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2016-2017年数学·必修5(苏教版)练习:章末过关检测卷(三) Word版含解析


章末过关检测卷(三)
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( 1 1 A. > a b C.|a|>|b| B.2a>2b
?1? ?1? D.?2? >?2? ? ? ? ?
a b

)

1 1 1 1 解析:因为 a<b<0,所以 ab>0.所以 a· <b· ,即 > . ab ab a b
?1? 由 y=|x|(x<0)为减函数和 y=?2? 为减函数知 C、D 成立,因此 ? ?
x

不能成立的是 B. 答案:B 1 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( a b 7 A. 2 B.4 9 C. 2 D.5 b 4a? 9 · ?= . a b? 2 )

?1 4? 1? b 4a? 1? 1 4 1 解析: + = (a+b)?a+b?= ?5+a+ b ?≥ ?5+2 a b 2 ? ? 2? ? 2?

答案:C
? ?1 1? 3. 不等式 ax2+5x+c>0 的解集为?x?3<x<2?, 则 a, c 的值为( ? ? ?

)

A.a=6,c=1 C.a=1,c=1

B.a=-6,c=-1 D.a=-1,c=-6

1 1 1 解析: 由已知得 a<0 且 , 为方程 ax2+5x+c=0 的两根, 故 + 3 2 3

1 5 1 1 c =- , × = , a 3 2 a 2 解得 a=-6,c=-1,故选 B. 答案:B 4.(2014· 浙江卷)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1) =f(-2)=f(-3)≤3,则( A.c≤3 C.6<c≤9 ) B.3<c≤6 D.c>9

? ?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, 解析:由题意得? ?-1+a-b+c=-27+9a-3b+c, ? ?3a-b-7=0, ?a=6, ? ? 化简得? 解得? ? ? ?4a-b-13=0, ?b=11.

所以 f(-1)=c-6. 所以 0<c-6≤3.解得 6<c≤9,故选 C. 答案:C 5.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z)且 a⊥b,若 x,y 满足 不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为( A.[-2,2] C.[-3,2] )

B.[-2,3] D.[-3,3]

解析:由 a⊥b?a· b=0 即 2(x+z)+3(y-z)=0 亦即 z=2x+3y, 由约束条件|x|+|y|≤1,画出平行域.可知 z 在(0,-1)和(0,1)时分 别得最小值-3 和最大值 3,故 z∈[-3,3].

答案:D

6. 某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比, 而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那 么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( A.5 km 处 C.3 km 处 B.4 km 处 D.2 km 处 )

k1 解析:设仓库建在离车站 x km 处,则土地费用 y1= (k1≠0), x 运输费用 y2=k2x(k2≠0),把 x=10,y1=2 代入得 k1=20,把 x=10, 4 20 4 y2=8 代入得 k2= ,故总费用 y= + x≥2 x 5 5 20 4 当 = x,即 x=5 时等号成立. x 5 答案:A 1 1 7.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b A.a2<b2 b a C. + >2 a b B.ab<b2 D.|a|-|b|=|a-b| ) 20 4 · x=8,当且仅 x 5

1 1 解析:由 < <0,所以 a<0,b<0.所以 0>a>b. a b 由不等式基本性质知 A、B、C 正确. 答案:D 8.直线 3x+2y+5=0 把平面分成两个区域,下列各点与原点位 于同一区域的是( A.(-3,4) C.(0,-3) ) B.(-3,-4) D.(-3,2)

解析:当 x=y=0 时,3x+2y+5=5>0,则原点一侧对应的不等

式是 3x+2y+5>0,可以验证仅有点(-3,4)满足 3x+2y+5>0. 答案:A 9. 方程 x2+(m-2)x+5-m=0 的两根都大于 2, 则 m 的取值范 围是( ) B.(-∞,-4] D.(-∞,-5)∪(-5,-4]

A.(-5,-4] C.(-∞,-2)

解析:令 f(x)=x2+(m-2)x+5-m,要使 f(x)=0 的两根都大于 2,

? ?f(2)>0, 则? m-2 - ? ? 2 >2,
2

Δ=(m-2)2-4(5-m)≥0,

m ≥16, ? ? 解得?m>-5, ?-5<m≤-4,故选 A. ? ?m<-2. 答案:A 10.下列结论正确的是( ) 1 ≥2 lg x

A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x 解析:由基本不等式知:因为 x>0,所以 x>0. 由 x+ 1 ≥2 x x· 1 1 ,即 x+ ≥2, x x

所以 x= 答案:B

1 ,x=1 时“=”成立. x

xy 11.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大 z 2 1 2 值时, + - 的最大值为( x y z A.0 B.1 C. 9 D.3 4 )

1 1 xy xy 解析: = 2 ≤ =1, 2= z x -3xy+4y x 4y 4-3 + -3 y x 2 1 2 1 当且仅当 x=2y 时等号成立, 此时 z=2y2, 所以 + - =- 2+ x y z y
?1 ? 2 =-?y -1? +1≤1,当且仅当 y=1 时等号成立,故所求的最大值为 y ? ?
2

1. 答案:B x+y-2≤0, ? ? 12. (2015· 重庆卷 )若不等式组?x+2y-2≥0,表示的平面区域 ? ?x-y+2m≥0 4 为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( 3 A.-3 B.1 C. 4 D.3 3 )

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,易求 A,B,C,D
?2-4m 2+2m? ?,D(- 的坐标分别为 A(2,0),B(1-m,1+m),C? , 3 ? ? 3

2m,0). S


ABC

=S



ADB

-S



ADC



1 1 |AD| · |yB - yC| = (2 + 2 2

? ? 2+2m? m-2? 4 ?=(1+m)?1+ ?= , 2m)?1+m- 解得 m=1 或 m=-3(舍 3 ? 3 ? 3 ? ?

去).

答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 13.(2015· 广东卷)不等式-x2-3x+4>0 的解集为________.(用 区间表示) 解析:由-x2-3x+4>0,得 x2+3x-4<0,解得-4<x <1. 答案:(-4,1) x-1≥0, ? ? 14. (2015· 课标全国Ⅰ卷)若 x, y 满足约束条件?x-y≤0, 则 ? ?x+y-4≤0, y 的最大值为________. x 解析: 作出可行域如图中阴影部分所示, 由可行域知, 在点 A(1, 3)处, y 取得最大值 3. x

答案:3

15 . 函 数 y = ________. 解析:由 y= 当且仅当

1 + x + 1(x>2) 的 图 象 的 最 低 点 的 坐 标 是 x-2

1 1 +x+1= +x-2+3≥2+3=5(x>2) x-2 x-2

1 1 =x-2, 即 x=3 时, 取“=”号. 故函数 y= x-2 x-2

+x+1 的图象最低点为(3,5). 答案:(3,5) 16.如图建立平面直线坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直 于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后 的轨迹在方程 y=kx- 1 (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射 20

方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.则炮的最大射程为 ______千米.

1 解析:令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件 20 知 x>0,k>0, 故 x= 20k 20 20 ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1 2 1+k k+ k

所以炮的最大射程为 10 千米. 答案:10 三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答题应写出文字说明 、 证明过程或推演步骤) 17.(本小题满分 10 分)解下列不等式:

(1)3x2+5x-2>0; x+1 (2) <3. x 解:(1)3x2+5x-2=(3x-1)(x+2)>0, 1 所以 x> 或 x<-2, 3
?1 ? 即不等式的解集为(-∞,-2)∪?3,+∞?. ? ?

(2)原不等可变形为

2x-1 >0, x
? ? ?

? ? 1? 所以原不等式的解集为?x?x<0或x>2?.

18. (本小题满分 12 分)已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实 数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数 x 恒成 立.显然 a=-2 时,解集不是 R,因此 a≠-2.
? ?a+2>0, 从而有? 2 ? ?Δ=4 -4(a+2)(a-1)<0, ? ?a>-2, 整理得? ?(a-2)(a+3)>0, ? ? ?a>-2, 所以? ?a<-3或a>2, ?

即 a>2,故 a 的取值范围是(2,+∞). 19. (本小题满分 12 分)设 f(x)=ax2+bx, 1≤f(-1)≤2,2≤ f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 解:法一:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.

?m+n=4, ?m=3, ? ? 于是得? 解得? ?n-m=-2, ?n=1. ? ?

所以 f(-2)=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10. 故 5≤f(-2)≤10.
? ?f(-1)=a-b, 法二:由? ? ?f(1)=a+b,

1 ? a = ? 2[f(-1)+f(1)], 得? 1 ? b = ? 2[f(1)-f(-1)]. 所以 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又因为 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 所以 5≤3f(-1)+f(1)≤10. 故 5≤f(-2)≤10. 2x+4 20.(本小题满分 12 分)设 f(x)= x . 4 +8 (1)求 f(x)的最大值; 21 (2)证明:对任意实数 a、b 恒有 f(a)<b2-3b+ . 4 16×2x 16 (1)解:f(x)= 2x = ≤ 8 2 +8 x 2+ x 2 2 8 当 2x= x时, 2 3 即 x= 时,等号成立. 2 所以 f(x)的最大值为 2 2. 16 16 = =2 2,当且仅 8 4 2 x 2· x 2

21 ? 3? (2)证明:因为 b -3b+ =?b-2? +3, 4 ? ?
2

2

3 21 所以当 b= 时,b2-3b+ 有最小值 3. 2 4 由(1)知 f(a)有最大值 2 2,且 2 2<3, 21 所以对任意实数 a,b 都有 f(a)<b2-3b+ . 4 21.(本小题满分 12 分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每 件销售收入分别为 3 千元,2 千元.甲、乙产品都需要在 A,B 两种 设备上加工,在每台 A,B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时 和 2 小时,加工一件乙产品所需工时分别为 2 小时和 1 小时,A、B 两种设备每月有效使用工时分别为 400 小时和 500 小时. 如何安排生 产可使月收入最大? 解: 设甲、乙两种产品的产量分别为 x , y 件,约束条件是 x+2y≤400, ? ? ?2x+y≤500,目标函数是 f=3x+2y, ? ?x≥0,y≥0, 要求出适当的 x,y 使 f=3x+2y 取得最大值. 作出可行域,如图所示.

3 a 设 3x+2y=a,a 是参数,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为 2 2 3 - ,随 a 变化的一簇直线. 2 a 当直线与可行域相交且截距 最大时, 2

目标函数 f 取得最大值.
? ?x+2y=400, ? ?x=200, 由? 得? ? ? ?2x+y=500 ?y=100.

因此,甲、乙两种产品的每月产量分别为 200 件和 100 件时,可 得最大收入 800 千元. 1 1 22.(本小题满分 12 分)(1)设 x≥1,y≥1,证明:x+y+ ≤ + xy x 1 +xy; y (2)设 1< a≤b≤c,证明: logab + logbc + logca ≤ logba + logcb+ logac. 证明:(1)由于 x≥1,y≥1, 1 1 1 所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2, xy x y 此式的右边减去左边得 y+x+(xy)2-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)· (y-1). 因为 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0. 故所证不等式成立. (2)令 logab=x,logbc=y, 1 1 则 logca= ,logba= , xy x 1 logcb= ,logac=xy. y 由 1<a≤b≤c 得 x=logab≥1,y=logbc≥1.

由(1)亦即得到所证的不等式成立.


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