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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)


绝密 ★ 启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)


4.将函数 y ?
?
12

学(理科)

3 co s x ? sin x ( x ? R ) 的图像向左平移 m ( m ? 0 ) 个单位长度后,所得到的

图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A. B.
?
6

C.

?
3

D.

5? 6

5.已知 0 ? ? ?

?
4

,则双曲线 C 1 :

x

2 2

cos ?

?

y

2 2

s in ?

? 1与 C 2 :

y

2 2

s in ?

?

x
2

2 2

s in ? ta n ?

? 1的

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等

D.离心率相等
??? ?

6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 A B 和 C D 方向上的投影为
3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2

????

A.

B.

C.

D.

7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
v (t ) ? 7 ? 3t ? 25 1? t ( t的 单 位 : s , v的 单 位 : m / s ) 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的

距离(单位: m )是 A. 1+ 2 5 ln 5 B. 8 + 2 5 ln
11 3

C. 4 + 2 5 ln 5

D. 4 + 5 0 ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 为 V1, V 2, V 3, V 4, 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有
A .V1 ? V 2 ? V 4 ? V 3 B .V1 ? V 3 ? V 2 ? V 4 C .V 2 ? V1 ? V 3 ? V 4 D .V 2 ? V 3 ? V1 ? V 4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌 后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.
126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频
1

率分布直方图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。

13.设 x , y , z ? R ,且满足: x + y + z =1, x + 2 y + 3 z = 1 4, x + y+ z= ___________。 则
2 2 2

14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三 角形数为
n ( n +1) 2 = 1 2 1 2 n +
2

1 2

n ,记第 n 个 k 边形数为 N ( n , k )( k ? 3) ,以下列出了部分 k 边

形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
N ( n , 3) = n +
2

1 2

n

N (n, 4)=n
N (n, 5)=

2

3 2

n 2

2

1 2

n

N ( n , 6 ) = 2 n -n

…………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填 在答题卡的对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如 图 , 圆 O 上 一 点 C 在 直 径 AB上 的 射 影 为 D ,点 D在 半 径 O C 上 的 射 影 为 E . 若

2

AB ? 3 AD ,

CE EO

的值为

.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 x o y 中,椭圆 C 的参数方程为 ? y ? b sin ? ? ? 为 参 数 , a ? b ? 0 ? . 在极坐标系(与
x ? a co s ?

直角坐标系 x o y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直
? ?

线 l 与圆 O 的极坐标分别为 ? s in ? ? ?

? ?

?? 4 ?

2 2

m ? m 为 非 零 常 数 ? 与 ? = b . 若直线 l 经过椭

圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆的离心率为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中 , 角 A、 B 、 C 对 应 的 边 分 别 为 a , b , c .已 知 co s 2 A ? 3 co s( B ? C ) ? 1 . (I)求角 A 的大小; (II)若 ? A B C 的 面 积 S ? 5 3 , b ? 5, 求 sin B sin C 的 值. 数学(理工类) 试卷 A 型 第 4 页(共 6 页) 18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ? a n ? 满足: a 2 ? a 3 ? 1 0 , a 1 a 2 a 3 ? 1 2 5 . (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m , 使得 在,说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 如图, A B 是圆 O 的直径,点 C 是 圆 O 上异于 A、 B 的点,直线 P C ? 平 面 A B C ,
E , F 分 别 为 P A , P B的 中 点 .
的 l l 的 (I)记平面 B E F 与 平 面 A B C 交 线 为 , 是 判 断 与 平 面 P A C 位 置 关 系 , 并加以说
1 a1 ? 1 a2 ? ?????? ? 1 an ? 1 ? 若 存 在 , 求 m的 最 小 值 ; 若不存

明; ( II ) 设 ( I ) 中 的 直 线 l 与 圆 O 的 另 一 个 交 点 为 D , 且 点 Q 满 足 D Q ?
P Q与 平 面 A B C 成 的 角 为 所 , 异 面 直 线 所 成 的 锐 角 为 o O
? 1 2 ? CP. 记 直 线

, 二 面 角

E ? l ? C 的 大 小 为 ? , 求 证 : ? ? sin ? sin ? . sin

3

20.(本小题满分 12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是 服 从 正 态 分 布 N ? 8 0 0, 5 0 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求 Pn 的值; (I) (参考数据:若 X ? N ? ? , ?
P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2?
2 2

?的 随 机 变 量 ,

?,有 P ?? ? ?

? X ? ? ??

??

0 .6 8 2 6 , )

??

0 .9 5 4 4, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3?

??

0 .9 9 7 4 .

(II)某客运公司用 A、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往 返一次, A、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于
A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙

地的营运成本最小,那么应配备 A型 车 、 B 型 车 各 多 少 辆 ?

数学(理工类) 试卷 A 型 第 5 页(共 6 页) 21.(本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 椭 圆 C 1与 C 2的 中 心 原 点 坐 标 O , 长 轴 均 为 M N 且 在 x 轴 上 , 短 轴 长 分 别 为
2 m、 n ? m ? n ? , 2 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C 1、 C 2的 四 个 交 点 按 纵 坐 标 从大到

小依次为 A、 B、 C 、 D . 记 ? ?

m n

, ? B D M 和 ? A B N 的 面 积 分 别 为 S 1、 S 2 .

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S 1 = ? S 2 , 求 ? 的 值 ; (II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l ,使得 S 1 = ? S 2 , 并 说 明 理 由 .

22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ? 1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 ? x ? ? 1?的 最 小 值 ;
4

(II)证明:

n

r ?1

? ? n ? 1? r ?1

r?2

? n ?
r

? n ? 1?

r ?1

?n

r ?1

r ?1

;
? 3?

(III)设 x ? R, ? x ? 为 不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? = 2 ,? ? ? = 4 ,? ? ? = - 1 . 记 ... ? 2? 令S ?
81 ? 82 ?
4 3

3

3

3

8 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 5 , 求 ? S ?的 值 .
3

4 3

4 3

4

(参考数据: 8 0 ? 3 4 4 .7 , 8 1 ? 3 5 0 .5,1 2 4 ? 6 1 8 .3,1 2 6 3 ? 6 3 1 .7 . ) 数学(理工类) 试卷 A 型 第 6 页(共 6 页)

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