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2.3.1双曲线及其标准方程(二) 教案(高中数学选修1-1北师大版)


2.3.1 双曲线及其标准方程(二) 教学目标 1.使学生掌握双曲线的定义,熟记双曲线的标准方程,并能初步应用; 2.使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程; 3.培养学生发散思维的能力 教学重点:标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 名 称 椭 y y 圆 双 曲 线 图 象 O x O x 平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭 圆。即 MF1 ? MF2 ? 2a 定 义 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆, 当 2 a =2 c 时, 轨迹是一条线段 F1 F2 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在 平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的 绝对值为常数(小于 F1F2 )的动点的 轨迹叫双曲线。即 MF1 ? MF2 ? 2a 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在 焦点在 x 轴上时: x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2 焦点在 x 轴上时: x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2 标 准 方 程 焦点在 y 轴上时: 焦点在 y 轴上时: 注:是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上 注:是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 常 数 (符合勾股定理的结构) c 2 ? a 2 ? b 2 (符合勾股定理的结构) a2 ? c2 ? b2 a, b, c a ? b ? 0, c?a?0 的 关 系 a 最大, c ? b, c ? b, c ? b c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b 二、讲解范例: 例 1 已知双曲线的焦点在 y 轴上,中心在原点,且点 P 1 (3,?4 2 ) , P 2 ( ,5) ,在此双曲线 上,求双曲线的标准方程 分析:由于已知焦点在 y 轴上,中心在原点,所以双曲线的标准方程可用设出来,进 行求解本题是用待定系数法来解的,得到的关于待定系数 a, b 的一个分式方程组,并且分母 的次数是 2,解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组;也可将 a , b 的倒数 作为未知数,直接看作二元一次方程组 解:因为双曲线的焦点在 y 轴上,中心在原点,所以设所求双曲线的标准方程为 2 2 9 4 y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a2 b2 ? (?4 2 ) 2 3 2 1 1 ? ? 2 ?1 ? 2 b ? 32 ? a 2 ? 9 ? b 2 ? 1 ? a ,即 ? 9 2 ? 1 81 1 ( ) 2 ?25 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 5 4 16 b a ? ? 2 ? 2 ?1 b ? a 1 1 1 1 1 1 , 2 的二元一次方程组,得 2 ? , 2 ? 2 16 b 9 a b a 则有 解关于 所以,所求双曲线的标准方程为 y2 x2 ? ?1 16 9 变式例题 1 点 A 位于双曲线 求 ?AF1F2 的重心 G 的轨迹方程 分析:要求重心的轨迹方程,必须知道三角形的三个顶点的坐标,利用相关点法进行 求解 注意限制条件 解:设 ?AF1F2 的重心 G 的坐标为 ( x, y ) ,则点 A 的坐标为 (3 x,3 y )

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