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高一必修4及必修5第一章期中测试


高一必修 4 及必修 5 第一章综合试卷(自测)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题 1 . 设 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) , ( A, ? ? 0, | ? |?

?
2

)的部分图像如图,若

x1 , x2 ? ( ?

? ?

, ), 6 3


且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? (

A.1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

2.已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 边上的中点,则 DE ? DC 的值为( A.1

??? ? ????



? ? ? ? 3.已知 a ? ?1 ? t , 2t ? 1,0 ? , b ? ? 2, t , t ? ,则 a ? b 的最小值为(
A. 5 B. 6 C. 2 D. 3

B.2

C.4

D.6



4.若平面向量 a , b 满足 a ? 2 , b ? 2 , ? a ? b ? ? a ,则 a 与 b 的夹角是( A.



5? 12

B.

? 3

C.

? 6

D.

? 4


5.若 a ? (0, ? ), 且 cos a ? sin a ? ?

1 ,则 cos 2a ? ( 3
C. ?

A.

17 9

B. ?

17 9

17 9

D.

17 3

6.已知 sin(? ? ? ) ?

( ,?), ? ? ? ? ( ,?) 且? - ? ? ,则 cos 2 ? 的值为( 2
A.1 B.-1

?

3 3 , cos( ? ? ? ) ? ? , 5 5

?

2 24 C. 25



D. ?

4 5


7.已知 sinθ +cosθ = , A. B.﹣ C. D.﹣

,则 sinθ ﹣cosθ 的值为(

8. ?ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,则角 B 的范围是(



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A. ? 0,

? ?

??
3? ?

B. ?

?? ? ? , ? ?6 2 ?

C. ?

?? ? ? , ? ?4 2?

D. ? 0,

? ?

??
? 2?
,﹣1) , =(cosA,

9.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 =(

sinA) .若 ⊥ ,且 α cosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( ) A. , B. , C. , D. ,

10.已知△ABC 中,a=4,b=4 A.30° B.30°或 150° 二、填空题 11.函数 f ( x) ? 2 sin x cos( x ?
2

,A=30°,则角 B 等于( ) C.60°或 120° D.60°

?
3
2

), x ? [0,

3? ] 的最小值为______. 4
? ?? ? ? ? AO B ? , 则O

12. 已知直线 ax+by+c=0 与圆: x +y =1 相交于 A、 B 两点, 且 13.已知 x∈R,向量 的最大值为 . ,则

=





方向上的投影

14.设向量 a ? (cos? ,1),b ? (1,3cos? ) ,且 a // b ,则 cos2? =____________. 15. ? 为锐角,若 cos ? ? ?

?

?

?

?

? ?

??

4 ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为________________. 6? 5 12 ? ?
. . ,

16.已知 sin 2? ?

24 ? ?? ? , 0 ? ? ? ,则 2 cos ? ? ? ? = 25 2 ?4 ?

17.在△ABC 中,已知 a=8,∠B=60°,∠C=75°,则 b 等于 18.已知 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边长,若 则 S△ABC= 三、解答题 19.已知函数 个最高点的坐标为 ,与其相邻的一个最低点的坐标为 .

的图象的一

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间及对称轴方程.

20. (2015?黄浦区一模)已知函数 f(x)=2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间;

sinxcosx﹣cos2x,x∈R.

(2)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,若 f(A)=2,C= 求△ABC 的面积 S△ABC 的值.

,c=2,

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21.已知 a ? (sin x,cos x), b ? (sin x, k), c ?( ? 2cos x,sin x ? k) . (1)当 x ?

?

?

?

?
4

时,求 b ? c ;

? ?

(2)若 g ( x) ? (a ? b) ? c ,求当 k 为何值时, g ( x) 的最小值为 ?

? ? ?

3 . 2

22. (2015 秋?运城期中)已知函数 f(x)=Acos(wx+Φ ) (A>0,w>0,|Φ |≤ 的部分图象如图所示:



(1)求 f(x)的表达式; (2)若 cosθ = ,θ ∈( π ,2π ) ,求 f(2θ + ) .

23 .在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c. 已知 a+b=5 , c= 7 ,且
4 sin2 A? B 7 ? cos C 2? . 2 2

(Ⅰ) 求角 C 的大小; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

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24.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积.



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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:由题意得,根据给定的图象,可知

2? ? ? ? w ?2 且 A ? 1 , 即 w s i n ? [ ?2 ?(? 6 x1 , x2 ? ( ?

1 ? ? ? T ? ? (? ) ? ? T ? ? , 则 2 3 6 2 f)(?

f ( x? )

s i? ? n x (, 2 又

?

?

)?


?

? ?

3

]? ? s ? i n ( ? ?


?

6

? )

0 即 , ) , 又
所 以

3

?所 ) 以 ? 0 f ( x) ? sin(2 x ? ,
所 以

?
3

, ) 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 )

x1 ? x2 ?

?
6



? ? ? 3 ,故选 D. f ( x1 ? x2 ) ? f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? 6 6 3 2
考点:三角函数的图象与性质. 2.B 【解析】 试题分析: 以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 则 E ?1,0? , D ? 0,2? , C ? 2,2? ,

??? ? ???? DE ? DC ? ?1, ?2? ? ? 2,0? ? 2 ? 0 ? 2 .
考点:向量数量积的坐标表示. 3.C 【解析】 试 题 分 析
2 1?






2 ( t ?







? ? a ? b ? (?1 ? t, t ?1, ?t )







? ? a? b ? (

t) ?

2 1? )

? ? 2 ? t0 时, 2 ,故选 ,当 t ?( ?t ) ? a 3 ? b 的最小值为 ?2

C. 考点:向量的运算及模的概念. 4.D 【解析】 试 题 分 析 :

? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 ? a ? b ? a,? a ? b ? a ? a ? a ? b ? 0,? a ? b ? a

?

?

?

?





? ? a ? 2 b ,?

? ? a 2 cb , o

? s? a

? ,b

2

,

? ? ? ? ? ? ? 2 ? cos a, b ? , 又 0 ? a, b ? ? , 所以 a, b ? , 故选 D. 4 2
考点:向量的数量积运算. 5.A 【解析】

a?? 试 题 分 析 : 当 a ? (0, ? ) 时 , c o a s ? 0, s i n a ? 0 , 又 c o sa ? s i n

1 ,所以有 3

答案第 1 页,总 11 页

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cosa ? sin a ? tana ? ?1

?c

3? 3? ? a ?? ? ? 2a ? 2? , 由 4 2 1 4 2 ao ?s a s ?i ? n 及c 2 a o? s s2 ai ? 1 可 n 得 co sa s i na ? - , 由 二 倍 角 公 式 可 求 得 9 9
, 即

8 3? 17 s i n2a ? 2 s i na co sa ? ? ,因为 ? 2a ? 2? ,所以 cos 2a ? 0, cos 2a ? ,所以本 9 2 9
题的正确选项为 A. 考点:确定角的象限及三角函数的正负. 【思路点睛】当已知角 a 的范围及其正余弦和(差)时,可先根据和的正负判断角所在的象 限,并能够求得该角的正切值与 ? 1 的大小关系,从而进一步缩小角的范围,在求角 2 a 的正 弦值,可以通过前面的和(差)进行简单运算后便可求得,而对于余弦值,则需要求得 a 的 正余弦差(和) ,求得 a 的正余弦值中一个,再利用二倍角公式求 2 a 的正余弦值. 6.C 【解析】

( ,?) 试题分析:由于 ? - ? ? , sin(? ? ? ) ?

3 4 ? ? ?) ? - ,同理 , 所 以 有 co s ( 2 5 5 ? 3 4 ? ??? ( ,?) ,cos( ? ? ? ) ? ? , 所以 sin (? ? ? ) ? , 因为 (? ? ? ) - (? - ? ) ? 2? , 2 5 5

?

所以有 cos2? ? cos[( 代 ? ? ? ) - (? - ? )] ? cos(? ? ? )cos(? - ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? - ? ) , 入数值即可求得

cos 2 ? ? cos[( ? ? ? ) - (? - ? )] ?
考点:三角函数的恒等变换. 7.B 【解析】

24 ,所以本题的选项为 C. 25

试题分析:由题意可得可得 1>cosθ >sinθ >0,2sinθ cosθ = ,再根据 sinθ ﹣cosθ = ﹣ 解: 由 sinθ +cosθ = , ∴2sinθ cosθ = . ∴sinθ ﹣cosθ =﹣ 故选:B. 考点:同角三角函数基本关系的运用. 8.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , 因 为 ?ABC 的 三 边 a, b, c 成 等 差 数 列 , 所 以 b ? =﹣ =﹣ , ,计算求得结果. , 可得 1>cosθ >sinθ >0, 1+2sinθ cosθ = ,

a?c ,所以 2

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a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? ? 2ac

a?c 2 ) 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 6ac ? 2ac 1 2 ? ? ? ,当且仅当 2ac 2ac 8ac 2 ? a ? c 时等号成立,又 B ? ? 0, ? ? ,根据余弦函数的单调性可知 B ? (0, ] ,故选 A. 3 a2 ? c2 ? (

考点:基本不等式;等差数列的性质;余弦定理的应用. 方法点睛:本题主要考查了解三角形问题,涉及到的知识有:余弦定理的应用、等差数列中 等差中项的应用、 基本不等式求最值以及余弦函数的图象与性质的应用, 熟练掌握这些基本 的定理和性质是解答本题的关键,属于中档试题,本题的解答中,根据三边 a, b, c 成等差数

a?c 1 ,利用余弦定理和基本不等式,得所以 cos B ? ,在利用余弦函数的单调 2 2 性,即可求解角 B 的取值范围.
列,得 b ? 9.C 【解析】 试题分析:根据向量数量积判断向量的垂直的方法,可得 cosA﹣sinA=0,分析可得 A, 2 2 再根据正弦定理可得,sinAcosB+sinBcosA=sin C,有和差公式化简可得,sinC=sin C,可得 C,再根据三角形内角和定理可得 B,进而可得答案. ?? ? ? 解:根据题意, ,可得 m ? n =0, 即 ∴A= cosA﹣sinA=0, ,
2

又由正弦定理可得,sinAcosB+sinBcosA=sin C, 2 sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin C, C= ,∴B= .

故选 C. 考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;三角函数的积化和差公式. 10.C 【解析】 试题分析:利用正弦定理即可得出. 解:∵ ,∴ = = ,

∵b>a,B∈[0°,180°) , ∴B=60°或 120°. 故选:C. 考点:正弦定理. 11.0 【解析】 试题分析:由已知 f ( x) ? 2sin x(cos x cos

?

? sin x sin ) ? sin x cos x ? 3 sin 2 x 3 3

?

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1 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2
2x ?

? 3 ? sin(2 x ? ) ? 3 2

, 因 为

x ? [0,

3? ] , 所 以 4

?
3

? [?

? 7?
3 ,

? ? 3 ] , sin(2 x ? ) 的 最 小 值 为 sin(? ) ? ? , 从 而 f ( x) 最 小 值 为 6 3 3 2

?

3 3 ? ?0. 2 2

考点:两角和与差的正弦公式,三角函数的最值. 12. 【解析】 试题分析: 直线与圆有两个交点,知道弦长、半径, 不难确定∠AOB 的大小, 即可求得 的值. 解:依题意可知角∠AOB 的一半的正弦值, 即 sin 所以:∠AOB=120° 则 × =1×1×cos120°= . . = ×

故答案为:

考点:向量在几何中的应用. 13.2 【解析】 试题分析:由 在
??? ? ??? ? AB ? CD 方向上的投影为 ??? ? ,运用向量的数量积的坐标表示和向量的模 AB

的公式,结合二次函数的最值的求法,即可得到最大值. ??? ? ??? ? AB ? CD 解: 在 方向上的投影为 ??? ? AB

答案第 4 页,总 11 页

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=

=
2



当 x=﹣2 时,1+(x+2) 取得最小值 1, 可得 在 方向上的投影的最大值为 2.

故答案为:2. 考点:平面向量数量积的运算. 14. ?

1 3
1 ,再由二倍角公式可知 3

【解析】
2 2 试 题 分 析 : 由 向 量 平 行 的 性 质 可 知 3 cos ? ? 1 ? cos ? ?

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ?
17 2 50

2 1 ?1 ? ? . 3 3

考点:平行向量的性质,三角恒等变换. 15.

【解析】 试题分析: ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

??

? 3 4 ? ? ,所以有 sin(? ? 6 ) ? 5 ,由倍角公式求得 6? 5

cos( 2? ?


?
3


) ? 2 cos 2 (? ?


?
6

) ?1 ?


7 ? ? ? 24 ,sin( 2? ? ) ? 2 cos (? ? ) sin (? ? ) ? , 25 3 6 6 25
的 正 弦 公 式 有

sin (2? ?

?
12

) ? sin (2? ?

?

? ? ? ? ? 17 ? ) ? sin( 2? ? ) cos ? cos( 2? ? ) sin ? 2. 3 4 3 4 3 4 50
?
6
也为锐角,便可求得 sin(? ?

考点:三角函数的恒等变换. 【思路点睛】 ? 为锐角,所以 ? ?

?
6

) ,有了 ? ?

?
6

的正余

弦值,便可利用二倍角公式求 2? ?

?
3

的正余弦,最后利用和差公式求 sin ? 2? ?

? ?

? ;本 12 ?

? ?

题也可先通过解方程求得 sin ? , cos? 再利用二倍角公式求得 sin 2? , cos 2? , 最后利用和差 角公式求 sin ? 2? ? 16.

? ?

? ? ? 2? , , 等特殊角. ? ,在求三角函数值时,要充分利用 6 , 4 3 3 12 ?

? ?

7 5

【解析】

1 ? cos( ? 2? ) ? 1 ? sin 2? 49 2 2 试 题 分 析 : cos ( ? ? ) ? , ? 0 ?? ? , ? ? 2 4 2 2 50

?

?

答案第 5 页,总 11 页

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??

?
4

?

?
4

?? ?

?
4



? 7 2 7 ?? ? 7 ? 2 cos( ? ? ) ? 2 ? ? .故 2 cos ? ? ? ? ? . 4 10 5 ?4 ? 5
考点:二倍角公式. 17.4 【解析】 试题分析:由 B 与 C 的度数求出 A 的度数,确定出 sinA 与 sinB 的值,再由 a 的值,利用正 弦定理即可求出 b 的值. 解:∵a=8,B=60°,C=75°,即 A=45°, ∴由正弦定理 得:b= = , =4 .

故答案为:4 考点:正弦定理. 18. .

【解析】 试题分析:利用正弦定理把已知等式化边为角,求出 B,可得三角形为等边三角形,则面积 可求. 解:△ABC 中,∵b=2acosB, ∴根据正弦定理,得 sinB=2sinAcosB, 又∵A= , cosB, cosB,可得 tanB= ; .

∴sinB=2sin 即 sinB=

∵B∈(0,π) ,∴B= ∵A= ,B= , .

∴C=π﹣(A+B)= 则 a=b=c=1, ∴S△ABC= 故答案为: .



考点:正弦定理;余弦定理. 19. (1)y=2sin(2x+ 【解析】
答案第 6 页,总 11 页

) (2)[kπ ﹣

,kπ +

],k∈Z,x=

+

,k∈Z

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试题分析: (1)由题意,根据图象相邻的最高点与最低点的坐标,我们可以得到函数的最大 值,最小值,周期,进而求出 A,ω ,φ 值后,即可得到函数解析式. (2) 由 2kπ ≤2x+ ≤2kπ + , k∈Z, 解得 f (x) 的单调增区间, 令 2x+ =kπ + ,

k∈Z,可解得 f(x)的对称轴方程. 解: (1)由题意知 A=2, 周期 T=2( ∴y=2sin(2x+φ ) , ∵2=2sin(2× ∴|φ | +φ ) ,可得:φ , ) . ≤2kπ + ,k∈Z,解得:kπ ﹣ ],k∈Z. + ,k∈Z, ≤x≤kπ + ,k∈Z, =2kπ + ,k∈Z, )=π ,ω = =2,

,可得:φ =

∴解析式为:y=2sin(2x+ (2)∵由 2kπ ≤2x+

∴f(x)的单调增区间为:[kπ ﹣ ∴令 2x+ =kπ +

,kπ +

,k∈Z,可解得:x= +

故 f(x)的对称轴方程为 x=

,k∈Z.

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 20. (1)函数 f(x)的单调递增区间为:[k 【解析】 试题分析: ( 1 )由二倍角公式化简可得 f ( x ) =2sin ( 2x ﹣ ≤2k ,k∈Z 可解得函数 f(x)的单调递增区间. )=2,可得 A 的值,由正弦定理可解得 a= ,从而可求 S△ABC ) ,令 2k ≤2x﹣ ,k ],k∈Z, (2) .

(2)由 f(A)=2sin(2A﹣ 的值. 解: (1)∵f(x)=2 ∴令 2k ≤2x﹣

sinxcosx﹣cos2x= ≤2k

sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣ ≤x≤k ],k∈Z,

) , ,k∈Z,

,k∈Z 可解得 k ,k

即有函数 f(x)的单调递增区间为:[k (2)∵f(A)=2sin(2A﹣ ∴2A﹣ =2k )=2,

,k∈Z,即有 A=k

,k∈Z,

答案第 7 页,总 11 页

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∵角 A 为△ABC 中的内角,有 0<A<π , ∴k=0 时,A= ,B=π ﹣A﹣C= , ,

故由正弦定理可得:

,解得 a=

∴S△ABC= acsinB=

sin

=



考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 21. (1) 1 ; (2) 0 . 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 先 求 b ?c 的 坐 标 , 再 求

? ?

? ? b ?c

;( 2 )

x ? g( x) ? ?3sin x cos x ? k ?sin x ? cos x ? ? k 2 , 设 t ? s i n

c o x s 则 g ? x? 化 为 ,

3 3 ? k ? 0 合题 k h(t ) ? t 2 ? kt ? k 2 ? , t ? ? ? ? 2, 2 ? ,三种情况讨论 分别求出最小值只有 2 2
意.

? 1 1 2 2? ? ? b?c = ? ? 1. , , ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? (2) a ? b ? (2sin x,cos x ? k ), g ( x) ? (a ? b) ? c ? ?4sin x cos x ? (cos x ? k )(sin x ? k )
试题解析: (1) b ? c ? (sin x ? 2 cos x,sin x) ? ? ?

?

?

? ?3sin x cos x ? k (sin x ? cos x) ? k 2
令 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) , 4

?

2 2 2 则 t ? ? ? 2, 2 ? ,且 t ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? 1 ? 2sin x cos x ,

?

?

1? t2 所以 sin x cos x ? . 2
所以 g ( x) 可化为 h(t ) ? (?3) ? 对称轴 t ? ?

1? t2 3 3 ? ? kt ? t 2 ? t 2 ? kt ? k 2 ? , t ? ? ?? 2, 2 ? , 2 2 2

k ?? . 3 3 2? 2

k

①当 ?

k ? ? 2 ,即 k ? 3 2 时, 3 3 3 3 g ( x) min ? h(? 2) ? ? (? 2) 2 ? k (? 2) ? k 2 ? ? ? k 2 ? 2k ? , 2 2 2 3 3 ? 2 ? 14 ? ? ,得 k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ,所以 k ? .因为 k ? 3 2 ,所 2 2 2
答案第 8 页,总 11 页

2 由 ? k ? 2k ?

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以此时无解.

k ? 2 ,即 ?3 2 ? k ? 3 2 时 3 k 3 k k 3 7 3 g ( x) min ? h(? ) ? (? ) 2 ? k (? ) ? k 2 ? ? ? k 2 ? . 3 2 3 3 2 6 2 7 2 3 3 由 ? k ? ? ? ,得 k ? 0 ? ? ?3 2,3 2 ? . ? ? 6 2 2 k ③当 ? ? 2 ,即 k ? ?3 2 时, 3 3 3 3 g ( x) min ? h( 2) ? )( 2) 2 ? 2k ? k 2 ? ? ?k 2 ? 2k ? . 2 2 2 3 3 2 2 由 ? k ? 2k ? ? ? ,得 k ? 2k ? 3 ? 0 , 2 2
②当 ? 2 ? ? 所以 k ?

2 ? 14 . 2

因为 k ? ?3 2 ,所以此时无解. 综上所述,当 k ? 0 时, g ( x) 的最小值为 ?

3 . 2

考点:1、向量的模及向量的数量积公式;2、换元法求最值及二次函数在闭区间上的最值. 【方法点睛】 本题主要考查向量的模及向量的数量积公式、 换元法求最值及二次函数在闭区 间上的最值,属于难题.求二次函数 y ? f ? x ? ? ax ? bx ? c (a ? 0) 在区间 ?m, n? 上的最
2

小值的讨论方法: (1)当 ?

b b ? n 时, ? m 时 , f ? x?m i n ? f? m ; (2)当 ? ? 2a 2a b b f ? x?m i n ? f? n ? ; (3) m ? ? 2a ? n 时, f ? x ?min ? f (? 2a ) .本题讨论 g ( x) 的最小值
) . (2)

时就是按这种思路进行的. 22. (1)f(x)=2cos(x﹣

【解析】 试题分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω ,由余弦函数的图象的对称 中心坐标求出 φ 的值,可得函数的解析式. (2) 利用同角的三角函数基本关系式可求 sinθ , 利用倍角公式可求 sin2θ , cos2θ 的值, 根据两角和的余弦函数公式即可求值. 解: (1)由函数 f(x)=Acos(ω x+Φ ) ( A>0,ω >0,|Φ |≤ T= =2( ﹣ )=2π .求得 ω =1. , )的部分图象,可得 A=2,

再根据 1× ∴Φ =﹣

+Φ =2kπ ,k∈z,求得 Φ =2kπ ﹣ ,f(x)=2cos(x﹣ ) .

答案第 9 页,总 11 页

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(2)∵cosθ = ,θ ∈( π ,2π ) ,可得:sinθ =﹣ ∴sin2θ =2sinθ cosθ =﹣ ∴f (2θ + = . ) =2cos (2θ + ,cos2θ =2cos θ ﹣1=﹣ ﹣ ) =2cos (2θ + ) =
2

=﹣ , ,

(cos2θ ﹣sin2θ ) =

(﹣

+



考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 23.(Ⅰ) 60? ; (Ⅱ) 【解析】 试题分析:(I)根据三角形的内角和定理 A ? B ? C ? ? ,把已知条件 4sin 2
A? B 7 ? cos 2C ? 2 2

3 3 . 2

中的角化简得到关于角 C 余弦的方程,即可求得角 C 的值; (II)利用余弦定理表示出 c2 并 配方得到 ab 的值,即可求得其面积. 试题解析: (Ⅰ)∵A+B+C=180°由 4 sin 2 ∴4?

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2

1 ? cos C 7 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
2

整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0 解得: cos C ?

1 2
∴C=60°
2

∵ 0? ? C ? 180 ?

(Ⅱ)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab ∴ 7 ? (a ? b) ? 3ab 由条件 a+b=5 得 7=25-3ab , 故 ab=6 ∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 3 ab sin C ? 3. 2 2

考点:二倍角公式及余弦定理在解三角形中的应用. 24. (1) (2)
3 3 4

【解析】 试题分析: (1)根据正弦定理表示出 a,b 及 c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数 公式及诱导公式变形后,根据 sinA 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三 角函数值即可求出角 B 的度数;
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(2)由(1)中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,根据余弦定理表示出 b2,利用完 全平方公式变形后,将 b,a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值,然后利用三角形的面积公式 表示出△ABC 的面积,把 ac 与 sinB 的值代入即可求出值. 解: (1)由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π , ∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0, ∵sinA≠0,∴ ∵B 为三角形的内角,∴ (II)将 b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, ∴ 考点:解三角形. .
2 2

得:



, ; 代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得: ,
2 2 2

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