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高中数学(人教A版)选修2-3同步课堂课件:1-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理2_图文

第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 第二课时 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的应用 课 时 学 案 课 后 巩 固 解决计数问题的求解方法 (1)直接结合运用两个原理解决 首先要明确是先“分类”后“分步”,还是先“分步”后 “分类”;其次在“分类”和“分步”的过程中,均要确定明确 的分类标准和分步程序. (2)利用一些非常规计数问题的解决方法 ①枚举法 将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来,它适用 于计数种数较少时,分类计数时将问题分类实际也是将分 类种数一一列举出来. ②间接法 若计数时分类较多或无法直接计数时,可用间接法,先求出 没有限制条件的总数,再减去不满足条件的种数. ③转换法 转换问题的角度或转换成其他已知的问题,在实际应用中, 应根据具体问题,灵活处理. 课 时 学 案 题型一 例1 组数问题 用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数? 思路分析 四位密码的首位可为 0, 四位数的首位不能为 0, 四位奇数的首位不为 0 且个位必须为奇数. 解析 (1)完成“组成无重复数字的四位密码 ”这件事,可 以分为四步:第一步,选取左边第一个位置上的数字,有 5 种选 取方法;第二步,选取左边第二个位置上的数字,有 4 种选取方 法;第三步,选取左边第三个位置上的数字,有 3 种选取方法; 第四步,选取左边第四个位置上的数字,有 2 种选取方法.由分 步乘法计数原理,可以组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2 =120 个. (2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事,可以分四步: 第一步,从 1,2,3,4 中选取一个数字作千位数字,有 4 种不同的选 取方法;第二步,从 1,2,3,4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中 选取一个数字作百位数字,有 4 种不同的选取方法;第三步,从 剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有 3 种不同的选取 方法;第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字, 有 2 种不同的选取方法.由分步乘法计数原理,可以组成不同的 四位数共有 N=4×4×3×2=96 个. (3)完成 “组成无复重数字的四位奇数 ”这件事,可以分四 步: 第一步定个位,只能从 1,3 中任取一个有 2 种方法,第二步 定首位, 把 1,2,3,4 中除去用过的一个还有 3 个可任取一个有 3 种 方法,第三步,第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排 百位有 3 种方法,再排十位有 2 种方法.由分步乘法计数原理共 有 2×3×3×2=36 个. 探究 1 对于组数问题的计数: 一般按特殊位置(末位或首位) 由谁占领分类,每类中再分步来计数;但当分类较多时,可用间 接法. 思考题 1 四位数? 由数字 0,1,2,3,4,5 能组成多少个没有重复数字的 解析 第一步:千位上有 1,2,3,4,5,共 5 种选法;第二步: 百位上可以从剩余的 5 个数中选 1 个,共 5 种选法;第三步:十 位上可从剩余的 4 个数中选 1 个,共 4 种选法;第四步:个位上 可从剩余的 3 个数中选 1 个,共 3 种选法. 利用分步计数原理,共有 5×5×4×3=300 个没有重复数字 的四位数. 题型二 分配问题 例2 (1)8 本不同的书,任选 3 本分给 3 个同学,每人 1 本, 有多少种不同的分法? (2)3 位旅客投宿到 1 个旅馆的 4 个房间(每房间最多可住 3 人) 有多少种不同的住宿方法? (3)将 4 封信投入 3 个邮筒,有多少种不同的投法? 解析 (1)分三步,每位同学取书一本,第 1、2、3 个同学 分别有 8、7、6 种取法,因而由分步乘法计数原理,不同分法共 有 N=8×7×6=336(种). (2)分三步,每位旅客都有 4 种不同的住宿方法,因而共有不 同的方法 N=4×4×4=43(种). (3)完成这件事情可以分四步,第一步,投第一封信,可以在 3 个邮筒中任选一个,因此有 3 种投法;第二步,投第二封信, 同样有 3 种投法;第三步,投第三封信,也同样有 3 种投法;第 四步,投第四封信,仍然有 3 种投法.由分步乘法计数原理,可 得出不同的投法共有 N=3×3×3×3=34(种). 或应用住店法: 此 题相当于 4 个人住三间店. 探究 2 (1)题是元素不允许重复选数的问题. (2)题给出了解决“允许元素重复选取”问题的一种方法: 住 店法. 思考题 2 有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有________种不同的参赛 方法; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有________种不同的参 赛方法. 答案 ①34 ②43 题型三 例3 涂色问题 用 n 种不同颜色为下面两块广告牌着色(如下图①②), 要求在 A、B、C、D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一 种颜色. (1)若 n=6,为①着色时共有多少种不同的方法? (2)若为②着色时共有 120 种不同的方法,求 n. 思路分析 解答本题可先从不同角度考虑,既可从不相邻 区域是否着相同颜色进行分类,也可以从相邻的区域首先着色, 不相邻区域再进行着色,分步解决. 解析 (1)方法一 分步:先涂 B 区,有 6 种涂法,再涂 C 区,有 5 种涂法,最后涂 A、D 区域,各有 4 种涂法,∴共有 6×5×4×4=480 种涂法. 方法二 以四个区域涂 n 种颜色为标准分类,可知至少用三 种颜色,最多用四种颜色. 第一类:用三种颜色着色,A、D 区域必须是同种颜色, 有 6×5×4=120 种涂法. 第二类:用四种颜色着色,四个区域的颜色均不相同, 有 6×5×4×3=360 种涂法. 所以共有 1

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