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江苏省扬州中学2013届高三10月月考数学试题


江苏省扬州中学 2012—2013 学年第一学期

高三数学质量测试
一、填空题(5′×14=70′)

2012.10

1.已知集合 A ? {1,3, m} , B ? {1, m} , A ? B ? A ,则 m ? __________ __ . 2.设复数 z 满足 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则 z 等于___________.
2 2 2 3.已知 a , b , c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ≥ 3 的否命题是___________.

4.在 ?ABC 中,已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 2∶3∶4,则 cos B ? __________. 5.已知 a ? log2 3.6 , b ? log4 3.2 , c ? log4 3.6 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是____________. 6.已知 3sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? ,则 sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值范围是______________. 7.下列命题中,真命题是______________(写出所有真命题的序号) . ① ?x0 ? R , e 0 ≤ 0
x

② ?x ? R , 2 > x
x

2

③ a >1, b >1 是 ab >1 的充分条件 ④b ?

ac 是 a , b , c 成等比的既不充分又不必要条件
3 ,则 cos 2? ? __________. 3

8.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

9.已知向量 a , b 的夹角为 45°,且 | a |? 1, | 2a ? b |? 10 ,则 | b | =__________. 10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 {

1 } 的前 100 项和为 a n a n ?1

__________. 11.回文数是指从左到右读与从右到右读都一样的正整数,如 22,121,3443,94249 等,显然 2 位回文数有 9 个:11,22,…99,3 位回文数有 90 个:101,111,121,…191,202,…999,则 5 位回文数有________个.
2 12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2x ? c ( x ? R) 的值域为 [0,??) ,则

a ?1 c ?1 ? 的最小值是 c a

__________________. 13.已知函数 f ( x) ?

| x2 ?1| ? kx ? 2 ,恰有两个零点,则 k 的取值范围是_____________. x ?1

14.函数 f (x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) >2,则 f (x) > 2 x ? 4 的解 集为____________________. 二、解答题

15. (本小题 14′) 已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. ⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵求数列 {2 n } 的前 n 项和 S n .
a

16. (本小题 14′) 已知函数 f ( x) ? m ? n ,其中 m ? (sin ?x ? cos?x, 3 cos?x) , n ? (cos?x ? sin ?x,

2 sin ?x) ,其中 ? > 0 ,若 f (x) 相邻两对称轴的距离大于等于
⑴求 ? 的取值范围.

? . 2
3 ,b ? c ? 3 ,当 ? 最大时,

⑵在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ?

f ( A) ? 1,求 ?ABC 的面积.

17. (本小题 15′) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需建隔热层,某建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元, 该建筑物每年的能源消耗费用 C (单 位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x ) ?

k 3x ? 5

(0 ≤ x ≤ 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元,设 f (x) 为隔热层建造费用与 20 年
的能源消耗费用之和.

⑴求 k 的值及 f (x) 的表达式. ⑵隔热层修建多厚时,总费用 f (x) 达到最小,并求最小值.

18. (本小题 15′) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x , a ? R . ⑴当 a ? 8 时,求函数 f (x) 的单调区间. ⑵求函数 f (x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.

19. (本小题 16′) 设向量 a ? ( x,2),b ? ( x ? n,2x ? 1) (n ? N ) ,函数 y ? a ? b 在 [0,1] 上的最大值与最小值的和 为 an ,又数列 {bn } 满足: nb1 ? (n ? 1)b2 ? ? ? 2bn?1 ? bn ? (
?

9 n ?1 9 ) ? ( ) n?2 ? 10 10

??

9 ? 1. 10
⑴求 an 、 bn 的表达式. ⑵ Cn ? ?an bn , 问数列 {cn } 中是否存在正整数 k , 使得对于任意的正整数 n , 都有 C n ≤ C k

成立,若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

20. (本小题 16′) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0, b ? 1 ) ,在区间 [ 2 , 3] 上有最大值 4,最小值 1,设

f ( x) ?

g ( x) . x ⑴求 a , b 的值.
⑵不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ≥ 0 在 x ? [?1 , 1] 上恒成立,求实数 k 的范围. ⑶方程 f (| 2 ? 1 |) ? k (
x

2 ? 3) ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围. | 2 ?1|
x

高三数学质量检测加试题
A = 1.已知矩阵A? ?

? 4 ?1? ? 2 ?1? B = ? ,B ? ? ?3 1 ? ,求满足AX=B的二阶矩阵X. ? ? ? ?4 3 ?

2.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,在棱 AA1 是上否存在一点 E,使得直线 AB 和平面 B D1E 的夹角是 30 ?若存在,求出点 E 的位置,若不存在,请说明理由。
0

3.某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请 其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望

4.集合 Sn ? ?1, 2,3, ??????, n? 的子集 X 中,如果奇数的个数比偶数的个数多,则称 X 为好子集,记 集合 Sn 的好子集的个数为 f ( n) 。 (Ⅰ)求 f (3), f (4) 的值; (Ⅱ)求证 f (n) ? 2
n ?1



1.由题意得 A ?1 ? ? 2
? ?2

?3

1? ?3 ? , ? AX ? B ,? X ? A ?1B ? ? 2 2 ? ? 1? ?2

1? ?9 ? ? 4 ?1? ? ? 2 2 ? ? ?3 1 ? ? ? 1? ? ?5

? ?1? ? ?1?

2.以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系.则 B(1,0,0),D1(0,1,1),
??? ? → E(0,0,t),其中 0≤t≤1,BE=(-1,0,t), BD1 ? (?1,1,1) ,可求平面 B D1E 的法向量 n=(t,t- ??? ? 1 5 ?1 1,1); AB ? (1, 0, 0) , cos ? ? ,得 t= .

2

2

3 解: (I) 解法一: 所有可能的申请方式有 34 种, 恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 2 种,
2 2

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

P(? ? 1) ?

1 (II)ξ 3 的所有可能值为 1,2,3.又 P (? ? 1) ? ? ,

34 27 1 3 2 2 C32 (C2 C4 ? C4 C2 ) 14 C32 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? ? (或P(? ? 2) ? ? ) 27 27 34 34

3 1 ? 4 27 3

P(? ? 3) ?

1 2 1 C3 C4 C2 4 C 2 A3 4 ? (或P(? ? 3) ? 4 4 3 ? ). 9 9 34 3

综上知, 有分布列 ξ

ξ P

1

2

3

1 27

14 27

4 9

从而有 E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? 27 27 9 27

? ?2n ?1 n为奇数 ? n ?1 n 0 2 1 2 2 2 4. f (3) ? 4, f (4) ? 5,(2)f ( n) ? ? [2 ? (C n ) ? (C n ) ? ??? ? (C n ) ] 2 2 2 ?2 n ? 1 ?? 2n ?1 ? Cn2 n为偶数 ? 2
所以 f (n) ? 2n?1 。

高三数学质量测试参考答案
一、填空题 1.0 或 3; 5. a ? c ? b ; 2. 2i ;
2 2 2 3.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c < 3 ;

2012.10

4.

11 ; 16

6. [0 ,

4 ]; 9

7.③、④;

8. ?

5 ; 3

9. 3 2 ;

10.

100 ; 101

11.900;

12.4;

13. (0,1) ? (1,4) ;

14. (?1,??)

二、解答题
2 15.⑴ a1 , a3 , a9 成等比 ? (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d ? 0 (舍去)或 1,

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ⑵2
an

? 2 n , S n ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ? 2(2n ? 1) ? 2n?1 ? 2
2

16.⑴ f ( x) ? m ? n ? cos

?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 3 sin 2?x

? 2 sin( 2?x ?

T 1 2? ? ? ? ? ? ≥ ? 0 ? ? ≤1 6 2 2 2? 2? 2 ? ? 1 ⑵ ?max ? 1, f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 1 ? sin( 2 A ? ) ? , 6 6 2 ? ? 13? ? 5? ? 0 ? A ? ? ,故 ? 2 A ? ? ? A? ,∴ 2 A ? ? 6 b 6 6 6 3 1 a 2 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 9 ? 3bc ? bc ? 2 2 ),
∴ S ?ABC ?

?

1 1 3 3 bc sin A ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

17.⑴ C (0) ?

k ? 8 ? k ? 40 ,设隔热层厚度为 xcm , 5

则依题意,有 f ( x) ? 6 x ? 20 ? ⑵ f ' ( x) ? 6 ?

40 800 ? 6x ? (0 ≤ x ≤ 10) 3x ? 5 3x ? 5

25 ? 2400 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 5 或 ? (舍去) , 2 3 (3x ? 5)

当 0 ≤ x < 5 时, f ' ( x) ? 0 ,当 5 ? x ≤10 时, f ' ( x) ? 0 ,故 x ? 5 是 f (x) 的极小值点, 而此极小值就是[0,10]上的最小值,∴ f ( x) min ? f (5) ? 70 (万元) .

6 2x 2 ? 4x ? 6 18.⑴ a ? 8 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 6 ln x ? f ' ( x) ? 2 x ? 4 ? ? x x
2

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 3 或 x ? ?1 ,又 x ? 0 ,∴递增区间为 (3,??) ,令 f ' ( x) ? 0 ,得

? 1 ? x ? 3 ,又 x ? 0 ,∴递减区间为(0,3)
⑵当 ? [e, e 2 ] 时, f ' ( x) ? 2 x ? 4 ? 令 g ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ①当 a ≤0 时, ? ? 16 ? 8(2 ? a) ? 8a ≤0, g (x) ≥0, ∴ 从而 f ' ( x) ≥0, f (x) 在 [e, e 2 ] 上 单调递增,∴ f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a ②当 a ? 0 时, ? ? 8a ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x ?

2 ? a 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ? x x

4 ? 8a 2a ? 1? 4 2

当 x ? 1?

2a 2a 或 x ? 1? 时, g ( x) ? 0 ,从而 f ' ( x) ? 0 2 2

当1 ?

2a 2a ? x ? 1? 时, g ( x) ? 0 ,从而 f ' ( x) ? 0 2 2 2a 2 2 2 2 ≥ e 即 a ≥ 2(e ? 1) 时, f (x) 在 [e, e ] 上递减, 2

1°当 1 ?

f ( x) min ? f (e 2 ) ? e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a
2°当 e ? 1 ?

2a 2a ? e 2 ,即 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时, f (x) 在 [e,1 ? ] 上递减,在 2 2

[1 ?

2a 2 , e ] 上递增, 2

∴ f ( x) min ? f (1 ?

2a a 2a ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ) 2 2 2

3°当 1 ?

2a ≤ e 即 0 ? a ≤ 2(e ? 1) 2 时, f (x) 在 [e, e 2 ] 上递增, 2

∴ f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a ,

综上, f ( x) min

?e 2 ? 4e ? 2 ? a a ? 2(e ? 1) 2 ? 2a ?a ? ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ) 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 2 ?2 ?e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a a ? 2(e 2 ? 1) 2 ?
n?4 ? 0 ,∴ y 在[0, 1]上递增,x ? 0 时, 2

2 19. y ? a ? b ? x ? (n ? 4) x ? 2 , ⑴ 对称轴为 x ? ?

y ? ?2 , x ? 1 时, y ? n ? 3 ,∴ an ? n ? 1
9 n ?1 9 9 ) ? ( ) n?2 ? ? ? ? 1 10 10 10 9 n?2 9 9 ? ( ) n ?3 ? ? ? ? 1 令 n ? n ? 1 ,则 (n ? 1)b1 ? (n ? 2)b2 ? ? ? bn ?1 ? ( ) 10 10 10 9 n ?1 ? Sn 相减,得 b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? bn ? ( ) 10
∵ nb1 ? (n ? 1)b2 ? ? ? 2bn?1 ? bn ? ( 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 , 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? (

9 n ?1 9 1 9 ) ? ( ) n?2 ? ? ? ( ) n?2 10 10 10 10

n ?1 ?1 ? ∴ bn ? ? 1 9 n?2 ?? 10 ? (10) ?

n?2

n ?1 ?? 2 ? ⑵ C n ? ?a n bn ? ? n ? 1 9 n ? 2 ? 10 ? (10) ?
都有 Cn ? Ck 成立,∵ C 2 ? C1 ?

n?2

,设存在正整数 k ,使得对于任意的正整数 n ,

3 23 ?2? ? 0 ,∴ C2 ? C1 , 10 10 9 n?2 8 ? n ? 当 n ? 2 时, C n ?1 ? C n ? ( ) ,∴当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn 10 100
当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn ,当 n ? 8 时, Cn?1 ? Cn ∴ C1 ? C2 ? ? ? C8 ? C9 ? C10 ? ? , ∴存在正整数 k ? 8 或 9, 使得对于任意的正整数 n ,

都有 Cn ? Ck 成立.

20.⑴ g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,当 a ? 0 时, g (x) 在[2,3]上为增函数 故?

?9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ?a ? 1 ? g (3) ? 4 , ?? ?? ?4a ? 4a ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 ? g (2) ? 1

当 a ? 0 时, g (x) 在[2,3]上为减函数

故?

? g (3) ? 1 ? ? g (2) ? 4

?9a ? 6a ? 1 ? b ? 1 ?a ? ?1 , ?? ? ?4a ? 4a ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3
1 ?2 x

2 ∵ b ? 1 ,∴ a ? 1, b ? 0 ,即 g ( x) ? x ? 2x ? 1 , f ( x) ? x ? x x ⑵不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 化为 2 ?
x

1 ? 2 ? k ? 2x x 2

1 2 1 1 ) ? 2 x ? k ,令 x ? t , k ? t 2 ? 2t ? 1 x 2 2 2 1 2 ∵ x ?[-1,1],∴ t ? [ ,2] ,记 ? (t ) ? t ? 2t ? 1 ,∴ ? (t ) min ? ? (1) ? 0 ,∴ k ? 0 2 1? (
⑶方程 f (| 2 ? 1 |) ? k (
x

2 1 ? 2k ? 3) ? 0 化为 | 2 x ? 1 | ? x ? (2 ? 3k ) ? 0 | 2 ?1| | 2 ?1|
x

| 2 x ? 1 |2 ?(2 ? 3k ) | 2 x ? 1 | ?(1 ? 2k ) ? 0 , | 2 x ? 1 |? 0
x 2 令 | 2 ? 1 |? t ,则方程化为 t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0 (t ? 0)

∵方程 | 2 ? 1 | ?
x

1 ? 2k ? (2 ? 3k ) ? 0 有三个不同的实数解, | 2x ?1|
2

∴由 t ?| 2 ? 1 | 的图像知, t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0
x

有两个根 t1 、 t 2 ,且 0 ? t1 ? 1 ? t 2 记 h(t ) ? t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k )
2

? ?h(0) ? 1 ? 2k ? 0 ?h(0) ? 1 ? 2k ? 0 ? 则? 或 ?h(1) ? ?k ? 0 ,∴ k ? 0 ?h(1) ? ?k ? 0 ? 2 ? 3k ?0 ? ?1 2 ?

()


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