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人教a版选修1-1课时教案:3.3.2函数的极值与导数


教学目标: 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程: 创设情景 观察图 3.3-8, 我们发现,t ? a 时, 高台跳水运动员距水面高度最大. 那么, 函数 h(t ) 在 此点的导数是多少呢?此点附近的图像有什么特点?相应地, 导数的符号有什么变化规 律? 放大 t ? a 附近函数 h(t ) 的图像, 如图 3.3-9. 可以看出 h?( a ) ; 在t ? a, 当 t ? a 时, 函数 h(t ) 单调递增, h?(t ) ? 0 ;当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调递减, h?(t ) ? 0 ;这就说明, 在 t ? a 附近,函数值先增( t ? a , h?(t ) ? 0 )后减( t ? a , h?(t ) ? 0 ).这样,当 t 在

a 的附近从小到大经过 a 时, h?(t ) 先正后负,且 h?(t ) 连续变化,于是有 h?(a) ? 0 .
3.3-8

3.3-9 对于一般的函数 y ? f ? x ? ,是否也有这样的性质呢? 附:对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是 就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、 极小值的方法.判断 极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授 一、 导入新课
王新敞
奎屯 新疆

观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点 P 位置的特点

函数图像在 P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降( ” 函数由单调递增变为单调 递减),在 P 点附近,P 点的位置最高,函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运动员的运动过程,体会函数极值的定义. 三、数学建构 y

极值点的定义:

观察右图可以看出,函数在 x=0 的函数值比它附近所有 各点的函数值都大, 我们说 f (0)是函数的一个极大值; 函数在 x=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说 f (2)是函数的 一个极小值。 一般地,设函数
y ? f ( x) 在 x ? x0

2 0 x

及其附近有定义, 如果

f ( x 0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都大,我们说

f ( x 0 )是函数 y ?

f ( x ) 的一个

极大值;如果 f ( x0 ) 的值比 x 0 附近所有各点的函数值都小,我们说 f ( x 0 )是函数
y ? f ( x ) 的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。
请注意以下几点:(让同学讨论) (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数 值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可 以不止一个。 (ⅲ) 极大值与极小值之间无确定的大小关系。 即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) 。

y

f ( x4 )

f ( x1 )

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

极值点与导数的关系:
复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系 ,引导学生寻找函数极值 点与导数之间的关系. 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从 而有
f ?( x ) ? 0

。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由 f ?( x) =0 求得即可?
3

探索:x=0 是否是函数 f ( x) = x 的极值点?(展示此函数的图形) 在 x ? 0 处,曲线的切线是水平的,即 f ?( x) =0,但这点的函数值既不比它附近的点的 函数值大,也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果 x 0 使 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x 0 在 什么情况下是的极值点呢? 观察下左图所示, 若 x 0 是 f ( x ) 的极大值点, 则 x 0 两侧附近点的函数值必须小于 f ( x 0 ) 。 ? f ( x ) ? 0 , x 0 的右侧附近 f ( x ) 只能是减函数,即 x f ( x ) 因此, 0 的左侧附近 只能是增函数,即
f ?( x ) ? 0

,同理,如下右图所示,若 x0 是极小值点,则在 x0 的左侧附近 f ( x) 只能是减函

从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法 ,同时巩固导数与函数 单调性之间的关系): 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点,

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正 右负”,则 x0 是 f ( x) 的极大值点,
如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” , 则 x0 是 f ( x) 的极小值点,f ( x0 ) f ( x0 ) 是极大值;

是极小值。 结论: x0 左右侧导数异号

x0 是函数 f(x)的极值点

f ?( x0 ) =0

反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号;点是极值点的必要不充分 条件是在这点的导数为 0. 学生活动 函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数 y/由负变正,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 四、数学应用 例 1.(课本例 4)求 f ? x ? ? 解: 因为 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值 3

王新敞
奎屯

新疆

y

1 3 x ? 4 x ? 4 ,所以 3

f ' ? x ? ? x2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 。 f ' ? x ? ? 0, x ? 2, x ? ?2
下面分两种情况讨论: (1)当 f (2)当 f
'

o

x

? x ? >0,即 x ? 2 ,或 x ? ?2 时; ? x ? <0,即 ?2 ? x ? 2 时.
'

'

当 x 变化时, f

? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:
-2 0 极大值 (-2,2) - 2 0 极小值 ?

x
y?
y

? ??,2?
+ ↗

? 2, ???
+

28 3



4 3



因此,当 x ? ?2 时, f ( x ) 有极大值,并且极大值为 f ( ?2) ?

28 ; 3

当 x ? 2 时, f ( x ) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? 函数 f ? x ? ?

4 。 3

1 3 x ? 4 x ? 4 的图像如图所示。 3
y 1 f(x)= x3-4x+4 3

2 -2
O

x

课堂训练:求下列函数的极值

( 1 )y ?

1 ?x x

( 2 )y ? 8 x 3-12x 2 ? 6 x ? 1

强调:要想知道 x0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0 左右侧导数的符号 例题 2(案例分析) 函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2


在 x=1 时有极值10,则a,b的值为(C )

A、

a ? 3, b ? ?3
a ? ?4, b ? 1

a ? ?4, b ? 11

a ? ?4, b ? 11

B、 C、

或 以上都不对

a ? ?4, b ? 11 D、

? f (1) ? 10 / 略解:由 题设条件得: ? ? f (1) ? 0

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? 解之得 ? 3 ? 2a ? b ? 0

? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

通过验证,都合要求,故应选择 A 上述解法错误,正确答案选 C,注意 代入检验 注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

练习:

1、(2006 年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内 的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A )y y ? f ?( x) A.1 个 B.2 个 C.3 个 b D. 4 个 O a x 注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别
[来源:Z,xx,k.Com]

庖丁解牛篇(感受高考)

2、 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值

5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图
所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

答案 (Ⅰ) x0 =1; (Ⅱ) a ? 2, b ? ?9, c ? 12

例 3 求 y=(x2-1)3+1 的极值 解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2 令 y′=0 解得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

x
y?

? ??, ?1?
[来

-1

(-1,0)

0

( 0,1)

1

?1, ???
+



0



0

+

0

源:Zxxk.Com]

y

[来



无极值



极小值 0



无极值



源:Zxxk.Com]

五:回顾与小结: 1、极值的判定方法;

2、极值的求法


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