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2018届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理


第二节
考纲要求 1.理解命题的概念;

命题及其关系、充分条件与必要条件
☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 真题举例 命题角度

2016, 北京卷, 4,5 分(充要条件 1. 分析四种命题的相互关系;由原命 的判断) 题写另一种命题;

2.了解“若 p,则 q”形式的命题的逆 命题、 否命题与逆否命题, 会分析四种 命题的相互关系; 3.理解充分条件、 必要条件与充要条件 的含义。

2016, 天津卷, 5,5 分(充要条件 2. 判定指定条件之间的关系;探求某 的判断) 结论成立的充要条件、充分不必要条

2014, 全国卷Ⅰ, 9,5 分(逻辑推 件或必要不充分条件;与命题真假性 理判断) 结合。

微知识 小题练

自|主|排|查 1.命题 (1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫 做真命题,判断为假的语句叫做假命题。 (2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系

-1-

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件

p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件
微点提醒

p? q 且 q p p?q p q且q

p

q 且 q? p

p

1.“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,否命题是既否定命题的条件,又否 定命题的结论,命题的否定只否定结论。 2.由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困 难时,可转化为判断它的逆否命题的真假。 3.“p 是 q 的充分不必要条件”即为“p? q 且 q 即为“q? p 且 p

p”;“p 的充分不必要条件是 q”

q”。
小|题|快|练

一 、走进教材 1. (选修 1-1P10 练习 T3(2)改编)“(x+1)(y-2)=0”是“x=-1 且 y=2”的________条 件。 【解析】 因为(x+1)(y-2)=0, 所以 x=-1 或 y=2, 所以(x+1)(y-2)=0

x=-1 且 y=2,

x=-1 且 y=2? (x+1)(y-2)=0,
所以是必要不充分条件。 【答案】 必要不充分 2.(选修 1-1P8 习题 1.1A 组 T2(1)改编)“若 a,b 都是偶数,则 ab 必是偶数“的逆否命题 为________。 【解析】 “a, b 都是偶数”的否定为“a, b 不都是偶数”, “ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”,故其逆否命题为“若 ab 不是偶数,则 a,b 不都是偶数”。
-2-

【答案】 若 ab 不是偶数,则 a,b 不都是偶数 二、双基查验 1.(2016·天津高考)设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( A.充要条件 C.必要而不充分条件 )

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 由 x>y 推不出 x>|y|,由 x>|y|能推出 x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要 而不充分条件。故选 C。 【答案】 C π 2.命题“若 α = ,则 tanα =1”的逆否命题是( 4 π A.若 α ≠ ,则 tanα ≠1 4 π C.若 tanα ≠1,则 α ≠ 4 ) π B.若 α = ,则 tanα ≠1 4 π D.若 tanα ≠1,则 α = 4

【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若 α π π = ,则 tanα =1”的逆否命题是“若 tanα ≠1,则 α ≠ ”。故选 C。 4 4 【答案】 C 3.设集合 A,B,则“A? B”是“A∩B=A”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由 A? B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)? B,得 A? B,因此, “A? B”是“A∩B=A”成立的充要条件。故选 C。 【答案】 C 4 . “ 在 △ ABC 中 , 若 ∠ C = 90° , 则 ∠ A , ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 : ___________________________________________________。 【解析】 原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90°。 结论:∠A,∠B 都是锐角。否命题是否定条件和结论。 即“在△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A,∠B 不都是锐角”。 【答案】 在△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A,∠B 不都是锐角 5.若“x >1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________。 【解析】 由 x >1 得 x>1 或 x<-1。 由题意知{x|x<a} {x|x>1 或 x<-1},结合数轴可知,a≤-1,从而 a 的最大值为-1。
2 2

)

-3-

【答案】 -1

微考点 大课堂

考点一

四种命题及其相互关系 )

【典例 1】 (1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

(2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命 题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 ) B.假,假,真 D.假,假,假

【解析】 (1)由于“x,y 都是偶数”的否定是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数” 的否定是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶 数”。故选 C。 (2)先证原命题为真:当 z1,z2 互为共轭复数时,设 z1=a+bi(a,b∈R),则 z2=a-bi, 则|z1|=|z2|= a +b ,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取 z1=1,
2 2

z2=i,满足|z1|=|z2|,但是 z1,z2 不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假。
故选 B。 【答案】 (1)C (2)B 反思归纳 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提。 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例。 3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命 题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假。 π 1 【变式训练】 (1)命题“若 α = ,则 cosα = ”的逆命题是( 3 2 π 1 A.若 α = ,则 cosα ≠ 3 2 π 1 B.若 α ≠ ,则 cosα ≠ 3 2
-4-

)

1 π C.若 cosα = ,则 α = 2 3 1 π D.若 cosα ≠ ,则 α ≠ 2 3 (2)已知命题 α :如果 x<3,那么 x<5;命题 β :如果 x≥3,那么 x≥5;命题 γ :如果

x≥5,那么 x≥3。关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是(
①命题 α 是命题 β 的否命题,且命题 γ 是命题 β 的逆命题; ②命题 α 是命题 β 的逆命题,且命题 γ 是命题 β 的否命题; ③命题 β 是命题 α 的否命题,且命题 γ A.①③ C.②③ 【解析】 (1)命题“若 α = 故选 C。 是命题 α 的逆否命题。 B.② D.①②③

)

π 1 1 π ,则 cosα = ”的逆命题是“若 cosα = ,则 α = ”。 3 2 2 3

(2)命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件 和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定,然后交换条件与结论所 得,因此①正确,②错误,③正确。故选 A。 【答案】 (1)C (2)A 考点二 充分条件与必要条件的判断……多维探究

角度一:用定义法判断充分条件、必要条件 【典例 2】 (2016·北京高考)设 a,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|” 的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 取 a=-b≠0,则|a|=|b|≠0,|a+b|=|0|=0,|a-b|=|2a|≠0,所以|a +b|≠|a-b|,故由|a|=|b|推不出|a+b|=|a-b|。由|a+b|=|a-b|,得|a+b| =|a-
2

b|2,整理得 a·b=0,所以 a⊥b,不一定能得出|a|=|b|,故由|a+b|=|a-b|推不出|a|
=|b|。故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件。故选 D。 【答案】 D 角度二:用集合法判断充分条件、必要条件 【典例 3】 设 p:1<x<2,q:2 >1,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
x
0

x

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 由 2 >2 ? x>0,且{x|1<x<2} {x|x>0}可知:由 p 能推出 q,但由 q 不能得出

p,所以 p 是 q 成立的充分不必要条件。故选 A。
-5-

【答案】 A 角度三:用等价转化法判断充分条件、必要条件 【典例 4】 (2017·锦州模拟)给定两个命题 p,q。若綈 p 是 q 的必要而不充分条件, 则 p 是綈 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

【解析】 因为綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q? 綈 p 但綈 p 綈 q 但綈 q

q,其逆否命题为 p?

p,所以 p 是綈 q 的充分不必要条件。故选 A。

【答案】 A 反思归纳 充要条件的三种判断方法 1.定义法:根据 p

q,q

p 进行判断。

2.集合法:根据 p,q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断。 3.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题 进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何 种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的何种条件。 考点三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散 【典例 5】 (1)(2016·南昌模拟)已知条件 p: |x-4|≤6; 条件 q: (x-1) -m ≤0(m>0), 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的取值范围是( A.[21,+∞) C.[19,+∞)
2 2 2

) B.[9,+∞) D.(0,+∞)

(2)已知 P={x|x -8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}。若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件,则 m 的取值范围为________。 【解析】 (1)条件 p:-2≤x≤10,条件 q:1-m≤x≤m+1,又因为 p 是 q 的充分不必
? ?1-m≤-2, 要条件,所以有? ?1+m≥10。 ?
2

解得 m≥9。故选 B。

(2)由 x -8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S? P。 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ? ?1+m≤10,

∴0≤m≤3。

所以当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]。 【答案】 (1)B (2)[0,3]
-6-

【母题变式】 1.本典例(2)条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件。 【解析】 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
?1-m=-2, ? ∴? ? ?1+m=10,

∴?

?m=3, ? ? ?m=9,

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件。 【答案】 不存在 2.本典例(2)条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。 【解析】 由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P? S 且 S

P。

∴[-2,10] [1-m,1+m]。
? ?1-m≤-2, ∴? ?1+m>10 ? ? ?1-m<-2, 或? ?1+m≥10。 ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞)。 【答案】 [9,+∞) 反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化

为集合间的子集关系求解。但是,在求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的验证, 不等式中的等号是否能够取得,决定着端点的取值。 微考场 新提升 1.命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b =ac”的逆否命题是( A.“若 a,b,c 成等比数列,则 b ≠ac” B.“若 a,b,c 不成等比数列,则 b ≠ac” C.“若 b =ac,则 a,b,c 成等比数列” D.“若 b ≠ac,则 a,b,c 不成等比数列” 解析 根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b =ac” 的逆否命题是“若 b ≠ac,则 a,b,c 不成等比数列”。故选 D。 答案 D 2.已知向量 a=(sinα ,cosα ),b=(cosβ ,sinβ ),且 a 与 b 的夹角为 θ ,则“|a -b|=1”是“θ =60°”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2 2 2 2 2 2

)

-7-

解析 由条件可知|a|=|b|=1,若|a-b|=1,则(a-b) =1,即 a +b -2a·b=1,所 1 以 1+1-2cosθ =1,即 cosθ = ,故 θ =60°。同理,若 θ =60°,则|a-b|=1 也成立。 2 故“|a-b|=1”是“θ =60°”的充分必要条件。故选 C。 答案 C 1 2 1 2 3.设 m,n 为正实数,则“m<n”是“m - 2<n - 2”成立的(

2

2

2

m

n

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 1 2 1 2 2 2 解法一:m,n 为正实数是此题的大前提条件,所以可得 m - 2<n - 2?m -n -

m

n

? 12- 12?<0?(m-n)(m+n)?1+ 1 ? ?m n ? ? m2n2?<0?m<n, ? ? ? ?
1 2 1 2 故“m<n”是“m - 2<n - 2”成立的充要条件。故选 C。

m

n

1 1 2 2 解法二:构造函数 f(x)=x - 2(x>0),易知 f(x)=x - 2(x>0)是单调递增函数,任取 m,

x

x

n>0,当 m<n 时,f(m)<f(n),即 m2- 2<n2- 2;反之,当 f(m)<f(n)时,易得 m<n。故“m<n” m n
1 2 1 2 是“m - 2<n - 2”成立的充要条件。故选 C。

1

1

m

n

答案 C 1 1 4.已知在实数 a,b 满足某一前提条件时,命题“若 a>b,则 < ”及其逆命题、否命题

a b

和逆否命题都是假命题,则实数 a,b 应满足的前提条件是________。 1 1 1 1 解析 显然 ab≠0,当 ab>0 时, < ? ·ab< ·ab?b<a,所以四种命题都是正确的。当

a b a
1

b

ab<0 时,若 a>b,则必有 a>0>b,故 >0> ,所以原命题是假命题;若 < ,则必有 <0< ,故 a b a b a b a<0<b,所以其逆命题也是假命题;由命题的等价性可知,四种命题都是假命题。从而本题应
填 ab<0。 答案 ab<0 5.若 x<m-1 或 x>m+1 是 x -2x-3>0 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是 ________。 解析 由已知易得{x|x -2x-3>0} {x|x<m-1 或 x>m+1},又{x|x -2x-3>0}={x|x<
2 2 2

1

1 1

1

1

-8-

-1 或 x>3},
?-1≤m-1, ? ∴? ?m+1<3, ? ?-1<m-1, ? 或? ?m+1≤3, ?

∴0≤m≤2。

答案 [0,2]

-9-


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