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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第三节 二项式定理习题 理

第三节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (2015·抚顺模拟) 在

二项式定理

的展开式中,含 x9 的项的系数是

(

)

A.

B.-

C.

D.-

1.D 【解析】

展开式的第 r+1 项为 Tr+1=

(x )

2 9-r

x18-3r,当

18-3r=9,r=3 时为含有 x 的项,其系数为

9

=-

.

2. (2015·黄山二模) 设二项式

(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为

an,bn,则
A.2 +3
n-1

=(
n-1

) C.2
* n+1

B.2(2 +1)

D.1

2.C 【解析】 由于二项式

(n∈N )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an,bn,

则 an=2n,bn=2-n,所以
10

=2n+1.
8 9 10

3. (2015·天水一模) 若 x =a0+a1(x+1)+…+a8(x+1) +a9(x+1) +a10(x+1) ,则 a8= A.45 B.9 C.-45 D.-9

(

)

3.A 【解析】a8 是 x10=[-1+(x+1)]10 的展开式中第九项(x+1)8 的系数,故 a8= 4.

(-1)2=45. ( )

+2

+4

+…+29

=

A.

B.

C.

D.

1

4.A 【解析】因为

+2

+22

+23

+…+210

=(1+2)10,所以

+2

+4

+…+29

.

5. A.-20

展开式的二项式系数和为 64,则其常数项为( B.-15 C.15 D.20

)

5.C 【解析】由二项式系数和为 64,得 2n=64,n=6,则

展开式的第 r+1 项为 Tr+1=

(x2)6-r

(-1)rx12-3r,当 12-3r=0,即 r=4 时是常数项,所以常数项为
2 015

(-1)4=15. ( )

6. (2016·济宁模拟)2 A.4

被 9 除所得的余数是 C.7 D.8 ·9670+…+

B.5

6.B 【解析】22 015=4×22 013=4×8671=4×(9-1)671=4(9671被 9 除所得的余数是 5. 7. (2015·河南实验中学质检) 二项式

·9-1),故 22015

的展开式的第二项的系数为-

,则

x2dx 的值为

(

)

A.3

B.

C.3 或

D.3 或-

7.B 【解析】由于二项式

的展开式的第二项的系数为

a5×

=-

,解得

a=-1,则

x2dx=

x2dx= x3

(-1+8)= .

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 8. (2015·南充月考) 若(1+mx) =a0+a1x+a2x +…+a6x 且 a1+a2+a3+…+a6=63,m>-1,则
6 2 6

a0+a3+a6=

.

8.22 【解析】令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 a0+a1+…+a6=(1+m)6=64,m>-1,则 m=1,则

a0+a3+a6=1+

=1+20+1=22.
2

9. (2015·河北百校联盟质检) 在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数为 f(m,n),则

5

4

m n

f(2,3)=

. xm yn= xmyn,则 f(m,n)=
,所以

9.40 【解析】设展开式中通项为

f(2,3)=

=40.

[高考冲关] 1.(5 分)若(1-3x) =a0+a1x+a2x +…+a9x ,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|= A.4
9 9 2 9

(

)

B.4 -1

9

C.2

9

D.2 -1

9

1.A 【解析】因为 x 的奇数次方的系数都是负数,x 的偶数次方的系数都是正数,所以

|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,在已知条件中只要令 x=-1 即可,则 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=(1+3)9=49.
2.(5 分)已知(2x+ A.1 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为 B.-1 C.0 D.2 )4=a0+a1+a2+a3+a4;令 x=-1,得 ( )

2.A 【解析】在等式中令 x=1,得(2+

(-2+

) =a0-a1+a2-a3+a4,所以

4

(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+ )] =(-1) =1. 3.(5 分)(1+x+x2) A.5 3.B 【解析】 B.-5 的展开式中的常数项为( C.15 ) D.-20
4 4

)4(-2+

)4=[(2+

)(-2+

的展开式的通项为 Tr+1=

(-1)rx6-2r.当 r=3 时,T4=-

=-20;当 r=4

时,常数项为

=15,因此常数项为-20+15=-5.

3

4.(5 分) (2015·成都七中三诊) 已知(1+2x) 的展开式中的二次项系数的最大值为 a,系数的 最大值为 b,则 的值为

4

.

4.

【解析】(1+2x)4 的展开式中的二次项系数的最大值为 a=

=6.展开式中各项系数分

别为 1,2

=8,22

=24,23

=32,24

=16,则系数的最大值为 b=32,所以

.

5.(5 分) (2015·河南六市联考) 已知 a= 数项为 5.-

(sin t+cos t)dt,则

的展开式中的常

.
【解析】由已知可得 a=(sin t-cos t)

=1-(-1)=2,则

展开式的第 r+1

项为 Tr+1=

x6-r

x6-2r,当 6-2r=0,即 r=3 时,其常数项为

=- .

4


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