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高考数学(理)(全国)一轮复习课件:8.3圆 的 方 程

第三节 圆 的 方 程 【教材基础回顾】 1.圆的方程 标准 (x-a)2+(y-b)2= 方程 r2(r>0) 圆心(a,b) ______ r __ 半径为 D +E -4F>0 条件:__________ 2 2 圆 D E (? , ? ) 2 2 2 2 1 一般 2 2 r ? D ? E ? 4F x +y +Dx+Ey+F=0 心:___________ 2 方程 2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系 (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2__r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2__r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2__r2. > = < 【金榜状元笔记】 1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件: A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0. 2.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题. 【教材母题变式】 1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是 ( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 【解析】选D.圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3). 2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为 A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 ( ) 【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以 b=2-a.因为|CA|2=|CB|2,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2. 所以a=1,b=1.所以r=2.所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.(2016· 全国卷Ⅱ)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直 线ax+y-1=0 的距离为1,则a= ( ) 4 3 A. ? ???????B. ? ???????C. 3???????D.2 3 4 【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4, 故圆心为(1,4),d= 解得a=. a ? 4 ?1 a ?1 2 ? 1, 4 3 4.△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为____________. 【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则根据题意得 故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0. ??D ? 5E ? F ? 26 ? 0, ? ??2D ? 2E ? F ? 8 ? 0, ?5D ? 5E ? F ? 50 ? 0, ? 解得 ?D ? ?4, ? ?E ? ?2, ?F ? ?20. ? 方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2,线段 BC的中垂线方程为x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交 点(2,1),半径r= 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y20=0. 答案:x2+y2-4x-2y-20=0 ? 2 ? 1? ? ?1 ? 5? 2 2 ? 5. 【母题变式溯源】 题号 1 2 3 4 知识点 圆的几何 要素 圆的标准方程 圆的应用 圆的方程 源自教材 P124·A组 T1 P120·例3 P107·例5 P119·例2 考向一 求圆的方程 【典例1】(1)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是 ( A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=4 ) (2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为________. 【解析】(1)选A.根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1. 【巧思妙解】选A.因为圆心在y轴上,所以排除C;因为半径长为1,所以排除D;把点A的坐 标代入方程知A选项成立. (2)设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a). 又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|, 即 (2a ? 3 ? 2) ? ? a ? 3? ? 2 2 (2a ? 3 ? 2) ? ? a ? 5? , 2 2 解得a=-2, 所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= , 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10 10 【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解: 方法一: 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意得 ?? 2 ? a ?2 ? ? ?3 ? b ?2 ? r 2, ? 2 2 ? 2 ? 2 ? a ? ? 5 ? b ? r ? ? ? , ?? ?a ? 2b ? 3 ? 0, ? ? 解得a=-1,b=-2,r2=10, 故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 答案:(x+1)2+(y+2)2=10 方法二: 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则圆心坐标为 , 由题意得 D E (? , ? ) 2 2 E ? D ( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 3 ? 0, ? 2 2 ? ?4 ? 9 ? 2D ? 3E ? F ? 0, ?4 ? 25 ?