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宁夏银川一中2014届高三上学期第六次月考数学(理)试题


宁夏银川一中2014届高三上学期第六次月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x y ? lg(2 x ? x ) , B ? y y ? 2 , x ? 0 , R是实数集,则 (CR B ) ? A ?
2 x

?

?

?

?

A. ? 0,1?

B. 0,1?

?

C. ??, 0?

?

D.以上都不对

2.已知定义在复数集 C 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? A. ?2
2

?1 ? x, x ? R ,则 f (1 ? i ) 等于 ?(1 ? i ) x, x ? R
D. 2 ? i
2

B.0

C.2
2

3.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为 开始 B. 1 C. 2
3

A.

1 2

D.

4

4.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为 A.

k ?1 S ?0


?
2

B.

?
4

C.

?
8

D. ? )

5. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

k ≤ 50?

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸 (单位:cm) ,可得这个几何体的体积是

k ? k ?1

正视图

侧视图

俯视图

A. cm 3

1 3

B. cm 3

2 3

C. cm 3

4 3

D. cm 3

8 3

7.下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列 ?an ? 是递增数列

p2 : 数列 ?nan ? 是递增数列
·1 ·

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列 ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2 B. p3 , p4

p4 : 数列 ?an ? 3d ? 是递增数列

C. p2 , p3

D. p1 , p4

8.已知正四棱锥的各棱棱长都为 3 2 ,则正四棱锥的外接球的表面积为 A. 36? B. 12?
2

C. 72?
2

D. 108?

9.直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取 值范围是 A. ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? 4

? ?

3? ?

B. ? ? , 0 ? C. ? ? , ? ? 4 ? ? 3 3 ?

? 3

?

?

3

3?

D. ? ? , 0 ? ? 3 ?

? 2

?

10.设 a n ? A.25

1 n? , S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,在 S1 , S 2 , ? , S100 中,正数的个数是 sin n 25
B.50 C.75 D.100

11.若函数 f ( x) ?

d (a, b, c, d ? R) ax ? bx ? c
2

的图象如图所示,则 a : b : c : d ? A. B. C. D. 1:6:5: (-8) 1: (-6) :5: (-8) 1: (-6) :5: 8 1: 6: 5: 8

12.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且

f ( x) ? a x g ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) ,
n 的最小值为
A. 6 B. 7

f (1) f (?1) 5 f ( n) ? ? .若数列 { } 的前 n 项和大于 62,则 g (1) g (?1) 2 g ( n)

C. 8

D. 9

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知函数 f ( x) ? x ? e , g ( x) ? x ? ln x, h( x ) ? ?1 ? ln x 的零点依次为 a, b, c. 则 a, b, c 从大到小
x

的顺序为_____________________
·2 ·

2 2 14. 已知椭圆 x ? y ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列,离心率为 e1 ;双曲线 a12 b12

x2 y 2 ? ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列,离心率为 e2 .则 e1e2 a 22 b22

? _____.

15.从正方体的八个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的 4 个 顶点,这些几何体(或平面图形)是(写出所有正确的结论的编号)________ ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的 四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 16. 在直角坐标平面 xoy 中,过定点(0,1)的直线 L 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,若动点 ??? ? ??? ? ??? ? P(x,y)满足 OP ? OA ? OB ,则点 P 的轨迹方程为_____________________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 { (2)求数列 {

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3,...... . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

n } 的前 n 项和 S n . an
?? ?

18.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c), n ? (cos B, cos C ), 且m ∥n (1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x) ? cos(? x ? 上的最大值和最小值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角 形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点。 (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求二面角 A1-BD-A 的大小; (3)求直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点,从每条曲线上至少 取两个点,将其坐标记录于下表中: x 3 —2 4

B ? ?? ) ? sin x, (? ? 0), 且 f ( x) 的最小正周期为 ? , 求 f ( x) 在区间 ?0, ? 2 ? 2?

2

3

·3 ·

y

?2 3

0

—4

2 2

-

1 2

???? ? ???? (2)设直线 l 与椭圆 C1 交于不同两点 M 、N , 且 OM ? ON ? 0 ,请问是否存在这样的直线 l 过抛
物线 C2 的焦点 F ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? b sin x ? 2(b ? R ), F ( x ) ? f ( x ) ? 2 , 且 对 于 任 意 实 数 x , 恒 有

(1)求 C1、C2 的标准方程;

F ( x ? 5) ? F (5 ? x) 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间 (0,1) 上单调,求实数 a 的取值范围; 1 (3)函数 h( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? f ( x) ? k 有几个零点? 2
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,D、E 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点,直线 DE 交 △ABC 的外接圆于 F、G 两点,若 CF∥AB. 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GDB. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,将曲线 C1 上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, ? y ? sin ?

纵坐标伸长为原来的 3 倍,得到曲线 C2 .以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 6 . (1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程; (2) P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求证

| 2a ? b | ? | 2a ? b | ? 4; |a|

(2)若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

·4 ·

·5 ·

银川一中 2014 届高三第六次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 B

2 C
14.1

3 C

4 A

5 C

6 C

7 D

8 A

9 B
[来源:]

10 D

11 B

12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. c ? b ? a 三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? 15. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 16.①③④⑤

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

?

2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等 3 2 2 an ?1 2 an a1 2 an
6分

比数列.…………………… (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an ?1 2 2 2 an 2 an 2
①则 Tn ?

1 2 n ?1 n ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 2 2 2 1? 2 1 n n(n ? 1) . Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? ? 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n 数列 { } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ? 12 分 2 2 2 2 ……… an ?
设 Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?…? n , 2 2 2 2

1 2

18、解: (1)由 m // n , 得 b cos C ? (2a ? c) cos B,

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 正弦定得,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,
? sin( B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B B ? C ? ? ? A, ? sin A ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ? (2) f ( x) ? cos(?x ?

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . …………..6 分 2 3
) ? sin ?x ? 3 2 ? cos ?x ? sin ?x ? 3 sin(?x ? ) 2 3 6
·6 ·

?
6

由已知

2?

?
?
2

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ]时,2 x ?

?
6

), ………….….. 9 分

当 x ? [0,

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
, 即x ?

因此,当 2 x ?

?
6

?

?
2

?
6

时, f ( x)取得最大值 3;

当 2x ?

?
6

?

3 7? ? ………………..12 分 , 即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 2 6 2

19、解法一: (1)设 AB1 与 A 1 B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,

? D 为 AC 中点,? PD// B1C 。 ? B1C //平面 A 1 B D

又? PD ? 平面 A 1 B D,
A1

C1

……………………(4分)

B1

(2)? 正三棱住 ABC ? A 1 B1C1 , ? AA1 ? 底面 ABC。 又? BD ? AC ? A 1 D ? BD

M

P C D

? ?A 1 DA 就是二面角 A1 ? BD ? A 的平面角。

A

B

1 AA 1 = 3 ,AD= 2 AC=1 ?

A1A ? 3 ? A DA 1 ? tan = AD

? ?A 1 DA = 3 , 即二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 3 …………………(8分)
(3)由(2)作 AM ? A 1 D ,M 为垂足。 ? BD ? AC,平面 A 1 ACC1 ? 平面 ABC,平面

?

?

A 1 ACC1 ? 平面 ABC=AC ? BD ? 平面 A 1 ACC1 ,
? AM ? 平面 A 1 ACC1 , ? BD ? AM ? A 1 D ? BD = D ? AM ? 平面 A1 DB ,连接 MP,则 ?APM 就是直线 A 1 B 与平面 A 1 B D 所成的角。

3 ? AM ? 1 ? sin60 ? ? AA AA ? A DA 2 , 1 = 3 ,AD=1,? 在 Rt ? 1 D 中, 1 ? =3, ?

·7 ·

AP ?

1 7 AB1 ? 2 2 。

3 AM 21 sin?APM ? ? 2 ? . AP 7 7 2 ?
21 ? 直线 AB1 与平面 A 1 B D 所成的角的正弦值为 7 …………………(12分)
解法二: (1)同解法一 (2)如图建立空间直角坐标系,

则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,A 1(1,0, 3 ) ,B(0, 3 ,0) ,B1 (0, 3 , 3 )? A1 B = (-1, 3 ,- 3 ) , A1 D =(-1,0,- 3 ) 设平面 A1 BD 的法向量为 n=(x,y,z)
A1 z C1

则 n ? A 1 B ? ? x ? 3y ? 3z ? 0 n ? A 1 D ? ? x ? 3z ? 0
C D

B1

则有

?x ? ? 3z ? ? y?0

,得 n=( ? 3 ,0,1)

A x

B

y

由题意,知 AA1 =(0,0, 3 )是平面 ABD 的一个法向量。

cos? ?
设 n 与 AA1 所成角为 ? , 则

n ? AA1 n ? AA1

?

1 2



?

??

?
3

? ? 二面角 A1 ? BD ? A 的大小是 3 ………………. 8 分
(3)由已知,得 AB1 =(-1, 3 , 3 ) ,n=( ? 3 ,0,1)

cos? ?


AB1 ? n AB1 n

?

21 7

21 AB A B 1 与平面 1 D 所成的角的正弦值为 7 …12 分 ? 直线

·8 ·

20、解: (1)设抛物线 C 2 : y ? 2 px( p ? 0) ,则有
2

y2 ? 2 p ( x ? 0) ,据此验证 5 个点知只有(3, x

2 、 (4,-4)在统一抛物线上,易求 C 2 : y ? 4 x …………..2 分 ?2 3)

设 C2 :

x2 y2 2 ( 2, )代入得 ? 2 ? (a ? b ? 0) ,把点(-2,0) 2 2 a b

?4 ?1 2 ? ? x2 ?a2 ?a ? 4 解得 ∴ 方程为 5分 C ? y2 ? 1 ? ? 2 2 2 1 4 ? b ? 1 …………… ? ? ? ?1 ? ? a 2 2b 2
(2)假设存在这样的直线 l 过抛物线焦点 F (1,0),设其方程为 x ? 1 ? my, 设

M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,由 OM ? ON ? 0 。得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0(*) …………..7 分
? x ? 1 ? my ? 2 2 由 ? x2 消去 x ,得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0, △ ? 16m 2 ? 48 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
∴ y1 ? y 2 ?

? 2m ?3 , y1 y 2 ? 2 2 m ?4 m ?4



x1 x 2 ? (1 ? my1 )(1 ? my 2 ) ? 1 ? m( y1 ? y 2 ) ? m 2 y1 y 2 ;
? 2m ?3 4 ? 4m 2 2 ? 1? m ? 2 ?m ? 2 ? ②……………….9 分 m ?4 m ? 4 m2 ? 4
将①②代入(*)式,

4 ? 4m 2 ?3 1 ? 2 ? 0 解得 m ? ? …………. 11 分 2 2 m ?4 m ?4

? 存在直线 l 过抛物线焦点 F. l 的方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 ……………….12 分
21、解: (1)由题设得 F ( x) ? x ? b sin x , ? F ( x ? 5) ? F (5 ? x) ,则? F (? x) ? F ( x) ,
2

所以 x 2 ? b sin x ? x 2 ? b sin x

所以 b sin x ? 0 对于任意实数 x 恒成立

? b ? 0 .故 f ( x) ? x 2 ? 2 …………………………………………………………..3 分
(2)由 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x ? x ? 2 x ? a ln x ,求导数得
2

g ' ( x) ? 2 x ? 2 ?

a ( x ? 0) , g ( x) 在 (0,1) 上恒单调,只需 g ' ( x) ? 0 或 g ' ( x) ? 0 在 (0,1) 上恒成立, x
2 2

即 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 或 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 所以 a ? ?(2 x ? 2 x) 或 a ? ?(2 x ? 2 x) 在 (0,1) 上
·9 ·

恒成立…………………………………………………6 分 记 u ( x) ? ?(2 x ? 2 x),0 ? x ? 1 ,可知: ? 4 ? u ( x) ? 0 ,? a ? 0 或 a ? ?4 ……….8 分
2

(3)令 y ? ln(1 ? x 2 ) ? 列表如下.

1 2x ( x ? 1) x( x ? 1) ' . 令 y ? 0 ,则 x ? ?1,0,1 , f ( x) ,则 y ' ? ?x?? 2 2 1? x 1 ? x2

x
y'

(??,?1)
+

?1
0 极大值

(?1,0)


0 0

(0,1)
+

1 0 极大值

(1,??)


y

递增

ln 2 ?

1 2

递减

极小值 1

递增

ln 2 ?

1 2

递减

? k ? ln 2 ?

1 1 时 , 无 零 点 ; k ? 1 或 k ? ln 2 ? 时 , 有 两 个 零 点 ; k ? 1 时 有 三 个 零 点 ; 2 2 1 1 ? k ? ln 2 ? 时,有四个零点…………………………………………………………12 分 2

22. 【答案】 (1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD / / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD
(2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD

BC / / GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? ?GBD ? x2 y 2 ? x ? 2 cos ? ? ? 1, l : x ? 2 y ? 6 ? 0 23. 【答案】 (Ⅰ)C2: ? ( ? 为参数) ,即 C2: 4 3 y ? 3 sin ? ? ?
(Ⅱ) P (2 cos ? , 3 sin ? ) ,由点到直线的距离公式得

·10·

d?

2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 6 5

6 ? 4( ?

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2 5

6 ? 4sin(? ? ) 5 ? 6 ? ? (6 ? 4sin(? ? ) 5 6 5 ? 2 5 10 5 ?d ? ?2 5 5 5

?

24. 证明:(1)

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 2a ? b 2a ? b ? ? |a| a a ? 2? b b b b ? 2 ? ? (2 ? ) ? (2 ? ) ? 4 a a a a


(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f (x)

|a ?b|?|a ?b| ? f ( x) |a|
则有 2≥f(x)

又因为

| a ?b | ? | a ?b | | a ?b? a ?b | ? ?2 |a| |a|
1 5 ?x? 2 2

解不等式 2≥|x-1|+|x-2|得

·11·


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