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人教A版数学必修一2.2.1对数与对数运算(3)课件_图文

高中数学课件
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高一数学多媒体课堂
对数的运算

教学目的: (1)理解对数的概念,能够进行对数式与指 数式互化; (2)掌握对数的运算性质; (3)掌握好积、商、幂、方根的对数运算法 则,能根据公式法则进行数、式、方程的正 确运算及变形,进一步培养学生合理的运算 能力; 教学重点:对数的定义、对数的运算性质; 教学难点:对数的概念;

要求学生掌握对数的换底公式,并能解 决有关的化简、求值、证明问题。

探索:把左右两列中一定相等的用线连起来

loga (MN )

log a

M N

log a M n

log(M ? N )

log a M ? log a N
loga M ? loga N
loga M loga N n ? log a M

log(M ? N )

loga M ? loga N (loga M )n

对数的换底公式

loga

b

?

logc logc

b a

(a,c ?(0,1) ? (1,??),b ? 0)

证明:设 loga b ? x, b ? ax ,

由对数的定义可以得:

? logc b ? logc ax , ? logc b ? x logc a,

? x ? logc b logc a

即证得

loga

b

?

logc logc

b a

这个公式叫做换底公式

其他重要公式1:



loga

b

?

lg b lg a



ln b loga b ? ln a

其他重要公式2:



logam

bn

?

n m

loga

b

证明:设 logam N n ? p,

由对数的定义可以得:N n ? (am ) p ,

∴ N n ? amp

mp
? N ?an

?

loga

N

?

m n

p

即证得

log a m

Nn

?

n m

loga

N

② logan bn ? loga b

其他重要公式3:



1 loga b ? logb a a,b ? (0,1) ? (1,??)

证明:由换底公式

loga

b

?

logc logc

b a

取以?b为lloog底gx yb的?bl对og?y数z1得,? l:ogx?ylo? llgloooagggxbxayz?b??lllooogggloxbbgz1bab a

还可以变形,得 ② logx y ? logy z ? logx z

问题:已知2x=3,如何求x的值? 若已知log3x=0.5,如何求x的值?

公式的运用: 利用换底公式统一对数底数,即“化异为同”是 解决有关对数问题的基本思想方法;
log8 9 ? log27 32

lg 9
解法:原式=lg 8

?

lg 32 lg 27

?

2 lg 3 3lg 2

?

5lg 2 3lg 3

?

10 9

解法:原式= log2 9 ? log2 32 ? 2 log2 3 ? 5 ? 10

log2 8 log2 27

3 3log2 3 9

例题2:计算 log5 2 ? log49 81 的值

log 25

1 3

? log7

3

4

1.分析:先利用对数运算性质法则和换底

公式进行化简,1 ?然lg后2 再? 4求lg值3 ;

2.解:原式=

2 lg 5 2 lg 7 ? lg 3 ? 2 lg 2

? ?3

2 lg 5 3lg 7

已知 log18 9 ? a,18b ? 5,

求 log36 45 的值(用a,b表示)

分析:已知对数和幂的底数都是18,所以先将 需求值的对数化为与已知对数同底后再求解; 解:log18 9 ? a, log18 5 ? b
,一定要求 log18 2 ? 1 ? a

log 36

45

?

log18 log18

45 36

?

log18 9 ? log18 1 ? log18 2

5

?

a 2

?b ?a

例三、设 求证:
证:∵

3x ? 4y ? 6z ? t ? 1
1?1? 1 z x 2y
3x ? 4y ? 6z ? t ? 1



x ? lg t ,y ? lg t ,z ? lg t

lg 3

lg 4

lg 6



1 ? 1 ? lg 6 ? lg 3 ? lg 2 ? lg 4 ? 1 z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y

2?比较 3x,4 y,6z 的大小。

3x ? 4 y ? lg k(

3

?

4

)

?

lg k

?

lg 64 ?

lg 81

?

lg k lg 64 81

?

0

lg 3 lg 4

lg 3 lg 4 lg 3 lg 4

∴ 3x ? 4y

4 y ? 6z ? lg k( 4

?

6

)

?

lg k

?

lg 36

?

lg 64

?

lg k

? lg

9 16

?0

lg 4 lg 6

lg 2 lg 6

lg 2 lg 6

∴ 4 y ? 6z



3x ? 4y ? 6z

例四、若log83=p,log35=q,求lg5 解:∵log83=p∴

log2 3 ? 3p ? lg 3 ? 3p lg 2 ? 3p(1 ? lg 5)

又∵

log 3

5

?

lg 5 lg 3

?

q



lg 5 ? q lg 3 ? 3 pq(1 ? lg 5)



(1 ? 3 pq) lg 5 ? 3 pq

3 pq



lg 5 ?

1 ? 3 pq

例六、若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2
求m 解:由题意:

lg 4 ? lg8 ? lg m ? 1 lg 3 lg 4 lg8 2



lg m ? 1 lg 3 2



m? 3

例1、解方程:(1)22x-1=8x

解:原方程化为22x-1=23x

? 2x-1=3x

? x=-1

∴方程的解为x=-1

(2)lgx-lg(x-3)=1 解:原方程化为lgx=lg10+lg(x-3)

? lgx=lg10(x-3)

? x=10(x-3)

? x ? 10 3

经检验,方程的解为 x ? 10 3

例2、解方程:(1)8×2x= 3 x2 ?9 解:原方程化为2x+3= 3 x2 ?9
? (x+3)lg2=(x2-9)lg3 ? (x+3)(xlg3-3lg3-lg2)=0
? x ? ?3或x ? 3 lg 3 ? lg 2 lg 3
故方程的解为 x ? ?3或x ? 3 lg 3 ? lg 2
lg 3

(2)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2 解:原方程化为5x2+3x-17=(2x-1)2
? x2+7x-18=0 ? x=-9或x=2
当x=-9时,2x-1<0 与对数定义矛盾,故舍去 经检验,方程的解为x=2

例3、解方程:

(1) (2 ? 3 ) x ? (2 ? 3 ) x ? 4

解:原方程化为 (2 ? 3 )x ?

1

?4

(2 ? 3)x

设t ? (2 ? 3 )x

则有t2–4t+1=0

?t ? 2? 3

即(2 ? 3 ) x ? 2 ? 3或(2 ? 3 ) x ? 2 ? 3
∴x=1或x=-1 故方程的解为x=1或x=-1.

(2)log25x-2logx25=1

解:原方程化为log25x-=1

2 log 25

x

设t=log25x

则有t2-t-2=0

∴t=-1或t=2

即log25x=-1或log25x=2 ∴x=或x=1 625
25
经检验,方程的解为x=或x=6125
25

例4、解方程:log3(3x-1)×log3(3x-1-)=2

1 3

解:原方程化为

log3 (3 x

? 1) ?

1 log3 ( 3

?

3x

?

1) 3

?

2

?

log3 (3 x

?

1) ?

1 log3[ 3

(3x

? 1)]

?

2

?

log3 (3 x

?

1) ?[log3

1 3

?

log3 (3 x

? 1)]

?

2

令t ? log3 (3x ? 1) 则t(t-1)=2

? t2 ?t ?2 ? 0

? t ? ?1或t ? 2

即log3 (3 x ? 1) ? ?1或 log3 (3 x ? 1) ? 2

? 3x ? 1 ? 1 或3x ? 1 ? 9 3

? 3 x ? 4 或3 x ? 10 3

?

x

?

log 3

4 3

或x

?

log3 10

故方程的解为

x

?

log 3

4 3

或x

?

log 3

10

a、b>0且a、b≠1,a≠b,c为常量

解法

类型

等价式

化同底法

af(x)=ag(x)

logaf(x)=logag(x)

指对互表 法
换元法

af(x)=bg(x) logf(x)g(x)=c pa2x+qax+r=0 plg2x+qlgx+r=0

f(x)=g(x) f(x)lga=g(x)lgb
g(x)=[f(x)]c pt2+qt+r=0

解对数方程应注意两个方面问题: (1)验根; (2)变形时的未知数的范围认可扩大不要缩小.

学生练习:解方程

1、lgx+lg(x-3)=1

4 ? 5 x 2 ? 3 x ?1

2x2 ?6x?2

答案:1、x=5 ? 3 ? 13
2、x= 2

2、( 2 ? 3 )x ? ( 2 ? 3 )x ? 4 3、x=±2

?9

10

3、

4、x=999或x=

4、llogg212(x(9+x1?)1-? 52)lg?(xlo+g112)(=33x?1 ?52、) ?x2=2

例4. 已知 lg(x ? y) ? lg(2x ? 3y) ? lg 3 ? lg 4 ? lg x ? lg y
求 x 的值. y

1、计算:(1)log535-2log5+log5773-log51.8

解:原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5

9 5

=1+log57-2log57+2log53+log57-(log532-1)

=1+2log53-2log53+1

=2

(2)lg25+lg2lg5+lg2

解:原式=lg2+lg120lg+lg2 10

2

2

=(1-lg2)2+lg2(1-lg2)+lg2

=1-2lg2+lg22+lg2-lg22+lg2

=1

2、已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值。log x 2y

?

x?0

?

x?0

解:由题

?? ?

?

y?0 x?2y ? 0

?

?? ?

?

y?0 x?2y ? 0

??lg( xy) ? lg( x ? 2 y)2 ?? xy ? x 2 ? 4 xy ? 4 y 2

?

x?0

?

?? ?

?

y?0 x?2y ? 0

?? x 2 ? 5 xy ? 4 y 2 ? 0

?

x?0

?

?? ?

?

y?0 x?2y ? 0

?? x ? y或x ? 4 y

? x ?4 y

故 log

2

x

y

?

log 1
22

4

?

2 log2

22

=4

积、商、幂的对数运算法则: 如果a>0,a?1,M>0,N>0有:

loga (MN) ? logaM ? logaN (1)

log a

M N

?

log a M

? logaN

(2)

logaMn ? nlogaM(n ? R) (3)

重要公式:

loga

b

?

logc logc

b a

(a,c ?(0,1) ? (1,??),b ? 0)

logam

bn

?

n m

loga

b

a,b ?(0,1) ? (1,??)

loga b ? logb a ? 1