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2009-2010学年度新课标高三下学期数学单元测试1-理科

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2009—2010 学年度下学期

高三理科数学单元测试(1)
[新课标版]
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束,试题 和答题卡一并收回. 3. 第Ⅰ卷每题选出答案后, 都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 (ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
参考公式: 球的表面积公式:S=4π R2,其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率:
k n-k Pn(k)=C k . n p (1-p) (k=0,1,2,…,n)

如果事件 A.B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) . 如果事件 A.B 相互独立,那么 P(AB)=P(A) ·P(B) . 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? ? x | y ? log( x ? 3)? , B ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A

?

?

B?





A. ?

B. ? 3, 4 ?

C. ? ?2,1?
2

D. ? 4. ? ?? ( D.第四象限 )

2 2.若复数 z 与 ( z ? 2) ? 8i 都是纯虚数,则 z ? z 所对应的点在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

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3.一个空间几何体的三视图如下,则这个空间几何体的体积是 A. 2 ?

( D. 10 ? 8?



4? 3

B. 2 ?

8? 3

C. 1 ?

4? 3

4.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16 ,则循环体的判断框内① 处应填的是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 16

5. 已知 a, b 是夹角为 120 的单位向量, 则向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是实数 ? 的 值为 A. ( B.
3 2



5 4

5 2

C.

3 4

D.

3 2
2

? ?) 内单调递增, 6. 设 p : f ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1 在 (??, 函数 q : g ( x) ? x ? 4 x ? 3m 不
存在零点则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

7.设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时,

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f ( x) ? ln x ? x ,则有
1 3 2 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2
8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? A. f ( ) ? f ( ) ? f ( )





?
4

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数
( )

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 9.在椭圆

g ( x) ? cos(? x ? ) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 4

?

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中, F1 , F2 分别是其左右焦点,若 PF1 ? 2 PF2 ,则该椭 a 2 b2
( )

圆离心率的取值范围是 A. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 3?

D. ? 0, ? 3

? 1? ? ?

? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2, ? 10.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则 a 的取值范围是( ? y ? 0, ? ?x ? y ? a 4 A. a ? B. 0 ? a ? 1 3 4 4 C. 1 ? a ? D. 0 ? a ? 1 或 a ? 3 3



11. 设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x , 曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 A. y ? 4 x B. y ? 4 x ? 8 C. y ? 2 x ? 2 D. y ? ? ( )

1 x ?1 2

12.市内某公共汽车站有 10 个候车位(成一排) ,现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车, 则恰好有 5 个连续空座位的候车方式的种数是 ( ) A. 240 B. 480 C. 600 D. 720

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题中的横线上。 13.某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1: 2 :1 ,用分 层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用
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寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均 值分别为 980 h , 1020h , 1042h ,则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h。 14.已知关于 x 的不等式

ax ? 1 1 ? 0 的解集是 (??, ?1) ( , ??) .则 a ? x ?1 2



15.直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于点 A, B ,若 OA OB ? ?2 ( O 为坐标原点) ,则实 数 a 的值为 。

16. 对正整数 n , 设抛物线 y 2 ? 2(2n ? 1) x , 过 P(2n,0) 任作直线 l 交抛物线于 An , Bn 两点, 则数列 ?

? ? OAn ? OB n ? ? ? 的前 n 项和公式是 2 ( n ? 1 ) ? ? ? ?



三、解答题:共大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x 1 ? cos x

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?4? ?? ? , ? ? 上的单调区间和值域。 ?2 ?

(2)写出函数函数在 ?

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18. (本题满分 12 分) 某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用 ? 表示, 椐统计, 随机变量 ? 的概率分布如下:

?
p
(1)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0
0.1

1

2

3

0.3

2a

a

(2)假设第一年和第二年该地区遭到暴雨的次数互不影响,求这两年内该地区共遭到暴 雨袭击 2 次的概率。

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19. (本题满分 12 分)如图,沿等腰直角三角形 ABC 的中位线 DE ,将平面 ADE 折起, 使得平面 ADE ? 平面 BCDE 得到四棱锥 A ? BCDE . (1)求证:平面 ABC ? 平面 ACD ; (2)过 CD 的中点 M 的平面 ? 与平面 ABC 平行,试求平面 ? 与四棱锥 A ? BCDE 各 个面的交线所围成多边形的面积与三角形 ABC 的面积之比。 (3)求二面角 A ? BE ? D 的余弦值。

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20. (本题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 3an ? 3n?1 。 (1)证明: ?an ?1 ?

? ?

2 ? an ? 为等比数列; 3 ?

(2)证明:求数列 ?an ? 的通项公式; (3)确定

Sn 6n 与 的大小关系,并加以证明。 n 3 2n ? 1

21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a ln x 。 (1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x ) 的极值点。

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22. (本题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) ,(0,3) 的距离之和等 于 4 ,设点 P 的轨迹为 C 。 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 (0, 3) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 分别与曲线 C 交于 A, B 和 CD 。 ①以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,若能求出此时的 k 值,若不能说明理 由; ②求四边形 ABCD 面积的取值范围。

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参考答案
1. 【解析】B 集合

A ? (3, ??) , B ? ?x | ( x ?1)( x ? 4) ? 0? ? ?x |1 ? x ? 4? .? A B ? (3, 4) .故选 B.
2. 【解析】C 设 z ? bi(b ? R) ,则 ( z ? 2)2 ? 8i ? (2 ? bi )2 ? 8i ? 4 ? b2 ? (4b ? 8)i ,由于
2 2 该复数为纯虚数, 故 4 ? b ? 0 且 4b ? 8 ? 0 , 解得 b ? ?2 , 故 z ? z ? ?4 ? 2i ,z ? z
2

所对应的点在第三象限。 3. 【解析】B 这个空间几何体下面部分是一个同一顶点处三棱长分别为 2,1,1 长方体,上面 是两个半径为 1 的球,故其体积为 2 ? 1? 1 ? 2 ?

4? 8? ? 2? 。 3 3

1 4. 【解析】 B a ? 1 时进入循环, 此时 b ? 2 ? 2 ,a ? 2 时再进入循环此时 b ? 22 ? 4, a ? 3 ,

4 再进入循环此时 b ? 2 ? 16 ,∴ a ? 4 时应跳出循环,∴循环满足的条件为 a ? 3 ,∴

填3 。 5. 【解析】 A 根据已知 a ? b ? 1, a b ? ?

1 ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是 2 2 2 1 5 (? a ? b) ? (a ? 2b) ? ? a ? (1 ? 2? )a b ? 2b ? ? ? (1 ? 2? ) ? 2 ? 0 ,解得 ? ? 。 2 4

6. 【解析】B

f ( x) 在 (??, ? ?) 内 单 调 递 增 , 则 f ?( x ) 在 (??, ? ?) 上 恒 成 立 , 即
4 ; g ( x) 不 3

3x2 ? 4 x ? m ? 0在 (??, ? ?) 上恒成立,即 ?1 ? 16 ?12m ? 0 ,即 m ?
存在零点,则 ?2 ? 16 ? 12m ? 0 ,即 m ?

4 。故 p 成立 q 不一定成立, q 成立 p 一定 3

成立,故 p 是 q 的必要不充分条件。正确选项 B。

1 ? 1 ? 0 , 故 函 数 f ( x ) 在 (1, ??) 单 调 递 减 , x 1 1 5 2 2 4 4 3 5 f ( ) ? f (2 ? ) ? f ( ) , f ( ) ? f (2 ? ) ? f ( ) , ? ? , 3 3 3 3 3 3 3 2 3 5 3 4 1 3 2 故 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,即 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 。正确选项 A。或者根据图象的对 3 2 3 3 2 3 称性,离 x ? 1 距离近的函数值大解决。 8. 【解析】C 由题知 ? ? 2 ,所以
7. 【 解 析 】 A 当 x ? 1 时 , f ' (x )?

? ? ? ? ? ?? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos ?2( x ? ) ? ? ,只要 4 2 4 4 4 4? ?

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把这个的 x 变成 x ? 正确选项 C。

?
4

即可,即只要把函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 个单位长度。 4

PF2 ? 9. 【解析】B 根据椭圆定义 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,将设 PF 1 ? 2 PF 2 代入得

2a ,根 3 2a c 1 1 ? a ? c ,即 a ? 3c ,故 ? ,即 e ? , 据椭圆的几何性质, PF2 ? a ? c ,故 3 a 3 3
又 e ? 1 ,故该椭圆离心率的取值范围是 ? ,1? 。

?1 ? ?3 ?

? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2, ? 10. 【解析】C 不等式组 ? ,将前三个 y ? 0 , ? ? ?x ? y ? a
不等式所表示的平面区域,三个顶点分别为

?2 2? (0, 0), (1, 0), ? , ? ,第四个不等式 x ? y ? a , ?3 3?
表示的是斜率为 ?1 的直线的下方,如图,只 有当直线 x ? y ? a 和直线 2 x ? y ? 2 的交点介于点 A, B 之间时,不等式组所表示的区 域才是四边形,此时 1 ? a ?

4 。选 C。 3
1 ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 1 ? 1 ? 4 , x

11. 【解析】A 由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x) ? 1 ?

? ln1 ? 4 即切线斜率为 4 ,又 g (1) ? 3,故 f (1) ? g (1)? 1 ,故曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 4 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ,故选 A。

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4 12. 【解析】B 把四位乘客当作 4 个元素作全排列有 A4 种排法,将一个空位和余下的 4 个空 2 4 2 位作为一个元素插空有 A5 种排法.∴ A4 ·A5 = 480 .

13. 【解析】 1013 由于是按照分层抽样,故抽取的 100 件产品的比例和产量的比例是相同 的,即在第一、二、三分厂抽取的产品数量之比是 1: 2 :1 ,也即在第一、二、三分厂抽

5 , 故 这 的 100 件 产 品 的 使 用 寿 命 的 平 均 值 取 的 产 品 数 量 分 别 为 2 5 , 5 0 , 2件
980 ? 2 5 + 1 0? 20 50+1 ? 0 3 2 2 5? 9 8 0 ? 1+1020 ? 2+1032 1 ? ? 1 0 1 3h (。 ) 100 4 1 14. 【解析】 2 由不等式判断可得 a ? 0 且不等式等价于 a( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,由解集特点 a 1 1 可得 a ? 0 且 ? ,故 a ? 2 。 a 2 x?
15 . 【解析】 ? 2 方 法 1 . 设 A( x ) 将直线方程代入圆的方程得 1, y 1 ) , B (x 2 ,y 2 , , 则

2 x2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0

x1 ?

x ,2 ?

a2 ? 4 ?a 2

1

x ,

2

?

x

OA OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (x1 ? a)(x2 ? a) ? 2x1x2 ? a(x1 ? x2 ) ? a2
? a2 ? 4 ? a2 ? a2 ? a2 ? 4 ? ?2 ,即 a 2 ? 2 ,即 a ? ? 2 。
方法 2.OA OB ? ?2 ? 2 ? 2cos ?AOB ? ?2 ,即 ?AOB ? 120 ,问题等价于圆心到 直线的距离等于半径的一半,即

a 2

? 1,故 a ? ? 2 。

16. 【解析】 ? n(n ? 1) 设直线方程为 x ? ty ? 2n ,代入抛物线方程得

y2 ? 2 ? 2n ?1? ty ? 4n ? 2n ?1? ? 0 ,设 An ? xn1, yn1 ? , B ? xn2 , yn2 ? ,
则 OAn ? OBn ? xn1 xn 2 ? yn1 yn 2 ? (t 2 ? 1) yn1 yn 2 ? 2nt ? yn1 ? yn 2 ? ? 4n2 ,用韦达定理代
2 2 2 2 入得 OAn ? OBn ? ?4n(2n ? 1) t ? 1 ? 4n(2n ? 1)t ? 4n ? ?4n ? 4n ,

?

?



? OAn ? OB n ? OAn ? OB n ? ? ? ?2n ,故数列 ? ? 的前 n 项和 ?n(n ? 1) 。 2(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) ? ?

17. 【解析】 f ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x

(1 ? sin x)2 ? sin x cos2 x

(1 ? cos x)2 sin 2 x

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? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x
? ?

(4 分)

(1)当 x ? ? 0,

??

?? ? ? 时, f ( x) ? 2 ? sin x ? cos x ,故 f ? ? ? 2 ? 2 。 (6 分) 2? ?4?

(2)当 x ? ?

?? ? , ? ? 时, cos x ? ? cos x, sin x ? sin x , ?2 ?
1 ? sin x 1 ? cos x ? ? sin x ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , (8 分) ? cos x sin x 4

故 f ( x) ? cos x 当 x ??

? ? ? 3? ? ? ? 3? ? ?? ? , ? ? 时 x ? ? ? , ? ,故当 x ? ? , ? 是,函数 f ( x) 单调递增, 4 ?4 4 ? ?2 4 ? ?2 ?
? 3? ? (12 分) , ? ? 时,函数 f ( x) 单调递减;函数的值域是 1, 2 ? ?。 ? 4 ?

当 x??

?

18. 【解析】 (1)由概率分布的性质有 0.1 ? 0.3 ? 2a ? a ? 1 ,解得 a ? 0.2 ,

(2 分)

? ? 的概率分布为

?
p

0
0.1

1

2

3
0.2

0.3

0.4

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 1.7 。 (6 分)
(2)设事件 A 表示”两年内共遭到暴雨袭击 2 次”,

2 事件 A 1 表示”两年内有一个年遭到暴雨袭击 次,
另外一年遭到暴雨袭击 0 次”;事件 A2 表示”两年内各自遭到暴雨袭击1 次” 则由事件的独立性得
1 P ( A1 ) ? C2 P (? ? 0) ? 2 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.08

P ( A2 ) ? [ P (? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17

(10 分)

故两年内该地区共遭到暴雨袭击 2 次的概率为 0.17 。 (12 分) 19. 【解析】 (1) AD ? DE ,平面 ADE ? 平面 BCDE , 根据两个平面垂直的性质定理得 AD ? 平面 BCDE , 所以 AD ? BC ,又 CD ? BC ,根据线面垂直的判定定理 BC ? 平面 ACD , BC ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ACD 。 (4 分) (2)由于平面 ? 平面 ABC ,故平面 ACD 与平面 ? 的交线 MQ

AC ,

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M 是 CD 的中点,故 Q 是 AD 的中点;同理平面 BCDE 与平面 ? 的交线 MN BC ,

N 为 BE 的中点;平面 ABE 的交线 NP AB , P 为 AE 的中点,
连接 PQ 即为平面 ? 与平面 ADE 的交线, 故平面 ? 与四棱锥 A ? BCDE 各个面的交线所围成多边形是图中的四边形 MNPQ , 由于 PQ DE, DE MN ,故 PQ MN ,根据(1) BC ? AC , 由 MN

BC, MQ AC ,故 MQ ? MN ,即四边形 MNPQ `是直角梯形。 (6 分)

设 CM ? a ,则 MQ ? 2a, MN ? 3a, PQ ? a, BC ? 4a, AC ? 2 2a , 故四边形 MNPQ 的面积是 三角形 ABC 的面积是

a ? 3a ? 2a ? 2 2a 2 , 2

1 ? 4a ? 2 2a ? 4 2a 2 , 2 故平面 ? 与四棱锥 A ? BCDE 各个面
的交线所围成多边形的面积与 三角形 ABC 的面积之比为

2 2a 2 1 (8 分) ? 。 4 2a 2 2

(3)方法 1. AD ? 平面 BCDE , AD ? BE , 过点 D 做 BE 的垂线交 BE 的延长线于点 G , 连接 AG ,则 BG ? 平面 ADG , 从而 AG ? BG , 所以 ?AGD 即为二面角 A ? BE ? D 的平面角。 (10 分) 设 DE ? 2 ,则 AD ? 2, DE ? 2 ,则 AG ? 6 , 故二面角 A ? BE ? D 的余弦值等于

2 3 。 (12 分) ? 3 6

方法 2.建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求解。 设 DE ? 1 ,则 E (0,1, 0) , A(0, 0,1) , B(1, 2, 0) , AE ? (0,1, ?1), EB ? (1,1,0) , 设 n ? ( x, y, z) 为平面 ABE 的法向量, 则 AE n ? 0 且 EB n ? 0 , 即 y ? z ? 0 且 x ? y ? 0, 取 z ? ?1 ,则 x ? 1, y ? ?1 ,
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即平面 ABE 的一个法向量为 n0 ? (1, ?1, ?1) , (10 分) 又 m ? (0,0,1) 为平面 DBE 的一个法向量, 二面角 A ? BE ? D 是锐二面角,故其余弦值为

n0 m n0 m

?

1 3 。 (12 分) ? 3 3

20. 【解析】 (1) Sn ? 3an ? 3n?1 得 Sn?1 ? 3an ? 3n?1 , 相减得 Sn?1 ? Sn ? 3an?1 ? 3an ? 3n?2 ? 3n?1 , (2 分) 即 an ?1 ?

3 3 an ? 3n ?1 ,故 an ?1 ? an ? 3n ?1 。 2 2

故数列 ?an ?1 ?

? ?

2 ? (4 分) an ? 为首项是 9 、公比为 3 的等比数列。 3 ?

(2) an ?1 ?

an ?1 1 an 3 an?1 1 ? an ? an ? 3n ?1 得 n ? ? n ?1, n ? 2 ? ?? n ? 2? , ?1 ?1 2 3 2 3 3 2 ?3 ?
n ?1

a1 3 1 an 1 ?1? ? 2 ? ? 2 ? ? ,故 n ? 2 ? ? ?? ? 3 2 2 3 2 ?2?

?1? ? ?? ? , ?2?

n

n ? ? 1 ?n ? n ?3? n 所以 an ? ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 。 (8 分) ? ?2? ? ?2? ? ? n ? n ? 3 ?n ? n ?1 ? ? 1 ?n ? ?3? n ?1 n ?1 (3) S n ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? , ?2? ? ?2? ? ? ? ?2? ? ? ? ?

? ? 1 ?n ? ? ? 1 ?n ? Sn 6n ? 3 1 ? 3 ,即比较 的大小关系, ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 与 n 2 n ? 1 3 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?n ? ? 2n ? 1 6n 2n ? 2n ? (2n ? 1) 3 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? n ? ? 3 ? , 2n ? 1 ? (2n ? 1)2n ? ?2? ? ? 2n ? 1 ? 2 ? ?
即比较 2 与 2n ? 1 的大小。 (10 分)
n

当 n ? 1, 2 时, 2 ? 2n ? 1 ,当 n ? 3 时, 2 ? 2n ? 1 。
n n

方法 1.数学归纳法:当 n ? 3 时, 2 ? 8, 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 8 ? 7 结论成立;
3

设 n ? k (k ? 3) 时结论成立,即 2 ? 2k ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时,
k

2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(2k ? 1) ? 2(k ? 1) ? 2k ? 2(k ? 1) ? 1 ,即 n ? k ? 1 时结论也成立。

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根据数学归纳法,对 n ? 3 ,不等式 2 ? 2n ? 1 成立。 (12 分)
n

方法 2.二项式定理法:
0 1 当 n ? 3 时, 2n ? Cn ? Cn ? n?1 n 0 1 n?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 1 。

故当 n ? 1, 2 时,

Sn Sn 6n 6n ? ? ,当 n ? 3 时, n 。 (12 分) n 3 3 2n ? 1 2n ? 1

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21. 【解析】 (1) f '( x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x2 ? 2x ? a ? ,若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数, x x
2

则只能 f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即 2 x ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立恒成立, 令 g ( x) ? x2 ? 2x ? a , 则函数 g ( x) 图象的对称轴方程是 x ? 恒成立,即只要 a ?

1 , 故只要 ? ? 4 ? 8a ? 0 2

1 。 (5 分) 2 1 (2)有(1)知当 a ? 时, f '( x) ? 0 的点是导数不变号的点, 2 1 故 a ? 时,函数无极值点; 2
当a ?

1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 时, f '( x) ? 0 的根是 x1 ? , , x2 ? 2 2 2

若 a ? 0 , 1 ? 2a ? 1,此时 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且在 (0, x2 ) 上 f '( x) ? 0 , 在 ( x2 , ??) 上 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? a ?

1 ? 1 ? 2a ; (7 分) 2

1 时, 0 ? 1 ? 2a ? 1 ,此时 x1 ? 0, x2 ? 0 , 2

f ' ( x) 在 ? 0, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 和一个极小值点 x2 ? . (11 分) 2 2 1 ? 1 ? 2a ; 2

综上可知, a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0, ??? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?a?

1 1 ? 1 ? 2a 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 点 x1 ? 和一个极小值点 2 2

x2 ?

1 ? 1 ? 2a ; 2
a? 1 时,函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上无极值点。 (12 分) 2

22. 【解析】 (1)设 P(x, y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

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故曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. (4 分) 4

(2)①设直线 l1 : y ? kx ? 3 , A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 3. ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 , 故 x1 ? x2 ? ?

2 3k 1 . (6 分) ,x1 x2 ? ? 2 2 k ?4 k ?4

以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,则 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,

1 k2 6k 2 ? ? ?3? 0, 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
化简得 ?4k ? 3 ? 0 ,所以 k ? ?
2

3 . (8 分) 2

②由①,

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
1 4(k 2 ? 1) 将上式中的 k 换为 ? 得 CD ? , k 4k 2 ? 1
由于 AB ? CD , 故四边形 ABCD 的面积为 S ? 分) 令 k ? 1 ? t ,则
2

4 k 2 ? 1 4(k 2 ? 1) , ? 2 k2 ? 4 k ?4

1 8(1 ? k 2 )2 , ( 10 AB CD ? 2 2 (k ? 4)(4k 2 ? 1)

S?

8t 2 8t 2 ? 2 ? (t ? 3)(4t ? 3) 4t ? 9t ? 9

8 ?1? ?1? ?9 ? ? ? 9 ? ? ? 4 ?t ? ?t ?
2

?

8 ? 1 1 ? 25 ?9 ? ? ? ? 4 ?t 2?
2



而 ? (0,1) ,故 4 ? ?9 ? ?

1 t

32 ? 1 1 ? 25 25 ? ? ? ,故 25 ? S ? 2 , 4 4 ?t 2?

2

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当直线 l1 或 l2 的斜率有一个不存在时,另一个斜率为 0 , 不难验证此时四边形 ABCD 的面积为 2 , 故四边形 ABCD 面积的取值范围是 ?

? 32 ? , 2 . (14 分) ? 25 ? ?

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