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1.2求函数的定义域与值域的常用方法


函数的定义域与值域的常用方法
(一)求函数的解析式 (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等 式,解出 y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数 f[g(x) ]的表达式,求 f(x)的表达式时可以令 t=g (x) ,以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出 f(x)和 f(-x) ,或 f(x)和 f(1/x)的一个方程,则可 以 x 代换-x(或 1/x) ,构造出另一个方程,解此方程组,消去 f(-x) (或 f(1/x) )即可求 出 f(x)的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间 的等量关系,列出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外, 还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置 决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间 变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数 y=f[g(x) ]的定义域的求解,应先由 y=f(u)求出 u 的范围,即 g(x) 的范围,再从中解出 x 的范围 I1;再由 g(x)求出 y=g(x)的定义域 I2,I1 和 I2 的交集即为 复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义 域不一样,则在叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个 集合求并集,作为该函数的定义域; (三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数 f:A→B 中,集合 B 未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为 C,则 C 是 B 的子集;若 C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射” ; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集; 4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范 围分别进行叙述; 5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集; 6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;

(四)求函数的最值 1、设函数 y=f(x)定义域为 A,则当 x∈A 时总有 f(x)≤f(xo)=M,则称当 x=xo 时 f (x)取最大值 M;当 x∈A 时总有 f(x)≥f(x1)=N,则称当 x=x1 时 f(x)取最小值 N; 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题; 3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】 典型例题】
考点一: 考点一:求函数解析式 1、直接法 、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例 1. 已知函数 y=f(x)满足 xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。 解:由 4x2-9y2=36 可解得:

? 2 x2 ? 9 ,x > 3 ?? 2 x2 ? 9 ? 3 y=± =? 3 ? 2 x2 ? 9 , x < ?3 ? 3 ? 。

2 x2 ? 9 y=± 3 说明: 的形式。 说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成
2、待定系数法 、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式, 然后再求出各个参变量的值。 1、已知在一定条件下,某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比,又测得该段 河流某段平均水深为 2m 时,水流量为 340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系 式。 解:设

y=

k x ,代入 x,y 的值可求得反比例系数 k=780m3/s,故所求函数关系式为

y=

780 ,x >0 x 。

2、已知函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式。 3、求一个一次函数 f(x),使得 f{f[f(x)]}=8x+7 4、设二次函数 f (x ) 满足 f ( x ? 2) = f ( ? x ? 2) 且在 y 轴上的截距为 1 ,在 x 轴上截得的线 段长为 ,求 f (x ) 的解析式。 3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。 、换元法

f(
例 3. 已知

x + 1 x2 + x + 1 )= x x2 ,试求 f ( x ) 。

解:设

t=

x +1 1 x= 2 x ,则 t ? 1 ,代入条件式可得: f (t ) = t ? t + 1 ,t≠1。故得:

f ( x) = x 2 ? x + 1, x ≠ 1 。
说明: 说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。 (1) f (1 +

1 1 ) = 2 ?1 x

(2) f ( x +

x

1 )= x

x

2

+

1

x

2

4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出 、构造方程组法 另一个方程,联立求解。

1 f ( x) + 2 f ( ) = 3 x 2 + 4 x + 5 x ,试求 f ( x ) ; 例 4. (1)已知 2 (2)已知 f ( x ) + 2 f ( ? x) = 3 x + 4 x + 5 ,试求 f ( x ) ; 1 1 1 1 f ( ) + 2 f ( x) = 3 2 + 4 + 5 x x x (1)由条件式,以 x 代 x,则得 ,与条件式联立,消 解:
?1? 2 8 4x 5 f? ? f ( x ) = 2 + ? x2 ? + x 3x 3 3。 去 ? x ? ,则得:
说明: 说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义 域由解析式确定,不需要另外给出。 5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也 不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。 例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发,顺次经过 C、D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程,y 表示 PA 的长,求 y 关于 x 的函数。 解:由题意知:当 x∈[0,1]时:y=x; 当 x∈(1,2)时: y = 当 x∈(2,3)时: 故综上所述,有

x2 + 1 ;

y=

(3 ? x )

2

+1



? x, x ∈ [ 0,1] ? ? y = ? x 2 + 1, x ∈ (1, 2] ? 2 ? ( 3 ? x ) + 1, x ∈ (2,3] ?

考点二: 考点二:求函数定义域 1、由函数解析式求函数定义域 、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解 题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

y = x+2 +
例 6. 求

x+3 x ?4

的定义域。

?x + 2 > 0 ? ? ? x ≠ 4 ,从而解得:x>-2 且 x≠±4.故所求定义域为: 解:由题意知: ?
{x|x>-2 且 x≠±4}。 2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 、求分段函数的定义域 例 7. 已知函数由下表给出,求其定义域 X 1 2 3 4 35 Y 22 3 14 解:{1,2,3,4,5,6}。 5 -6 6 17

3、求与复合函数有关的定义域:由外函数 f(u)的定义域可以确定内函数 g(x)的范围, 、求与复合函数有关的定义域 从而解得 x∈I1,又由 g(x)定义域可以解得 x∈I2.则 I1∩I2 即为该复合函数的定义域。也可 先求出复合函数的表达式后再行求解。

例8 已知f ( x ) = x ? 3, g ( x ) =

x x ? 4x + 3
2

, 求y = f ( g ( x ))的定义域. x ≥3 ?

由f ( x) = x ? 3 ? x ≥ 3 ? g( x) ≥ 3 ?
解: 又由于 x2-4x+3>0 ** 联立*、**两式可解得:

x2 ? 4 x + 3

9?3 3 9+3 3 ≤ x < 1或3 < x ≤ 4 4 ? 9+3 3? ? 9?3 3 ? 故所求定义域为 ? x | ≤ x < 1或3 < x ≤ ? 4 4 ? ? ? ?
例 9. 若函数 f(2x)的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域。 - - x , 解:由 f(2 )的定义域是[-1,1]可知:2 1≤2x≤2,所以 f(x)的定义域为[2 1,2]
- 故 log2x∈[2 1,2] ,解得 2 ≤ x ≤ 4 ,故定义域为 ?

? 2, 4 ? ?。

4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值 、求解含参数的函数的定义域: 的不同而不同。

例 10. 求函数 f ( x ) =

ax + 1 的定义域。

解:若 a = 0 ,则 x∈R;

1 a 1 若 a < 0 ,则 x ≤? ; a
若 a > 0 ,则 x ≥? ; 故所求函数的定义域: 当 a = 0 时为 R,当 a > 0 时为 ?x | x ≥ ? ? ,当 a < 0 时为 ? x | x ≤ ? ? 。 说明: 最后叙述结论时不可将分类讨论的结果 说明:此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨论, 写成并集的形式,必须根据 a 的不同取值范围分别论述。 考点三: 考点三:求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富, 下面通过例题来探究一些常用的方法; 随着高中学 习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法 、 例 11. 求函数

? ?

1? a?

? ?

1? a?

y=

解: 说明: 说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量 x,可通过等价变形,让变量只出现 在分母中,再行求解。 2、配方法 、 例 12. 求函数 y=2x2+4x 的值域。 解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。 说明: 说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为 二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如 y=af2(x)+bf(x)+c。 3、判别式法 、

y=

2 x + 3 2 ( x + 1) + 1 1 1 = = 2+ ≠0 x +1 x +1 x + 1 ,因为 x + 1 ,故 y≠2,所以值域为{y|y≠2}。

2x + 3 x + 1 的值域。

x2 + 2 x + 3 的值域。 4 x2 + 5x + 6 x2 + 2 x + 3 y= 2 4 x + 5 x + 6 可变形为: 解: (4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0 可解得: ? 26 ? 6 3 26 + 6 3 ? y∈? , ? 71 ? ? 71 。
例 13. 求函数 y =

说明: 说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两 点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了 定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据 是函数的定义域为非空数集, 所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后, 该方程的解 集就是原函数的定义域,故Δ≥0。 4、单调性法 、

例 14. 求函数 y =

?2 + 3 ,x∈[4,5]的值域。 x ?2 5 13 y= +3 x 解:由于函数 为增函数,故当 x=4 时,ymin= 2 ;当 x=5 时,ymax= 5 ,所

? 5 13 ? ?2 , 5 ? ?。 以函数的值域为 ?
5、换元法 、 例 15. 求函数 y = 2 x + 4 1 ? x 的值域。 解:令 t = 1 ? x ≥ 0 ,则 y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。 6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。 、分段函数的值域

? x, x ∈ [1, 2] ? 2 例 16. 求函数 y = ? x , x ∈ (2,3] 的值域。 ?2 x ? 1, x ∈ (3, 4] ?
;当 x∈ ( 2,3]时,y∈ ( 4,9] ;当 x∈ ( 3,4]时, 解:当 x∈[1,2]时,y∈[1,2] y∈ ( 5,7] 。综上所述,y∈[1,2]∪ ( 3,9] 。

【模拟试题】 模拟试题】
一. 选择题 1、函数 y=f(x)的值域是[-2,2] ,则函数 y=f(x+1)的值域是( ) A. [-1,3] B. [-3,1] C. [-2,2] D. [-1,1] 2、已知函数 f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为(



A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3、一等腰三角形的周长为 20,底边长 y 是关于腰长 x 的函数,那么其解析式和定义域是 ( ) A. y=20-2x(x≤10) B. y=20-2x(x<10) C. y=20-2x(4≤x<10) D. y=20-2x(5<x<10) 2 4、二次函数 y=x -4x+4 的定义域为[a,b] (a<b) ,值域也是[a,b] ,则区间[a,b] 是( )

A. [0,4] B. [1,4] C. [1,3] D. [3,4] 5、函数 y=f(x+2)的定义域是[3,4] ,则函数 y=f(x+5)的定义域是( ) A. [0,1] B. [3,4] C. [5,6] D. [6,7]

y=
6、函数

x2 + 2 3 x 2 + 4 x 的值域是(



A.[

?3 ? 17 ?3 + 17 , ] 4 4 ?3 ? 17 ?3 + 17 ] ∪[ , +∞) 4 4

? ?3 ? 17 ?3 + 17 ? B. ? , ? ? ? 4 4 ? ? D.(?∞, ?3 ? 17 ?3 + 17 )∪( , +∞) 4 4


C.(?∞,

7、 (2007 安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是(

3 x ? 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 3 C. y = ? x ? 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 A. y =

B. y =

3 3 ? x ? 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2

D. y = 1 ? x ? 1 (0 ≤ x ≤ 2)
; ;

二. 填空题 3 8、 (x) (x+a) 对任意 x∈R 都有 (1+x) 若f = f =-f 1-x) 则 (2) (-2) ( , f +f =

1? ? 2 f ( x) = ? ?∞, ? ? 3 ? ,则其定义域为 x ? 2 的值域为 ? 9、若函数
三. 解答题

y=
10、求函数

5 ? x + 3x + 4 x+2 的定义域。

? x 2 ? 2 x + 1, x ≤ 2 ? f ( x) = ? ? ? x, x > 2 ? 11、已知 ,若 f(a)=3,求 a 的值。
12、已知函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=-x2+4x,试求 f(x)的表达式。 13、某人买来 120m 竹篱笆,想靠墙围成一个矩形养鸡场,一边靠墙,三边用竹篱笆。设鸡 场的面积为 y,与墙连接一边的长为 x。 (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)与墙连接的一边多长时,鸡场的面积最大?

【试题答案】 试题答案】
一. CDDAA CB 二. 8、-26; 9、 [-4,2 ) ; 三、10、解:由 5-x≥0 解得:x≤5;又由 x+2≠0 解得:x≠-2;故所求函数定义域为: (?∞,?2) ∪ (?2,5] 。 11、解:若|a|≤2,则可解得 a= 1 ? 3 ;若|a|>2,则可解得 a=-3。 12、解:由条件式,以-x 替换 x 可得:2f(-x)-f(x)=-x2-4x,联立两式可解得:

? x2 +

f(x)= 13、解: (1)y=x(60-x) ,x∈(0,60). (2)y=x(60-x)=-(x-30)2+900≤900,当 x=30 时取等号,故当 x=30 米时, 鸡场面积最大为 900 平方米。

4 x 3 。


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