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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何单元质检(A) 文 北师大版


单元质检八

立体几何(A)
单元质检卷第 14 页

(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的 半径等于( )

A.1 答案:B

B.2

C.3

D.4

解析:由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱 A1B1C1-ABC,且 AB=8,BC=6,BB1=12. 若要得到半径最大的球,则此球与平面 A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1 相切,故此时球的半径与△ABC 内切 圆半径相等,故半径 r==2.故选 B. 2.下列命题中,错误的是( ) A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面 B.平面 α ∥平面 β ,a? α ,过 β 内的一点 B 有唯一的一条直线 b,使 b∥a C.α ∥β ,γ ∥δ ,α ,β ,γ ,δ 所成的交线为 a,b,c,d,则 a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面成等角,则这两个平面平行 答案:D 解析:A 正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,而它所在的平面与这个平面 平行,故第三边平行于这个平面;B 正确,α ∥β ,α 中的线 a 必平行于另一个平面 β ,一平面 β 内 的一点 B 与 a 可以确定一个平面 γ ,平面 γ 与平面 β 交于一条直线 l,过点 B 在平面 γ 内只有这 条直线 l 与 a 平行;C 正确,利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定 C 是正确的;D 错误,一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面,故应选 D. 3.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的 半径为( ) A. B.2 C. D.3?导学号 32470624? 答案:C 解析:由计算可得 O 为 B1C 与 BC1 的交点.

设 BC 的中点为 M,连接 OM,AM,则可知 OM⊥面 ABC,连接 AO,则 AO 的长为球半径,可知 OM=6,AM=, 1

在 Rt△AOM 中,由勾股定理得 R=. 4.设 α ,β ,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题:①若 α ⊥β ,l⊥β ,则 l∥α ;② 若 l⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β ;③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α ;④若 α ⊥β ,α ∥γ ,则 γ ⊥β . 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 答案:C 解析:①若 α ⊥β ,l⊥β ,则 l∥α 或 l? α ,故①不正确; ②l∥β ,则过 l 作一平面 γ 使平面 β 与 γ 相交,交线设为 l',那么 l∥l'. ∵l⊥α ,∴l'⊥α . 又 l'? β ,∴α ⊥β ,故②正确;③不正确,如 l 与平面 α 相交;④正确. 5.

(2016 河北衡水中学高三(上)四调改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.4 B. C. D. 答案:B 解析:根据几何体的三视图,可知该几何体是四棱锥 M-PSQN,如图,

)

把该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中, 所以该四棱锥的体积 VM-PSQN=V 三棱柱 QSD-NPM-V 三棱锥 S-DMQ=×22×2-×22×2=. 6.在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD⊥平面 BCD,且 DA⊥平面 ABC,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案:B

)

解析:作 AE⊥BD,交 BD 于 E, ∵平面 ABD⊥平面 BCD, ∴AE⊥平面 BCD,BC? 平面 BCD, ∴AE⊥BC, 而 DA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴DA⊥BC, 又∵AE∩AD=A,∴BC⊥平面 ABD, 而 AB? 平面 ABD,∴BC⊥AB, 即△ABC 为直角三角形.故选 B. 2

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分) 7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值 是 .?导学号 32470625? 答案: 解析:设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2, 由,得,则. 由圆柱的侧面积相等,得 2π r1h1=2π r2h2, 即 r1h1=r2h2, 所以. 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边形 ABCD 的形状一定 是 .?导学号 32470626? 答案:菱形 解析:由于 PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 又 PC⊥BD,且 PC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,PC∩PA=P,所以 BD⊥平面 PAC. 又 AC? 平面 PAC,所以 BD⊥AC. 又四边形 ABCD 是平行四边形, 所以四边形 ABCD 是菱形. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分) 9.(14 分)如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的主视图和左 视图在右面画出(单位:cm).

(1)在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC',证明 BC'∥平面 EFG. (1)解:如图:

(2)解:所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥=4×4×6-×2=(cm ). (3)

3

证明:在长方体 ABCD-A'B'C'D'中, 连接 AD', 则 AD'∥BC'. 因为 E,G 分别为 AA',A'D'的中点, 所以 AD'∥EG, 3

从而 EG∥BC'. 又 BC'?平面 EFG, 所以 BC'∥平面 EFG. 10.(15 分)

如图所示,在平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD 沿 BD 折起到△EBD 的位置,使平 面 EBD⊥平面 ABD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求三棱锥 E-ABD 的侧面积. (1)证明:在△ABD 中, ∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°, ∴BD==2. ∴AB2+BD2=AD2.∴AB⊥BD. ∵平面 EBD⊥平面 ABD,平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB? 平面 ABD, ∴AB⊥平面 EBD. ∵DE? 平面 EBD,∴AB⊥DE. (2)解:由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB, ∴CD⊥BD,从而 DE⊥BD. 在 Rt△DBE 中, ∵DB=2,DE=DC=AB=2, ∴S△DBE=DB·DE=2. 又∵AB⊥平面 EBD,BE? 平面 EBD,∴AB⊥BE. ∵BE=BC=AD=4,∴S△ABE=AB·BE=4. ∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD, ∴ED⊥平面 ABD.而 AD? 平面 ABD. ∴ED⊥AD.∴S△ADE=AD·DE=4. 综上所述,三棱锥 E-ABD 的侧面积 S=8+2. 11.(15 分)(2015 北京,文 18)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角 形,AC⊥BC,且 AC=BC=,O,M 分别为 AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积. (1)证明:因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM∥VB. 又因为 VB?平面 MOC, 所以 VB∥平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点, 所以 OC⊥AB. 又因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC? 平面 ABC, 所以 OC⊥平面 VAB, 所以平面 MOC⊥平面 VAB. 4

(3)解:在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC=, 所以 AB=2,OC=1. 所以等边三角形 VAB 的面积 S△VAB=. 又因为 OC⊥平面 VAB,所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 OC·S△VAB=. 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为.?导学号 32470627?

5


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