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互斥事件与对立事件的概率


考点 165 互斥事件与对立事件的概率 1.(11 湖北 T12) 在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过了 保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示) 【测量目标】对立事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】

28 145

【试题解析】从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A,从 这 30 瓶饮料中任取 2 瓶, 没有取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 B, 则 A 与 B 是对立事件, 因为

P ? B? ?

C2 27 ?13 27 , (步骤 1) ? 2 C30 15 ? 29
27 ? 13 28 28 ? ,所以填 .(步骤 2) 15 ? 29 145 145

所以 P? A? ? 1 ? P?B ? ? 1 ?

2.(11 重庆 T13) 将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_______. 【测量目标】互斥事件的概率. 【难易程度】中等 【参考答案】

11 32

【试题解析】由题意知本题是一个 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率, (步骤 1) 正面出现的次数比反面出现的次数多包括 正面出现 4 次,反面出现 2 次; 正面出现 5 次,反面出现 1 次; 正面出现 6 次,共有三种情况,这三种情况是互斥的, (步骤 2) ∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是

1 15 6 1 11 1 1 5 1 5 1 ? C62 ( ) 4 ( ) 2 + C6 ( ) ( ) + ( )6 = ? = (步骤 3) 2 64 64 64 32 2 2 2 2 11 故答案为: 32
3. (10 辽宁 T3) 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A.

2 3 和 ,两个零件是否加工为 3 4

1 2

B.

5 12

C.

1 4

D.

1 6

【测量目标】互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】 P( A) ? P( A 1 ) ? P( A 2) =

2 1 1 3 5 ? ? ? ? . 3 4 3 4 12

4.(10 重庆 T13) 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至少命中一次的概率为 则该队员每次罚球的命中率为____________. 【测量目标】互斥事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】

16 , 25

3 5
2

【试题解析】由 1 ? p ?

16 3 得p? 25 5 1 .该目标分为 3 个不同的 3

5.(09 辽宁 T19)某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为

部分,第一、二、三部分面积之比为 1: 3 : 6 .击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积 成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”, 求 P ( A) 【测量目标】分布列, 互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)依题意 X 的分列为

X

0

1

2

3

4

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

(2)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”, i ? 1, 2 . B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”, i ? 1, 2 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3, (步骤 1)

A ? A1 B1 ? A1B1 ? A1B1 ? A2 B2 ,(步骤 2)
所求的概率为 P( A) ? P( A (A1 B1) ? P( A2 B2 ) 1B 1 ) ? P( A 1B 1) ? P = P( A (A1 )P(B1 ) ? P( A2 ) P( B2 ) 1B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1) ? P = 0.1? 0.9 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1? 0.1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.28 . (步骤 3)

6.(09 山东 T19) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分, 在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同 学在 A 处的命中率 q1 为 0.25 ,在 B 处的命中率为 q2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后

都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:

?
p

0
0.03

2

3

4

5

P 1

P2

P 3

P4

(1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ? 的数学期望 E? ; (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率 的大小. 【测量目标】互斥事件与对立事件的概率,离散型随机变量的期望. 【难易程度】中等 【试题解析】 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A ,在 B 处投中为事件 B ,则事件 A , B 相互 独立,且 P ? A? ? 0.25 , P( A) ? 0.75 , P ? B ? ? q2 , P(B) ? 1 ? q2 .(步骤 1) 根据分布列知: ? ? 0 时, P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 ? 0.03 ,

?1 ? q2 ? 0.2 , q2 ? 0.8 .(步骤 2)
(2)当 ? ? 2 时, P 1 ? P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75q2 ?1 ? q2 ? ? 2 ? 1.5q2 ?1 ? q2 ? ? 0.24 (步骤 3)
2 当 ? ? 3 时, P 2 ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.25(1 ? q2 ) ? 0.01 ,(步骤 4) 2 当 ? ? 4 时, P 3 ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75q2 ? 0.48 ,(步骤 5)

当 ? ? 5 时, P 4 ? P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 ? 0.24 (步骤 6)
? 随机变量 ? 的分布列为:

?
p
(步骤 7)

0

2

3

4

5

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 . (步骤 8)

(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;(步骤 9)
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 .(步骤 10) 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.(步骤 11) 7.(09 天津 T18) 在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品.从这 10 件产品中任取 3 件,求: (I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (II) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. 【测量目标】古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等 基础知识. 【难易程度】中等
K 【试题解析】 (Ⅰ)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为 C3 ,从 10 件产品中任取 3 K 3? K 件,其中恰有 K 件一等品的结果数为 C3 C7 ,那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 k
K 3? K C3 C7 ,k=0,1,2,3. 3 C10

件一等品的概率为 P(X=k)=

所以随机变量 X 的分布列是 X P 0
7 24

1
21 40

2
7 40

3
3 120

X 的数学期望 EX= 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10

(Ⅱ)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A,“恰好取出 1 件一等品 和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2,”恰好取出 3 件一等品”为 事件 A3 由于事件 A1,A2, A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3 而
2 C1 3 3C3 P(A2)=P(X=2)= P( A1 ) ? 3 ? C10 40

7 40

,P( A3 )=P(X=3)=

1 ,(步骤 1) 120

所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 8.(09 江西 T10) 为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片, 集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 A. ( D. )
3 7 1 31 + + = .(步骤 2) 40 40 120 120

31 81

B.

33 81

C.

48 81

50 81

【测量目标】互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】中等

【参考答案】D 【试题解析】没有获奖的概率: P ?

3 ? 25 ? 3 31 ? ,(步骤 1) 35 81

? 能获奖的概率为: P ? 1 ? P 1 ?

50 ,故选 D.(步骤 2) 81


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