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2016年高二数学人教A版必修五3.4《基本不等式》word教案1


第一课时 3.4 基本不等式 ab ? a ? b (一) 2 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式 ab ? a ? b 的证明过 2 程; 教学难点:理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问: 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这 个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 ab ? a ? b 2 ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直 角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正 方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个 2 2 不等式: a ? b ? 2ab 。当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩 2 2 为一个点,这时有 a ? b ? 2ab 。 (教师提问 ?学生思考 ?师生总结) 2 2 ②思考:证明一般的,如果 a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取 ?号) ③基本不等式:如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , 通常我们把上式写作: ab ? a ? b (a>0,b>0) 2 ④从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 用分析法证明:要证 a?b ? ab (1), 只要证 a+b ? 2 2 a?b : 2 (2), 要证(2) ,只要证 a+b, 只要证( ) ( 4) , 显然, (4)是成立的。 ? 0(3)要证(3) 当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。 2 2 3 3 ⑤练习:已知 x、y 都是正数,求证:(1) y ? x ≥2;(2)(x+y) (x +y ) (x +y )≥8 x y xy. ⑥探究: 课本第 110 页的“探究” : (结论:如果把 3 3 a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 2 看作是正数 a、b 的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的 等比中项.) 2. 小结:①两正数 a、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。②理解“当且仅当 a=b 时 取等号”的数学内涵。 三、巩固练习: 1. 练习:教材 114 页练习的第 1 题。 2. 作业:教材 114 页习题[A]组的第 1 题. 第二课时 3.4 基本不等式 ab ? a ? b (二) 教学要求: 通知识与技能: 进一步掌握基本不等式 ab ? a ? b ; 会用此不等式证明不等式, 2 2 会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题; 教学重点:掌握基本不等式 ab ? a ? b ,会用此不等式证明不等式,求某些函数的最值。 2 教学难点:利用此不等式求函数的最大、最小值。 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:基本不等式,什么条件下取等号? 2. 提问:用基本不等式 ab ? a ? b 求最大(小)

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