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基本不等式求最值


§3.4基本不等式
基 本 不 等 式 求 最 值

一、知识梳理 一.1. 知识梳理 重要的不等式
重要不 等式
a?b ? ab 2
a 2 ? b 2 ? 2ab

应用 条件
a, b ? R
?

“=”何时 取得
a?b a?b

作用

变形
?a?b? ab ? ? ? ? 2 ?
2

和?积
平方和 ? 积

a, b ? R

a2 ? b2 ab ? 2

复习
1.运用不等式求一些最值问题. a+b 2 a2+b2 用 a+b≥2 ab求最小值;用 ab≤( 2 ) ≤ 2 求最大值.

2、已知

x, y 都是正数,

(1)如果积 xy 是定值P,那么当 x ? y 时, 和 x ? y 有最小值 2 P

(2)如果和 x ? y是定值S,那么当 x ? y 时,

积 xy 有最大值 1 S 2
4

3.运用以上结论求最值要注意下列三个问题: (1)要求各数均为正数; (2)要求“和”或“积”为定值; (3)要注意是否具备等号成立的条件.简称 “ 一正、二定、三相等 ”.

讲授新课:一、配凑法求最值

讲授新课:一、配凑法求最值
例 1 例 1 :a, b是正数且a ? b ? 4,求ab的最值
a ?b ? ? 4 ? ? 解:ab ? ? ? ?? ? ? 2 ? ?2?
2 2

?4

当且仅当a=b=2时等号成立

所以ab的最大值为4

变形1:a, b是正数且2a ? b ? 4,求ab的最值
1 1 ? 2a ?b ? 1 ? 4 ? ab ? 2a ? b ? ? ? ? ? ?2 ? 解: 2 2 2 2 2
2 2

当且仅当2a=b

?

?

? ?

时等号成立,即a=1,b=2时ab的最大值为2

b 变形2:a, b是正数且a ? ? 4,求ab的最值 2

? b? a? ? ? 2? 解: ab ? 2 ? a ? b ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ?
当且仅当a=
b 2

2

4? ? ? 2? ? ?2?

2

?8

时等号成立,即a=2,b=4时,

ab的最大值为8.

变式3:

b ? 已知a>0,b>0,且 a 2
2

2

? 1, 求a 1 ? b

2

的最大值。

典例导悟

[例 2](1)

4 已知 x>2,求 y=x+ 的最小值; x-2
y ? 4x ? 2 ? 1 , 的最大值。 4x ? 5

5 x ? (2)已知 4 , 求函数

4 (3)已知 x<3,则 f(x)= +x 的最大值是________. x-3

(1)∵x>2,∴x-2>0, 4 4 ∴x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 ≥2 4 ?x-2?· +2=6, x-2

4 当且仅当 x-2= ,即 x=4 时,等号成立. x-2 4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2

1 (3)若x ? 3,函数y ? x ? ,当x为何值时,函数 x ?3 有最值,并求其最值。

解:   ?x ? 3 1 1 ?y ? x ? ? ( x - 3) ? ?3 x ?3 x -3 1    ? 2 ( x ? 3) ? ?3? 5 x ?3 1 当且仅当x ? 3 ? ,即x ? 4时,函数有最大值, x ?3 最大值为5。

题型二:拆项法求函数的最值
ax 2 ? bx ? c 二y ? mx ? n

类型函数求最值

题型探究

例3
x2-4x+5 5 (1)已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4 5 5 A.最大值 B.最小值 4 4 C.最大值 1 D.最小值 1 )

【解析】 2)+

x2-4x+ 5 ?x-2? 2+1 1 (1)由已知 f(x)= = = [(x- 2 2x- 4 2? x- 2?

1 ], x-2 5 ∵ x≥ , x- 2>0, 2 1 1 1 1 ∴ [(x-2)+ ]≥ · 2 ?x-2? · = 1, 2 x-2 2 x-2 1 当且仅当 x- 2= ,即 x= 3 时取等号. x-2 故 f(x)的最小值为 1,选 D.

x +7x+10 (2)已知 x>-1,试求函数 y= 的最小值. x+1
?x+1?2+5?x+1?+4 4 解:y= =(x+1)+ +5, x+1 x+ 1 ∵x>-1,∴x+1>0. ∴y≥2 4 4 ?x+1?· +5=9,当且仅当 x+1= , x+1 x+1

2

即 x=1 时,函数取得最小值 9,故函数的最小值为 9.

类型三 :含两个变量的最值问题

类型三 :含两个变量的最值问题
1 4 例 4、 (1)已知 x,y∈(0,+∞),且 x +y =1,求 x+y 的最 小值.

解:

1 4 y 4x x+y=(x+y)( + )=1+ + +4 x y x y

y 4x y 4x =x+ y +5≥2· x· y +5=9, ?1 4 ?x+ y =1, 当且仅当? ?y=4x, ?x y 故 x+y 的最小值为 9.

即 x=3,y=6 时,等号成立,

例5 (1)已知

x, y ? 0 且

x ? y ? 1,求

2 1 ? x y

的最小值. 的

(2)已知正数 x, y 满足 最小值.
2 1 (1)原式=( x ? y )( x ? y)

1 1 ? ? 2,求 x ? 2 y x y

x 2y ? 3? 2 2 ? 3? ? y x

1 2y x ? 3 ? 2 1 1 1 ? ) ( 2) x ? 2 y ? ( x ? 2 y )( ? ) ? (3 ? 2 2 x y 2 x y

类型三 :含两个变量的最值问题
1 1 (2)已知x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1,求 ? 的最小值 x y 解: ? x ? 2y ?1
1 1 x ? 2y x ? 2y 2y x ? ? ? ? ? 1? ? ?2 x y x y x y 2y x 2y x ? x ? 0, y ? 0,? ? ?2 ? ?2 2 x y x y 1 1 ? ? ? 3? 2 2 x y 2y x 2 当且仅当 ? 即x ? 2 ? 1且y ? 1 ? 时等号成立。 x y 2 1 1 ? ? 的最小值为3 ? 2 2 . x y

例5、当0<x<1时,求
解:因为x+(1-x)=1

4 9 y? ? x 1? x

的最小值

9 ? 9 x 4?1 ? x ? ?4 ? 所以 y ? ?x ? ?1 ? x ??? ? ? ? ? 4?9? 1? x x ? x 1? x ? ? 0 ? x ? 1?1 ? x ? 0
9 x 4?1 ? x ? 9 x 4?1 ? x ? ? ? ?2 ? ? 12 1? x x 1? x x 9x 4?1 ? x ? 2 当且仅当 ? 即x ? 时等号成立 1? x x 5 4 9 ?y ? ? ? 13 ? 12 ? 25 x 1? x 4 9 ?y ? ? 的最小值为25 . x 1? x

3.已知:x∈(0, 1 ),则
2

解析

x∈(0, 1 ),1-2x>0,又2x+(1-2x)=1,
2

2 9 的最小值为____. ? 25 x 1? 2x

原式可化为: ( 4 ? 9 )[ 2 x ? (1 ? 2 x)] 2x 1 ? 2x
2(1 ? 2 x) 18 x ? 13 ? ? x 1? 2x 2(1 ? 2 x) 18 x ? 13 ? 2 ? ? 25 . x 1? 2x

类型三 :含两个变量的最值问题
[例 3] 若正数 a, b 满足 ab=a+b+3, 则 ab 的取值范围为____.

[解] 范围.

由 ab=a+b+3 求出 b,将 ab 转化为关于 a 的函数,再求

a+3 由已知,得 b(a-1)=a+3,即 b= 由于 a>0,b>0,所以 a>1, a-1 a+3 a+3 a+3 4 于是 ab = a· = [(a - 1) + 1]· =a+3+ =a-1+ + a-1 a-1 a-1 a-1 5≥2 4 ?a-1?· +5=9. a-1

类型三 :含两个变量的最值问题
4 当且仅当a-1= (a>1),即a=3时,等号成立,此 a-1 时b=3.所以ab的取值范围为[9,+∞).

变式训练
当点( x, y )在直线x ? 3 y ? 2 ? 0上移动时,求 y ? 3x ? 27 y ? 1的最小值.

解:y ? 3 ? 27 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1
x y x 3y

? 2 3 ?3
x

3y

?1 ? 2 3

x ?3 y

?1

? 2 ? 3 ?1 ? 7 当且仅当3x =33 y 即x ? 3 y时取得等号 1 此时x ? 1, y ? ? 最小值为7 3

利用 基本 不等 式, 整体 解决

3.设a,b为实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值为 ( ) A.6 C .2 2 B.4 2 D.8


解析:2a+2b≥2 2a b=2 23=4 2.

答案:B

看谁更聪明!

已知( x ? 1)( y ? 1) ? 4, 其中x ? ?1, y ? ?1, 求x ? y的最小值。

y2 3.已知x, y, z为正实数, 满足x ? y ? 2 z ? 0, 求 的最小值. xz
解:因为x, y , z为正实数 x ? y ? 2z ? 0 x ? 2z ? y y2 ? x ? 2z ? ? xz xz x 2 ? 4 xz ? 4 z 2 ? xz x 4z ? ? ?4 z x
2

消元

?2 4?4?8 x 4z ? 时 z x 即x ? 2 z时等号成立 当且仅当 ? y2 ? 所以 ? ? ?8 xz ? ? min

类型四:分子化为常数型,分母应用基本不等式

1.求函数

6 x2 ? 1 y? 的最大值 2 x ?4
6 x ?1 ?
2

6 x2 ? 1 6 x2 ? 1 解: y ? ? 2 ? 2 x ?4 ( x ? 1) ? 3

3 x2 ? 1



x ?1?
2

3 x2 ? 1

?2 3

?y ?

6 2 3
2

? 3
3 x2 ? 1 即x 2 ? 2, x ? ? 2 时取得最大值

当且仅当 x ? 1 ?

x 2.函数 f(x)= 的最大值为( x +1 2 A. 5 1 B. 2
1

) D.1

2 C. 2
1 ≤ 2 1 1 = , 1 2

解析:∵f(x)=

x+
当且仅当 x= 1

x



x

x

即 x=1 时等号成立.

答案:B

1. 两个不等式 (1)

a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab

(当且仅当a ? b时取" ?"号)
a?b (2) ab ? (a>0,b>0) 当且仅当a=b时,等号成立 2

注意:1.两公式条件,前者要求a,b为实数;后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用:主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正,二定,三相等”

3. 利用基本不等式求最值时,如果无定值,要先配、凑出 定值,再利用基本不等式求解。

作业:
1、 (1)a,b都是正数且2a+b=2,求a(1+b) 的最值和此时a、b的值. (2) a , b是正数, a ? 2b ? 2, a (1 ? 2b )
2 2 2

的最值是

.

作业:
1 2、(1)已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3
3 (2)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2

1 1 (3)已知 x、y 为正数,且满足 2x+y=1,求 + 的最 x y 小值.
?

1 9 若x, y ? R 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值。 (4) x y

作业:
1 3、(1)若x>3,求函数 y ? x ? 的最小值 x ?3
2 x -4x+5 5 (2)已知 x≥2,求 f(x)= 的最小值. x-2

(3)求函数

x ? 3x ? 1 f ( x) ? ( x ? ?1) x ?1
2
a

的最小值.

(4)已知2a ? b ? 2, 求f ( x) ? 4 ? 2 的最值及
b

此时的a和b.

作业:

4、 若x,

y ? R 且2x ? y ? xy ? 0,

?

求x ? y的最小值。

1 解:(1)∵0<x< ,∴ 1- 3x> 0. 3 1 ∴ y= x(1-3x)= · 3x(1-3x) 3 1?3x+? 1- 3x? ?2 1 ≤ = , 3? 2 ? 12 1 1 当且仅当 x= 时,函数 y= x(1- 3x)取得最大值 . 6 12

(2)∵ x> 0, y> 0,2x+y=1, 1 1? 1 1 ? ∴ + = (2x+ y)?x+ y ? x y y 2x = 3+ + ≥ 3+2 x y y 2x y 2x · = 3+ 2 2(当且仅当 = ,即 x= x y x y

2- 2 , y= 2- 1 时取等号). 2 1 1 ∴ + 的最小值为 3+ 2 2. x y

x -4x+5 5 (2)已知 x≥2,求 f(x)= 的最小值. x-2
x2-4x+5 5 解:∵x≥ ,∴x-2>0,∴f(x)= = 2 x-2 ?x-2?2+1 1 1 =(x-2)+ ≥2.当且仅当x-2= ,即x=3 x-2 x-2 x-2 时,等号成立.故当x=3时,ymin=2.

2


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