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最新人教A版必修一高中数学第三章 3.2.1几类不同增长的函数模型公开课课件_图文

第三章 3.2 函数的模型及其应用 3.2.1 几类不同增长 的函数模型 学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型; 2. 了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型 的增长差异; 3. 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的 含义. 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 新知探究 点点落实 知识点一 思考 函数模型 自由落体速度公式v=gt是一种函数模型.类比 这个公式的发现过程,说说什么是函数模型?它怎 么来的?有什么用? 答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球),通过 收集数据 ( 打点计时器测量 ) ,画散点图分析数据 ( 增 长速度、单位时间内的增长量等 ),寻找或选择函数 ( 假说 ) 来拟合,这个函数即为函数模型 . 函数模型通 常用来解释已有数据和预测. 答案 一般地,设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关 量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学 知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式, 将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化, 即所谓建立数学模型. 知识点二 三种常见函数模型 比较三种函数模型的性质,填写下表. 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 图象的变化 增长速度 y=ax (a>1) 增函数 y=logax (a>1) 增函数 y=xn (n>0) 增函数 随n值 而不同 随x的增大逐 随x的增大逐 陡 渐变 “” 稳定 渐趋于 的增长 快于 ax的增长快于 xn的增长,xn的增长 logax ax>xn>logax 答案 返回 题型探究 类型一 例1 重点难点 个个击破 建立函数模型解决实际问题 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回 报10元; 方案三:第一天回报0.4 元,以后每天的回报比前一 天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 反思与 解析答 跟踪训练 1 某公司预投资 100 万元,有两种投资可 供选择: 甲方案年利率 10%,按单利计算,5年后收回本金和 利息; 乙方案年利率9%,按每年复利一次计算,5年后收回 本金和利息 . 解 按甲,每年利息 100×10% = 10,5 年后本息合计 哪种投资更有利?这种投资比另一种投资 5年可多得 150万元; 利息多少元? (结果精确到 0.01 万元 ) 按乙,第一年本息合计 100 ×1.09 ,第二年本息合计 100×1.092 , ? , 5 年后本息合计 100×1.095≈153.86 万元. 解析答 类型二 需选择函数模型的实际问题 例2 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制 定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到 10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万 元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金 总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有 三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求?按此模型,如果 某人的销售利润是343万元,则所获奖金为多少? 反思与 解析答 跟踪训练 2 一家庭(父亲、 母亲和孩子们)去某地旅游, 甲旅行社说: “如 果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行 2 为集体票,按原价3优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不 同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅 行社更优惠. 解析答 类型三 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异 例3 观察下面表中的数据,你对函数 y = 2x , y = x2 , y=log2x的增长差异有什么认识? x y=2x y=x2 0 1 0 1 2 1 2 4 4 3 8 9 4 5 6 7 8 ? 16 32 64 128 256 ? 16 25 36 49 64 ? 0 1 1.6 2 2.3 2.6 2.8 3 ? log2 x 解 尽管在 x的某一范围内,有2x<x2的情况,但y=2x 比y=x2增长的快,当x>4时,2x>x2>log2x. 反思与 解析答 y= 跟踪训练3 x2. 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示. 设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1< (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; 解 当x充分大时, 图象位于上方的函数是指数函数y=2x, 另一个函数就是幂函数y=x3. ∴C1对应的函数为g(x)=x3, C2对应的函数为f(x)=2x. 解析答 (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 013),g(2 013) 的大小 . f(1) > g(1) , f(2) < g(2) , f(9) < g(9) , f(10) > 解 ∵ g(10), ∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2 013>x2. 从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x), ∴f(6)<g(6). 当x>x2时,f(x)>g(x),∴f(2 013)>g(2 013). 又g(2 013)>g(6),∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6). 解析答 返回 达标检测 1.下列函数中随x的增长而增长最快的是 ( A A.y=ex C.y=x100 B.y=ln x D.y=2x 1 2 3 4 ) 答 1 2 3 4 2. 能使不等式 log2x<x2<2x 一定成立的 x 的取值区间是 D ( ) B.(2,+∞) D.(4,+∞) A.(0,+∞) C.(-∞,2) 答 1 2 3 4 3.某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间t(单位:h) 的函数:T(t)=t3-3t+60,t=