:证明凡取第一个自然数 n0 时命题成立; (2) 归纳递推:假设 n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时,命题成立; (3) 由(1)(2)得出结论. [备课札记] 题型 1 证明等式 例 1 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - = + +?+ (n∈N ). 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 1 1 证明:① 当 n=1 时,等式左边=1- = =右边,等式成立. 2 2 1 1 1 1

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