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【金榜提名】2015届高三数学(文理通用)二轮专项复习课件:专题1 第2讲 函数的概念、图象与性质_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题一
集合与常用逻辑用语、函数与导数

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

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专题一
第二讲 函数的概念、图象与性质

专题一

集合与常用逻辑用语、函数与导数

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命题角度聚焦

核心知识整合

学科素能培养 方法警示探究

命题热点突破

课后强化作业

专题一 第二讲

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命题角度聚焦

专题一 第二讲

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(1) 以选择或填空题形式呈现,考查对数函数、含无理式 的函数的定义域;函数的图象与性质;函数的奇偶性、周期

性与分段函数结合,考查函数的求值与计算;以二次函数的
图象与性质为主,结合函数的性质综合考查分析与解决问题 的能力;考查数形结合解决问题的能力等.

专题一 第二讲

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(2) 在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式 求解等综合问题. 函数是高考数学考查的重点内容之一,函数的观点和思 想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在

近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中
每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为背景的应 用题和综合题是高考命题的新趋势.

专题一 第二讲

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核心知识整合

专题一 第二讲

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1.函数 对应法则f (1)映射:集合 A(A 中任意 x) ――→ 集合 B(B 中有唯一 y 与 A 中的 x 对应). (2)函数:非空数集 A―→非空数集 B 的映射,其三要素: 定义域 A、值域 C(C?B)、对应法则 f.

专题一 第二讲

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①求函数定义域的主要依据: (Ⅰ)分式的分母不为零; (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零; (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零; (Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; (Ⅴ)正切函数 y=tanx 中,x 的取值范围是 x∈R,且 x≠kπ π + ,k∈Z. 2

专题一 第二讲

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②求函数值域的方法:无论用什么方法求值域,都要优 先考虑定义域,常用的方法有基本函数法、配方法、换元 法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数 法.

③函数图象在x轴上的正投影对应函数的定义域;函数图
象在y轴上的正投影对应函数的值域.

专题一 第二讲

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2.函数的性质 (1)函数的奇偶性 如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=

-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

专题一 第二讲

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(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质.给定区间D上的 函 数 f(x) , 若 对 于 任 意 x1 、 x2∈D , 当 x1<x2 时 , 都 有 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称f(x)在区间D上为单调增( 或减)函 数.反映在图象上,若函数f(x)是区间D上的增(减)函数,则图

象在D上的部分从左到右是上升(下降)的.如果函数f(x)在给定
区间(a,b)上恒有f ′(x)>0(f ′(x)<0),则f(x)在区间(a,b)上是增 (减)函数,(a,b)为f(x)的单调增(减)区间. 判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等.

专题一 第二讲

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(3)函数的周期性
设函数y=f(x),x∈D,如果存在非零常数T,使得对任意 x∈D,都有f(x + T) =f(x) ,则函数 f(x) 为周期函数,T为 y =f(x) 的一个周期. (4)最值

一般地,设函数 y = f(x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满
足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (或f(x)≥M); ②存在x0∈I ,使f(x0)= M,那么称 M是函数y =f(x) 的最大 值(或最小值).
专题一 第二讲

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3.函数图象 (1) 函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三 个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象;

②能依据函数的图象判断相应函数的性质;
③能用数形结合的思想以图辅助解题.

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(2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: h>0,右移|h|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x-h), h<0,左移|h|个单位 k>0,上移|k|个单位 y=f(x) ――→ y=f(x)+k. k<0,下移|k|个单位

专题一 第二讲

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专题一 第二讲

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③对称变换: 关于x轴对称 y=f(x) ――→ y=-f(x), 关于y轴对称 y=f(x) ――→ y=f(-x), 关于直线x=a对称 y=f(x) ――→ y=f(2a-x), 关于原点对称 y=f(x) ――→ y=-f(-x). 4. 对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换 来进行,对于某些抽象函数来说,一般通过恰当赋值,结合基 本定义来研究.
专题一 第二讲

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1.函数的单调性、奇偶性、周期性、图象对称性与恒等 式.

2.应注意区别“f(x)在区间M上单调递增(减)”与“f(x)的
单调递增(减)区间为M”.

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命题热点突破

专题一 第二讲

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求函数的定义域
1 (2012· 四川, 13)函数 f(x)= 的定义域是 1-2x ________.(用区间表示) 1 [ 答案] (-∞,2) [ 解析] 本题考查了求函数的定义域,要使函数有意义,

1 必须 1-2x>0,解得 x<2, 1 ∴此函数定义域为(-∞,2).
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[点评]

给定解析式求函数定义域,就是使求函数有意义

的自变量x的取值集合.

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(2014·江西理,2)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( A.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) [答案] C B.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)

)

[解析] 本题考查函数定义域的求法.
由题设得x2-x>0,解得x<0或x>1,选C.

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[方法规律总结]
(1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数;②f(x)是分式时,定 义域是使分母不为零的一切实数;③f(x)为偶次根式时,定义 域是使被开方数为非负值时的实数的集合;④对数函数的真

数大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底
数需大于0且不等于1;⑤零指数幂的底数不能为零;⑥若f(x) 是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域一般 是各基本初等函数的定义域的交集;

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⑦对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若已知 f(x)的 定 义 域 为 [a , b] , 其 复 合 函 数 f[g(x)] 的 定 义 域 应 由 不 等 式 a≤g(x)≤b解出;⑧对于含字母参数的函数求其定义域,根据具 体情况需对字母参数进行分类讨论;⑨由实际问题确定的函

数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意
义.

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(2)高考中常将指数函数、 对数函数与二次函数或幂函数(例 如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查,这时一般应 从外到内逐层剥离解决. 1 例如,y= ,从总体上看是分式,故先由分母不 2-log3x 为 0 得到 2-log3x≠0,再由偶次方根下非负得到 2-log3x>0, 即 log3x<2 ,最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到 0<x<9.

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分段函数求值和求函数的值域
2 ? x ? +bx+c 设函数 f(x)=? ? ?2 ?x>0?,

?x≤0?,

若 f(-4)=

f(0),f(-2)=-2,求关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数.

[ 分析] 方程求解.

由两个已知条件求出 b、c,再利用函数图象或解

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[ 解析]

由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得 b=4,c=2. ?x≤0?,

2 ? ?x +4x+2 ∴f(x)=? ? ?2 ?x>0?,

图象如图所示.

方程 f(x)=x 解的个数即 y=f(x)与 y=x 图象的交点个数. 由 图知两图象有 A、B、C 三个交点,故方程有 3 个解.
专题一 第二讲

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[点评] 反映出来.

函数的图象对研究讨论函数的性质及方程的解的

个数能起到很快捷的作用,作图时要把函数的主要特点特征

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3 ? 2 x x<0, ? , (2013· 福建文,13)已知函数 f(x)=? π -tanx, 0≤x< , ? 2 ?

π 则 f(f( ))=________. 4

[ 答案]
[ 解析]

-2
π π 本题考查分段函数求值,f(4)=-tan4=-1,f(-

1)=2×(-1)3=-2.

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[方法规律总结]
1.分段函数求值或解不等式时,一定要依据条件分清利 用哪一段求解,对于具有周期性的函数要用好其周期性. 2.形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则. 3.新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其

隐含条件.
4.恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用. 5.分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别 讨论.

专题一 第二讲

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函数性质的应用
已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、 y恒 2 有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,又 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值.

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[ 解析] 而 f(0)=0.

(1)证明:令 x=y=0,可得 f(0)+f(0)=f(0+0),从

令 y=-x,可得 f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0. 即 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. (2)证明:设 x1、x2∈R,且 x1>x2,则 x1-x2>0,于是 f(x1 -x2)<0,从而 f(x1)-f(x2) =f[(x1-x2)+x2] -f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0. ∴f(x)为减函数.
专题一 第二讲

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(3) 解:由 (2) 知,所求函数的最大值为 f( - 3) ,最小值为 f(6). f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)] =-2f(1)-f(1)=-3f(1)=2,

f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-2f(-3)=-4.
于是f(x)在[-3,6]上的最大值为2,最小值为-4.

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(2013·福建文,5)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

)

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[答案] A [解析] ∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x), ∴f(x)是偶函数,排除C.∵x2+1≥1,则ln(x2+1)≥0,且当x

=0时f(0)=0,所以排除B、D,选A.

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[方法规律总结] 1.函数奇偶性判定方法: 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对 称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化 ,特别注意

“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0,偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.

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2.函数单调性判定方法
一是紧扣定义;二是充分利用函数的奇偶性、函数的周 期性和函数图象的直观性进行分析转化.函数的单调性往往 与不等式的解、方程的解等问题交汇,要注意这些知识的综 合运用.三是利用导数研究.

对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法;而
对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转 化为基本初等函数单调性的判断问题;对于解析式为分式、 指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法;对于抽 象函数一般用定义法.
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3. 抽象函数的求值与性质讨论, 常结合条件式通过赋值转 化解决,赋值时要紧扣目标进行.如判断奇偶性要创设条件产 生 f(-x)与 f(x)的关系式;判断单调性,则要在设出 x1<x2 的条 f?x1? 件下,构造产生 f(x1)-f(x2)(或 ),朝着可判断正负(或可与 1 f?x2? 比较大小)的方向转化.解抽象函数的不等式,则要将原不等式 利用条件转化产生 f(x1)<f(x2)的形式.

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学科素能培养

专题一 第二讲

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数形结合思想的应用 函数图象的应用
b 形如 y= (a>0,b>0)的函数,因其图象类 |x|-a 似于汉字中的“囧”字,故我们把它称为“囧函数”.若当 a =1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n, 则 n=________.

专题一 第二讲

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[答案] 4
[分析] 画出函数图象可由图象判断其交点个数,由于两 函数都是偶函数,故可只需判断x>0时交点的个数.

[ 解析]

? ? 1 ?x>0?, x - 1 ? 1 y= =? |x|-1 ? 1 ?x<0?. ? - x - 1 ? ?x>0?, 如图可知两函数的图象共有 4 ?x<0?.

? ?lgx y =lg|x| = ? ? ?lg?-x?

个交点.
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专题一 第二讲

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已知函数 f(x) = |4x - x2| - a ,当函数有 4 个零点时, a 的取 值范围是________.

[答案] (0,4)
[ 解析] ∵函数 f(x)=|4x-x2|-a 有 4 个零点, ∴方程|4x-x2|=a 有 4 个不同的解. 令 g(x)=|4x-x2|
2 ? ?4-?x-2? , =? 2 ? ??x-2? -4,

0≤x≤4, x<0或x>4.
专题一 第二讲

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作出 g(x)的图象,如图,由图象可以看出,当直线 y=a 与 y=g(x)的图象有 4 个交点时,0<a<4,

∴a 的取值范围为 0<a<4.

专题一 第二讲

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[总结评述] 1.数形结合思想的含义 (1) 所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通 过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方 法.数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问

题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,
有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的 有机结合.

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这种思想方法体现在解题中,就是在处理数学问题时, 能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思 索,促使抽象思维和形象思维的和谐统一,通过对规范图形 或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从

而使问题得到解决.

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(2) 数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方 面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和 直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目 的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借

助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数
作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲 线的几何性质.

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2.数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”题“数”解 借助于建立直角坐标系 、复平面可以将图形问题代数 化.在高考中主要以解析几何作为知识载体来考查.值得强

调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运
用的技巧 ( 这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推 理).

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实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的 点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的 对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概 念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含

有明显的几何意义.如等式(x-2)2+(y-1)2=4.

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(2)通过转化构造“数”题“形”解
许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数 与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a2与面积 互化,将a2+b2+ab=a2+b2-2|a||b|cosθ(θ=60°)与余弦定理 沟通,将 a≥b≥c>0 且 b + c>a 中的 a 、 b 、 c 与三角形的三边沟 通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线 对应,将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代 数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或 立体的).另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之 一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常相伴而充分 地发挥作用.
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[方法规律总结]
1.作图、识图、用图技巧 (1) 作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的 有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象

最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行.
(2) 识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范 围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关 系.

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(3) 用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性
质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研 究. 2.讨论方程的解的范围或个数,讨论函数的零点(特别是 含参数的指数、对数、根式、三角函数式等),可构造函数,

利用函数图象交点的讨论来求解,图象交点的个数就是方程
解的个数,正确作出函数的图象是解决此类问题的关键,要 注意图形的准确全面.

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3.解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量 的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的 上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往 往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

4.函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经
常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最 高、最低点的纵坐标.

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函数与其他知识交汇命题

(2014· 吉林省九校联合体二模)已知 α 为锐角, π 且 tanα= 2-1,函数 f(x)=2xtan2α+sin(2α+ ),数列{an}的 4 首项 a1=1,an+1=f(an). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

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[ 解析]

2? 2-1? 2tanα (1)由 tan2α= = =1, 1-tan2α 1-? 2-1?2

π ∵α 是锐角,∴2α=4, π ∴sin(2a+4)=1,∴f(x)=2x+1,

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(2) ∵a1=1,an+1=f(an),∴an+1=2an+1, an+1+1 ∴an+1+1=2(an+1), =2,∴{an+1}是首项为 a1 an+1 =1=2,公比 q=2 的等比数列,∴an=2n-1. 2?2n-1? Sn = -n=2n+1-2-n. 2-1

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(2014· 甘肃三诊)已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满 3 Sn 足 f( -x)=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足 a1=-1,且 = 2 n an 2× +1,(其中 Sn 为{an}的前 n 项和),则 f(a5)+f(a6)=( n A.-3 C.3 B.-2 D. 2 )

[ 答案]

C

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[ 解析]

3 3 ∵x∈R,f(2-x)=f(x),且 f(x)为奇函数,∴f(2+

3 3 3 x)=f(-x)=-f(x),∴f(x+3)=f[2+(x+2)]=-f(2+x)=f(x), ∴函数 f(x)的周期 T=3. Sn an 又 a1=-1, n =2× n +1,∴a2=-3,a3=-7,a4=- 11,a5=-27,a6=-55,∴f(a5)=f(-27)=f(0)=0,f(a6)=f(- 55)=-f(55)=-f(1)=-f(-2+3)=-f(-2)=3,∴f(a5)+f(a6) =3.
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[方法规律总结] 函数的知识常与导数、三角函数、数列、不等式、概率 等知识结合命题,是重要的知识交汇点,解答此类问题时一

定要先判明是以函数为主还是以其他知识为主,结合条件找
准解题切入点.

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分段函数的意义理解不准确致误
? ?x-5 * 已知 x∈N ,f(x)=? ? ?f?x+2? ? ?x≥6?, ?x-5 ∵f(x)=? ? ?f?x+2? ?x<6?,

?x≥6?, 求 f(3). ?x<6?,

[ 错解]

∴f(x+2)=(x+2)-5=x-3. 故
? ?x-5 f(x)=? ? ?x-3

?x≥6?, ?x<6?,

∴f(3)=3-3=0.
专题一 第二讲

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[ 辨析]
[ 正解]

f(x+2)=(x+2)-5=x-3 是错误的. ? ?x≥6?, ?x-5 ∵f(x)=? ? ?f?x+2? ?x<6?,

∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.
[ 警示] 错解没有理解分段函数的意义, f(3)的自变量是 3,

应代入 f(x+2)中,而不是代入 x-5 中,只有将自变量化为不 小于 6 的数才能代入解析式 f(x)=x-5 中求解.对此类问题的 解决一定要先判断自变量的范围. .............

专题一 第二讲

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忽视函数定义域致误
(2014· 东北三省四市联考 ) 函数 f(x) = lg(x + 1)

+lg(x-1)的奇偶性是(
A.奇函数 C.非奇非偶函数 [错解] 选B.

)
B.偶函数 D.既奇又偶函数

∵f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1).

∴f(-x)=lg[(-x)2-1]=lg(x2-1)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
专题一 第二讲

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[辨析] 上述解法忽视了函数的定义域的限制致误.
[ 正解] 选
? ?x+1>0, C.要使函数有意义应有? ? ?x-1>0.

∴x>1.

由于函数的定义域{x|x>1},∴f(x)为非奇非偶函数.

[警示] 研究函数必须先考虑定义域.

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(2014· 天津理, 4)函数 f(x)=log1 (x2-4)的单调递增区间为
2

(

) A.(0,+∞) C.(2,+∞)
[ 答案] D

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

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[ 解析 ]

本题考查复合函数的单调性, f(x) =log1 (x2 - 4)
2

由 y=log1 U 及 U=x2-4 复合而成,y=log1 U 在定义域为减函
2 2

数,而 U=x2-4 在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增 函数,所以 f(x)=log1 (x2-4)的单调递增区间(-∞,-2),选
2

D.

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