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专题6 第1课时 函数的基本概念、性质及图象_图文

专题六
函 数 与 不 等 式

1.函数概念:构成函数的三要素——定义域、 对应关系和值域. 2.单调性:定义:如果函数y = f ( x ) 对于属于 定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 则称f ( x ) 在这个区间上是增函数(或减函数). 都有f ( ? x ) = ? f ( x ),则称f ( x ) 为奇函数; f ( ? x ) = f ( x ),则称f ( x ) 为偶函数. x2,当x1<x2时,都有f ( x1 )<f ( x2 ) ( f ( x1 )>f ( x2 )),

3.奇偶性:如果对于函数f ( x ) 定义域内的任意x

4.周期性:如果存在一个非零常数T,使得对于 函数f ( x ) 定义域内的任意x都有f ( x + T ) = f ( x ), 则称f ( x ) 为周期函数. T T 注意:f ( x + T ) = f ( x ),常常写作f ( x + ) = f ( x ? ). 2 2 5.对称性:y = f ( x )的图象关于直线x = a对称的 y = f ( x )的图象关于点A ( a, 0 ) 对称的充要条件是 f ( a + x ) = ? f ( a ? x ),即f ( 2a ? x ) = ? f ( x ).

充要条件是f ( a + x ) = f ( a ? x ),即f ( 2a ? x ) = f ( x );

6.函数的图象:图象变换法:常用变换方法有 三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

(1) 平移变换:由y = f ( x )的图象变换获得 y = f ( x + a ) + b的图象. ( 2 ) 伸缩变换:由y = f ( x )的图象变换获得
y = Af (ω x)( A>0,A ≠ 1,ω>0,ω ≠ 1)的图象.

( 3) 对称变换: ①y = f ( x ) 与y = f ( ? x )的图象关于y轴对称;

②y = f ( x ) 与y = ? f ( x )的图象关于x轴对称; ④ = f ( x ) 与y = f
?1

③y = f ( x ) 与y = ? f ( ? x )的图象关于原点对称; ⑤y = f ( x ) 去掉y轴左边图象,保留y轴右边图象. ⑥y = f ( x ) 保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻

( x )的图象关于直线y = x对称;

再作其关于y轴对称图象,得到y = f (| x |); 折上去,得到y = f ( x ) .

7.指数函数的图象和性质:

8.对数函数的图象和性质:

考点1 考点 函数图象的应用

例1:设α,β 依次是log 2 x + x ? 3 = 0和2 x + x ? 3 = 0 的根,则α + β = __________ .

解析 : 如图,设函数y = 3 ? x 的图象与y = log 2 x,y = 2 x的图 象的交点依次是A(α,y A ), B( β,yB ). 因为y = 2 和y = log 2 x互为反函数,
x

其图象关于y = x对称, 又由于函数y = x和y = 3 ? x的图象交于一点 3 3 C ( , ),根据反函数与原函数的对称关系 2 2 知点C是AB的中点,故α + β = 3.

【评析】解答此类题型时要注意利用函数的性 质和图象,利用“数形结合”的方法解题常常 较为简便.本题将a和b分别看做直线y = 3 ? x与 y = 2 和y = log 2 x交点的横坐标,根据函数y = 2
x x

和y = log 2 x的图象关于直线y = x对称这一特点, 并结合中点坐标公式得到了最后的结果.

变式题:方程log 2 ( x + 4 ) = 2 的根的情况是(    )
x

A.仅有一根 C.有一个正根和一个负根

B.有两个正根 D.有两个负根
x

解析: 解析: f ( x ) = log 2 ( x + 4 ),g ( x ) = 2 , 令 在同一个坐标系中分别作出 f ( x ) 与g ( x )的图象, 由图象易知, 方程有一个正根和一个负根,故选C.

考点2 考点 函数性质的应用
例2:设定义在R上的函数f ( x )的最小正周期是2,且在
2

区间( 3,5]内单调递减,则f ( ?log 1 2),f ( ?4 ),f (π )的大 小关系为(    )

A.f (?log 1 2)<f ( ?4 )<f (π ) B.f (?log 1 2)<f (p)<f ( ?4 ) C.f ( ?4 )<f (?log 1 2)<f (π ) D.f (?log 1 2) > f ( ?4 ) > f (π )
2 2 2 2

分析 : 利用函数的周期性转化函数的自变量到 区间( 3,5]内,然后利用函数单调性判断其大小.

所以f (?log 1 2) = f (1) = f (1 + 2 × 2) = f ( 5 ); 而函数f ( x ) 在区间( 3,5]内单调递减, 即f (π )>f ( ?4 )>f (?log 1 2),故选A.
2

解析 : 因为函数f ( x )的最小正周期是2, f ( ?4 ) = f (?4 + 4 × 2) = f ( 4 );
2

故f (π )>f ( 4 )>f ( 5 ),

【评析】利用函数的单调性比较大小时, 一定要注意自变量须在同一个单调区间 才能比较大小,因此此类函数值大小的 比较,转换自变量在同一单调区间内是 解答的关键.

变式题:定义在R上的偶函数f ( x ) 满足

f ( x + 1) = ? f ( x ),且在[ ?1,0] 上单调递增,

设a = f ( 3),b = f ( 2),c = f ( 2 ),则a,b, c的大小关系是(    ) A.a>b>c C.b>c>a B.a>c>b D.c>b>a

得f ( x ) = ? f ( x + 1) = f ( x + 2 ), 故a = f ( 3) = f (3 ? 2 × 2) = f ( ?1), b = f ( 2) = f ( 2 ? 2),c = f ( 2 ) = f ( 2 ? 2 ) = f ( 0 ), 又f ( x ) 在[ ?1,0] 上为增函数, 所以f ( ?1)<f ( 2 ? 2)<f ( 0 ),即c>b>a,故选D. 所以函数f ( x )的周期T = 2,

解析: f ( x + 1) = ? f ( x ), 由

备选例题: 已知关于x的不等式1 + 2 + ( a ? a ) 4 <0
x 2 x

在[0, ∞)上恒成立,求实数a的取值范围. +

分析 : 将不等式中的未知数x与参数a分别 移到不等式的两边,即化为g ( a )<f ( x )的 形式,再利用g ( a ) < ? f ( x ) ? min 来解答. ? ?

解析 : 将原不等式转化为: 1 x 1 x 1 2x 1 x a ? a < ? ( ) ? ( ) = ?( ) ? ( ) 在[0, ∞)上 + 4 2 2 2 1 x 1 x 恒成立,设f ( x ) = ?( ) ? ( ) . 4 2 1 1 因为0< < <1, 4 2 所以函数f ( x ) 在[0, ∞)上为增函数, +
2

所以f ( x ) ≥ f ( 0 ) = ?2,所以a ? a 2< ? 2, 解得a< ? 1或a>2.

【评析】利用指数函数与对数函数的单调性求 解不等式的恒成立问题,主要方法: ) 利用分 (1 离参数法,即将不等式中的参数分离出来,使 等式或不等式一端化为只含参数的解析式,而 另一端化为只含未知数的指数式或对数式,再 利用单调性解答,整个过程体现函数的思想;

( 2 ) 利用指数与对数函数的单调性将不等式转化
为一般的代数不等式,再利用其他方法求解, 如判别式法、数形结合法等.

1.一元二次、二次函数及指数、对数函数和 幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质 是解决此类题目的关键,同时要注意数形结 合、化归和分类讨论思想的应用. 2.求f ? g ( x ) ? 类型的函数值时,应遵循先内 ? ? 后外的原则,而对于分段函数的求值问题, 必须依据条件准确地找出利用哪一段求解, 特别地,对具有周期性的函数求值要用好 其周期性.

3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出 一定的条件确定函数的解析式,再研究函数的 有关性质;解答的常用方法有待定系数法、定 义法、换元法、解方程组法、消元法等. 4.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点 时要注意用好其与图象的关系、结合图象研究. 5.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形 结合法求解.

调性(区间); ) 应用函数单调性求函数的值域 (2 (最值)、比较大小、求参数的取值范围、解 (或证明)不等式. 7.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用. 8.最值(值域)问题,考题常与函数的性质、 图象、导数和基本不等式等综合.

6.单调性(区间)问题,热点有: ) 确定函数单 (1

1.(2011 ? 全国新课标卷)下列函数中,既是偶   函数又在(0, ∞)单调递增的函数是 ( + A.y = x
3 2

)

B.y = x + 1 D.y = 2
?| x|

C .y = ? x + 1

解 : 因为y = x 是奇函数,y = x + 1、y = ? x + 1、
3 2

y = 2?|x|均为偶函数,所以选项A错误; 1 |x| 2 ?| x| 又因为y = ? x + 1、y = 2 = ( ) 在(0, ∞)上均 + 2 为减函数,只有y = x + 1在(0, ∞)上为增函数, + 所以选项C、D错误,只有选项B正确.

  011? 湖北卷)若定义在R上的偶函数f ( x ) 和 2.(2 奇函数g ( x ) 满足f ( x ) + g ( x ) = e ,则g ( x ) = (
x

)

A.e ? e
x

?x

1 ?x x C. ( e ? e ) 2

1 x ?x B. ( e + e ) 2 1 x ?x D. ( e ? e ) 2

所以f ( ? x ) = f ( x ).

解 : 因为f ( x ) 为定义在R上的偶函数,

又因为g ( x ) 为定义在R上的奇函数, 所以g ( ? x ) = ? g ( x ). 由f ( x ) + g ( x ) = e ,
x

得f ( ? x ) + g ( ? x ) = f ( x ) ? g ( x ) = e ,
?x

1 x ?x 所以g ( x ) = ( e ? e ). 2