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高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4_图文

?§6 余弦函数的图像与性质

?学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2. 理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦 函数的图像性质及其运用(难点).

知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y=cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线. 根据诱导公式 sin???x+π2???=cos x,x∈R.只需把正弦函数 y=sin x, x∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图).

?要画出y=cos x,x∈[0,2π]的图像,可以通过描出

?点(0,,1),再???π2用,光0???,滑(π曲,线-将1),它???32们π,连0???接,(起2π来,1,)

五个关键 就可以得到余弦

函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像.

? 【预习评价】

? (正确的打“√”,错误的打“×”)

?

(1)余弦函数y=cos 伸展.( )

x的图像可以向左、向右无√限

? (2)y=cos x 的图像与y=sin x的形状完全一样,只

是位置不同





?( )

? (3)y=cos x的图像与x轴有√无数个交点( )

? (4)y=cos x的图像关于y轴对称( )

? 知识点2 余弦函数的性质

函数 定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最大值与 最小值

y=cos x
__R___ _[_-__1_,_1_]_
_偶___函__数___
2π 为最小正周期 当 x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z) 时,递增; 当 x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 时,递减
当 x=2kπ(k∈Z) 时,最大值为 1 ; 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时,最小值为_-__1_

【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=-cos x的最小正周期为2π.( √ ) (2)函数y=-cos x在区间[0,π2]上是增函数.( √ ) (3)函数y=sin(x-π2)的图像关于x=0对称.( √ ) (4)函数y=sin(π2-x)是奇函数.( × )

题型一 余弦函数的图像及应用 【例1】 画出y=cos x(x∈R)的简图,并根据图像写出:
(1)y≥12时x的集合; (2)-12≤y≤ 23时x的集合.

?解 用“五点法”作出y=cos x的简图.

(1)过 ???0,12??? 点作x轴的平行线,从图像中看出:在[-π,π]区间与

余弦曲线交于???-π3,12???,???π3,12???点,在[-π,π]区间内,y≥12时,x

的集合为???x|-π3≤x≤π3???. 当x∈R时,若y≥12,

则x的集合为?????x???-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z

??
?.
??

(2)过???0,-12???,????0, 23????点分别作 x 轴的平行线,从图像中看出它 们分别与余弦曲线交于???-23π+2kπ,-12???,k∈Z,???23π+2kπ,-12???, k∈Z 点和????-π6+2kπ, 23????,k∈Z,????π6+2kπ, 23????,k∈Z 点,那么 曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求, 即当-12≤y≤ 23时 x 的集合为: ?????x???-23π+2kπ≤x≤-π6+2kπ 或
π6+2kπ≤x≤23π+2kπ,k∈Z??? .

? 规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤

? 【训练1】 (1)函数y=cos 2x,x∈[0,2π]的简图是 ()

解析 由 2x=0,π2,π,32π,2π 可得五点,描图知,A 为 x∈[0, π]上的简图;D 为 x∈[0,2π]上的简图.
答案 D

(2)作出函数 y=1-13cos x 在[-2π,2π]上的图像. 解 ①列表:

x y=cos x

0

π 2

π

3π 2



1 0 -1 0 1

y=1-13cos x

2 3

1

4 3

1

2 3

②作出 y=1-13cos x 在 x∈[0,2π]上的图像.由于该函数为偶函数, 作关于 y 轴对称的图像.从而得出 y=1-13cos x 在 x∈[-2π,2π] 上的图像.

? 题型二 余弦函数的性质 ? 【例2】 已知f(x)=2+cos x. ? (1)判断函数的奇偶性; ? (2)求函数的单调区间; ? (3)求函数的最小正周期.

?解 (1)∵f(x)=2+cos x的定义域为R且f(-x)=f(x), ?∴函数f(x)=2+cos x为偶函数. ?(2)∵y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在 [2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的, ?∴y=2+cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z), 单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). ?(3)由cos x的周期性知y=2+cos x的最小正周期为2π.

?规律方法 对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函 数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题 规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致.

【训练 2】 (1)求函数 y=1-12cos x 的单调区间; (2)比较 cos???-π7???与 cos187π的大小. 解 (1)∵-12<0, ∴y=1-12cos x 的单调性与 y=cos x 的单调性相反. ∵y=cos x 的单调增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),减区间是[2kπ, 2kπ+π](k∈Z). ∴y=1-12cos x 的单调减区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),增区间 是[2kπ,2kπ+π](k∈Z).

(2)cos187π=cos???2π+47π???=cos47π. cos???-π7???=cosπ7. 又 0<π7<47π<π, 且函数 y=cos x 在[0,π]上是减少的, ∴cosπ7>cos47π,即 cos187π<cos???-π7???.

? 【 例 3】 函 数 y = - cos2x + cos x 的 值 域 为 ________.

解析

?
y=-?cos
?

x-12???2+14.

因为-1≤cos x≤1,

所以当 cos x=12时,ymax=14.

当 cos x=-1 时,ymin=-2.

所以函数 y=-cos2x+cos x 的值域是???-2,14???. 答案 ???-2,14???

【迁移 1】 求本例中 x∈???0,π3???时函数的值域.



?
∵y=-?cos
?

x-12???2+14,

因为 x∈???0,π3???,所以12≤cos x≤1.

所以当 cos x=12时 ymax=14,

cos x=1 时 ymin=0,

∴原函数的值域为[0,14].

【迁移 2】 求本例中 x∈???-π2,π3???时函数的值域. 解 由 x∈???-π2,π3???,所以 0≤cos x≤1, 此时函数 y=-cos2x+cos x 的值域也为???0,14???.

【迁移 3】 若将本例改为已知函数 y=a-bcos x 的值域为 ???-12,32???,求 ab 的值. 解 ∵函数 y=a-bcos x 的最大值是32,最小值是-12. 当 b>0 时,由题意得:

??a+b=32, ???a-b=-12,

∴???a=12, ??b=1,

ab=12.

当 b<0 时,由题意得:

??a-b=32, ???a+b=-12,

∴???a=12, ??b=-1,

ab=-12. 综上所述,ab=±12.

? 规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的函数值域 求法
? (1)利用sin x,cos x的有界性.
? (2)利用sin x,cos x的单调性.
? (3)化为sin x=f(x)或cos x=f(x),利用|f(y)|≤1来确 定.
? (4)通过换元转化为二次函数.

? 课堂达标
? 1.下列函数中,不是周期函数的是( ) ? A.y=|cos x| B.y=cos|x| ? C.y=|sin x| D.y=sin|x| ? 解析 画出y=sin|x|的图像(图略),易知D选项
不是周期函数. ? 答案 D

2.设函数 f(x)=sin???2x-π2???,x∈R,则 f(x)是(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数

B.最小正周期为 π 的偶函数

C.最小正周期为π2的奇函数

D.最小正周期为π2的偶函数

解析 ∵sin???2x-π2???=-sin???π2-2x???=-cos 2x, ∴f(x)=-cos 2x. 又 f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), ∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数.
? 答案 B

? 3.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像和直线y=1围成 一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积是 ________.
? 解析 如图,可把x轴下方图形补到x轴上方阴影 部分,此时所围面积可变成一个矩形.
? 答案 2π

4.使 cos x=11-+mm有意义的实数 m 的取值范围是________. 解析 -1≤11-+mm≤1;即????11+-mm????≤1;|1+m|≤|1-m|且 m≠1, 得 m≤0.
? 答案 {m|m≤0}

5.(1)已知函数 y=lg(2cos x+1),求它的定义域和值域;

(2)求函数

?
y=?cos
?

x-12???2-3

的值域.

解 (1)2cos x+1>0,即 cos x>-12.

∴定义域为?????x???2kπ-23π<x<2kπ+23π,k∈Z

??
?.
??

令 y=lg t,t=2cos x+1,则 0<t≤3.

∴y≤lg 3,即值域为(-∞,lg 3].

(2)设 t=cos x,则-1≤t≤1. 原函数可转化为:y=???t-12???2-3. ∴当 t=12时,ymin=-3; 当 t=-1 时,ymax=-34. ∴值域为???-3,-34???.

? 课堂小结
? 1.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题 转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比 较,再利用单调性作出判断.
? 2.求三角函数值域或最值的常用求法
? (1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等 复合函数再利用换元或配方,或利用函数的单调性 等来确定y的范围.
? (2)将sin x或cos x用所求变量y来表示,如sin x= f(y),再由|sin x|≤1,构建关于y的不等式|f(y)|≤1,从 而求得y的取值范围.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/5/25

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谢谢欣赏!

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