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高中数学平面解析几何知识点总结


平面解析几何 一、直线与圆
1.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P ). 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) x2 ? x1

2.直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ). (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 3.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 4.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2 2

5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
D E? D 2 ? E 2 ? 4F . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0).圆心 ? ? ? ,? ? ,半径 r= ? 2 2?
2

6.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: 若 d ? (a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
. A2 ? B 2 8.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 其中 d ?

Aa ? Bb ? C

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.

二、圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义
[来

(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|). 2.圆锥曲线的标准方程 x2 y2 y2 x2 (1)椭圆: 2+ 2=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)或 2+ 2=1(a>b>0)(焦点在 y 轴上); a b a b x2 y2 y2 x2 (2)双曲线: 2- 2=1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或 2- 2=1(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上). a b a b 3.圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 2 2 2 .长轴长为 2a, 短轴长为 2b, 焦距为 2c, 三者满足 a =b +c , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? 2 a b ? y ? b sin ?

c a2 顶点为(a,0),(0,b),焦点为(c,0),离心率 e= ,准线 x ? ? (X 型). a c x2 y 2 2 2 2 (2)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦距为 2c,三者满足 a +b =c ,顶点为(a,0), a b c b 焦点为(c,0),离心率 e= (e>1),渐近线为 y ? ? x . a a
4.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为 (2)共轭双曲线:

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 - 2 ? 1渐近线一样. 与 a2 b2 b2 a
x2 y2 ? ? 1 中 a=b, (e= 2 ,渐近线为 y= ? x ). a2 b2
p p .准线: x= ,离心率为 e=1. (点到焦点的距离等于点到准线的距 2 2

(3)等轴双曲线:若双曲线与 5.抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? 离).


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