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湖北省荆州中学2013-2014学年度上学期高二数学期末考试(文科)


荆州中学 2013~2014 学年度上学期 期 末 考 试 卷
年级:高二 科目:数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做调查,为此将他们编号为 1,2,??,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人数为( ) A.10 B.14 C.15 D.16 2.抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件 A 为“奇数点向上” ,事件 B 为“偶数点向 上” ,事件 C 为“3 点或 6 点向上” ,事件 D 为“4 点或 6 点向上” .则下列各对事件中 是互斥但不对立的是( ) A.A 与 B B.B 与 C C.C 与 D D.A 与 D 3.下列说法中,正确的是( ) A.命题“若 a ? b ,则 am2 ? bm2 ”的逆否命题是真命题 B. “ p ? ?q 为真命题”是 “ q 为假命题” 成立的充分不必要条件 C.命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R, x ? x ? 0 ”
2

2

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 4.设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21, x5 ? 22 ,将这五个数据依次输入下面程序框进行 计算,则输出的 S 值及其统计意义分别是( ) A. S ? 2 ,即 5 个数据的方差为 2 B. S ? 2 ,即 5 个数据的标准差为 2 C. S ? 10 ,即 5 个数据的方差为 10 D. S ? 10 ,即 5 个数据的标准差为 10

i ? i ?1
否 开始

S ?0

i ?1
输出 S

S ? S ?5
5.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 15, 则点 P 到点(-5, 0)的距离是 ( ) 16 9 A.7 B.23 C.11 或 19 D.7 或 23 A ? { ? 1,1,2} B ? { ? 2,1,2} 6. 从集合 中随机选取一个数记为 k ,从集合 中随机选取一个 y ? kx ? b 数记为 b ,则直线 不经过第三象限的概率为 ( )
荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 1 页 共 4 页

i ?1

输入 xi

S ? S ? ( xi ? 20)

2

i?5


结束

A.

2 9
y x O

B.

1 3
y x O

C.

4 9
) y x

D.

5 9

7.函数 f ( x) ? x ? cos x ? sin x 的导函数的部分图象为(

y x O

O

A

B

C

D

x2 y 2 2 8. 设双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y ? x 的一个交点的横坐标 a b
为 x0 ,若 x0 ? A. (1, 9. 设椭圆

1 ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( 2
B. (1, 3) C. ( 3, ??)



6 ) 2

D. (

6 , ??) 2

1 x2 y 2 右焦点 F (c,0) , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? , 2 a b 2
) C.圆 x2 ? y 2 ? 2 外 D.以上都有可能

两个根分别为 x1 , x2 ,则点 P( x1 , x2 ) 在( A.圆 x2 ? y 2 ? 2 内 B.圆 x2 ? y 2 ? 2 上
3 2

10. 对 于 三 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , 给 出 定 义 : 设 f ?( x) 是 函 数

y ? f ( x) 的导数, f ??( x) 是函数 f ?( x) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点

( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个一元三次函
数都有“拐点” ;且该“拐点”也为该函数的对称中心.若 f ( x) ? x3 ? 则 f(

3 2 1 x ? x ? 1, 2 2

1 2 2013 )? f ( ) ??? f ( )?( 2014 2014 2014

) D. 2014

A. 1 B. 2012 C. 2013 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知复数 z1

? 2 ? i, z2 ? 3 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数

z1 的实部为 z2

.

荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 2 页 共 4 页

x2 y 2 2 2 2 12.若椭圆 2 + 2 ? 1 过抛物线 y ? 8 x 的焦点,且与双曲线 x ? y ? 1有相同的焦点, a b
则该椭圆的方程为 13. 已知双曲线 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相 2 a b
. ,b = .

切,则该双曲线离心率等于 14.函数 y

? x3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ,在 x ? 1 时,有极值 10,则 a =

15. 已知函数 f ( x) 的定义域为 [1, ??) ,且 f (2) ? f (4) ? 1 ,

f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,
?x ? 0 ? 则不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域的面积是 ? f (2 x ? y ) ? 1 ?
是 [3b , 4b ] ,则该椭圆离心率 e 的取值范围是 17.以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题的序号为
2 2



16. 从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围 . .

??? ? ??? ? ①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;
x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35 2 ③若方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; x2 y 2 25 5 ? ? 1. ④到定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 16 9 4 4
②双曲线

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. 已知 p : 方程

x2 y2 2 2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 方程 y =( a 一 a ) x q: 2 a ? 2 a ?1

表示开口向右的抛物线.若“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的 取值范围. 19.根据 2012 年初发布的《环境空气质量指数 AQI 技术规定(试行) 》 ,AQI 共分为六级, 其中: 0 到 50 为一级优, 51 到 100 为二级良, 101 到 150 为三级轻度污染, 151 到 200 为四级中度污染,201 到 300 为五级重度污染,300 以上为六级严重污染.自 2013 年 11 月中旬北方启动集中供暖后北京市雾霾天气明显增多, 有人质疑集中供暖加重了环 境污染, 以下数据是北京市环保局随机抽取的供暖前 15 天和供暖后 15 天的 AQI 数据:
荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 3 页 共 4 页

AQI 供暖前 供暖后

(0, 50] 2 0

(50, 100] 5 6

(100,150] 4 4

(150,200] 2 0

(200,250] 0 3

(250,300] 2 1

(300,350] 0 1

(1)通过上述数据计算供暖后空气质量指数为五级重度污染的概率,由此预测 2014 年 1 月份的 31 天中出现五级重度污染的天数; (保留到整数位) (2)分别求出样本数据中供暖前和供暖后 AQI 的平均值,由此你能得出什么结论.

20.已知函数 f ( x) ? ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a ? 0 . 2

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数的极大值和极小值,若函数 f ( x) 有三个零点,求 a 的取值范围.

21.抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与直线 y ? x ? 1 相切, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 是抛
2

物线上两个动点, F 为抛物线的焦点. (1)求 p 的值; (2)若直线 AB 与 x 轴交于点 Q(?1, 0) ,且 | QA |? 2 | QB | ,求直线 AB 的斜率; (3)若 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴交于点 C ,且 | AF | ? | BF |? 8 ,求点 C 的坐标.

22.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) . 2

(1) 若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调区间;
2 (3) 设 g ( x) ? x ? 2 x , 若对任意 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 4 页 共 4 页

荆州中学 2013~2014 学年度上学期 期 末 考 试 卷 答 案
年级:高二 科目:数学(文科)
一、选择题 CDBAD ADBAC 二、填空题 11.

1 2

12.

x2 y2 ? ?1 4 2
15. 3

13.

3 5 5
17.②③

14. 4, ?11 三、解答题

16. [

5 3 , ] 3 2

18.由题意,p 与 q 一真一假 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

?a 2 ? 2 ? 0 若 p 真,则 ? ,求得 a ? ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?a ? 1 ? 0 2 若 q 真,则 a ? a ? 0 ,求得 a ? 1或a ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
当 p 真 q 假时, ?

? ?a ? ? 2 ,无解 0 ? a ? 1 ? ? ?a ? ? 2 ? ,求得 ? 2 ? a ? 0或a ? 1 ? ? a ? 1或 a ? 0

当 p 假 q 真时, ?

综上: ? 2 ? a ? 0或a ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 15 4 预测 1 月份出现五级重度污染的天数为 ? 31 ? 8 天 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 15 25 ? 2 ? 75 ? 5 ? 125 ? 4 ? 175 ? 2 ? 275 ? 2 365 (2)供暖前 AQI 的平均值 x1 ? ? ? 122 15 3
19. (1)概率 P ?
荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 5 页 共 4 页

供暖后 AQI 的平均值 x2 ?

75 ? 6 ? 125 ? 4 ? 225 ? 3 ? 275 ?1 ? 325 ?1 445 ? ? 148 15 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 x2 ? x1 ,故供暖后加重了环境污染. ·

3 2 x ? 1, f ?( x) ? 3x 2 ? 3x 2 此时 f (2) ? 3, f ?(2) ? 6 ,切线方程为 y ? 6 x ? 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 1 (2) f ?( x) ? 3ax 2 ? 3x ? 3ax( x ? ) , a 1 1 可求出 f ( x) 在 (??, 0)和( , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减 a a 极大值为 f (0) ? 1 , 1 1 极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 a 2a 2 1 若函数 f ( x) 有三个零点,则 ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 0 ? a ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 2a
20.解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x3 ?

21.解:(1)由 ?
2

? y 2 ? 2 px ( p ? 0) ? y ? x ?1

得: y ? 2 py ? 2 p ? 0 ( p ? 0) 有两个相等实根
2

即 ? ? 4 p ? 8 p ? 4 p( p ? 2) ? 0

得: p ? 2 为所求 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(2)设直线 AB 的方程为 x ? my ? 1 由?

? y2 ? 4x ? x ? my ? 1

得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2

由 | QA |? 2 | QB | 得 y1 ? 2 y2 ,又 ? 故直线 AB 的斜率 k ?
2

? y1 ? y2 ? 4m 3 ,联立解出 m ? ? 2 4 ? y1 y2 ? 4

1 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ?? 2· m 3

(3)抛物线 y ? 4 x 的准线 x ? ?1 且 | AF | ? | BF |? 8 ,由定义得 x1 ? x2 ? 2 ? 8 ,则 x1 ? x2 ? 6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 设 C (m, 0) ,由 C 在 AB 的垂直平分线上,从而 | AC |?| BC | 则 ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y2
2 2 2 2

荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 6 页 共 4 页

2 2 2 ( x1 ? m)2 ? ( x y ?y 2 ? m) ? ? 1 2

( x1 ? x2 ? 2m)( x1 ? x2 ) ? ?4( x1 ? x2 )
因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 2m ? ?4 又因为 x1 ? x2 ? 6 ,所以 m ? 5 ,则点 C 的坐标为 (5, 0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 22.解:(1) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 由 f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (2) f ?( x) ?

2 ( x ? 0) . x
??????????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x 1 1 1 1 ①当 0 ? a ? 时, ? 2 ,增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,减区间是 (2, ) . ??? 5 2 a a a 1 ( x ? 2)2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x
???7

2 . 3

分 ②当 a ? 分

1 1 1 1 时, 0 ? ? 2 ,增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,减区间是 ( , 2) . ???9 分 2 a a a f ( x ) ? g ( x ) (0, 2] (3)由已知,在 上有 ??????10 分 max max .
③当 a ? 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;结合(2)可知: ① 当a ?

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 1 1 ? a? . 所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln2 ? 2 1 1 1 ②当 a ? 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2ln a ? ?2 , ?2ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1. ???????14 分
荆州中学高二期末数学试卷(文科) ·第 7 页 共 4 页

?????12 分


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