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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2第二课时课件 新人教B版必修5


第二课时

课前自主学案 第 二 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2 1.余弦定理:__________________,_________ -2accosB c2=a2+b2-2abcosC __________,__________________. 2.利用余弦定理可解决两类问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个 角.

知新益能 1.判断三角形的形状 (1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些 特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等

边三角形等);
(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题, 一般地,应运用正弦定理和余弦定理,要么把它 统一为边的关系;要么统一为角的关系.再利用 三角形的有关知识,三角恒等变形方法、代数恒

等变形方法进行转化、化简,从而得出结论.

(3)常见结论: a、 c 是△ABC 的角 A、 设 b、 B、 C 的对边:

a2+b2=c2 ①若__________,则 C=90° ;
a2+b2>c2 ②若__________,则 C<90° ; a2+b2<c2 ③若__________,则 C>90° ;
π ④若 sin2A=sin2B,则 A=B 或 A+B= . 2

思考感悟 在△ABC中,a2 +b2 >c2 ,那么△ABC是锐角 三角形吗?

提示:不一定,因为由a2 +b2 >c2 只能说明C
为锐角,不能说明A、B也为锐角.

2.余弦定理与三角函数的综合问题

课堂互动讲练

考点突破

三角形中边角恒等式的证明 a-c· B sin B cos 例1 在△ABC 中,求证: = . sin A b-c· A cos
【分析】 要证的等式中,既含有边又含有

两角的正弦余弦,因此,可考虑应用正弦定 理和余弦定理将它转化成只含有边的等式.

a +c -b a-c a2-c2+b2 2ac 【证明】 左边= · 2 2 2= 2a b +c -a b-c 2bc 2b b 2 2 2= , b -c +a a sinB b 右边= = , sinA a ∴左边=右边, a-c· cosB sinB ∴ = . sinA b-c· cosA

2

2

2

自我挑战1

在△ABC中,D为BC的中点,求

证:2(AD2+BD2)=AB2+AC2. 证明:如图,延长AD至E,使AD=DE,连结 BE,CE,则四边形ABEC是平 行四边形.由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC, ①

AE2=BA2+BE2-2BA· cos∠ABE, BE·



①+②得:BC2+AE2=2AB2+AC2+BE2-
2AB· cos∠BAC-2BA· cos∠ABE.又因为 AC· BE·

∠ABE+∠BAC=π,BC=2BD,AE=2AD.
AC=BE,所以4(BD2+AD2)=2AB2+2AC2-

2AB· cos∠BAC+2BA· cos∠BAC,即 AC· AC·
2(BD2+AD2)=AB2+AC2.

三角形形状的判定
例2

在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=

2bccosBcosC,试判断三角形的形状. 【分析】 判断三角形的形状通常从三角形

内角的关系来确定,也可以从三边关系来确 定.

【解】 法一:将已知等式变形为: b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB· cosC. 由余弦定理并整理,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b -c 2 2 a +c -b 2 b +c -b · ( ) -c · ( ) 2ab 2ac 2 2 2 2 2 2 a +c -b a +b -c =2bc· · , 2ac 2ab [?a2+b2-c2?+?a2+c2-b2?]2 4a4 ∴b2 +c2 = = 2= 4a2 4a a2, ∴∠A=90° ,∴△ABC 为直角三角形.

a b c 法二:由 = = =2R,则已知条件 sinA sinB sinC 化为: 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B= 8R2sinBsinCcosBcosC. 又 sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B+C)=0. 又 0° <∠B+∠C<180° ,∴∠B+∠C=90° , ∴A=90° ,故△ABC 是直角三角形.
【点评】 利用正弦定理、余弦定理可以实 现边角关系的互化.

自我挑战2

△ABC中,已知a-b=c· (cosB-

cosA),试判断△ABC的形状.
解:法一:(角化边)由余弦定理,得 a-b= a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2+c2-b2 c( - ) = - 2ac 2bc 2a b2+c2-a2 , 2b 所以 2ab(a-b)=b(c2+a2-b2)-a[c2-(a2-b2)] =bc2+b(a2-b2)-ac2+a(a2-b2)=(b-a)c2+(b +a)(a2 -b2)=-(a-b)c2 +(b+a)2(a-b)=(a- b)[(b+a)2-c2],

所以0=(a-b)[(b+a)2 -c2 -2ab]=(a-b)(a2 + b2-c2),所以a-b=0或a2+b2-c2=0, 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. 法二:(边化角)由正弦定理,得sinA-sinB= sinC(cosB - cosA) = sin(A + B)(cosB - cosA) = (sinAcosB+cosAsinB)· (cosB-cosA)=sinAcos2B -sinAcosAcosB+cosAsinBcosB-sinBcos2A, 所 以 sinA(1 - cos2B) = - sinAcosAcosB + cosAsinBcosB+sinB(1-cos2A), 即sinAsin2B=-sinAcosAcosB+cosAsinBcosB +sinBsin2A,

即 sinAsin2B-cosAsinBcosB=-sinAcosAcosB +sinBsin2A, 所以 sinB(sinAsinB-cosAcosB)=sinA(sinAsinB -cosAcosB), 所以(sinAsinB-cosAcosB)(sinB-sinA)=0, 即-cos(A+B)=0 或 sinB=sinA. 因为∠A,∠B 为三角形的内角,所以∠A+∠B π = 或∠B=∠A, 2 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

余弦定理与三角函数综合的问题
例3 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为

3 a、b、c,且 cos2C+2cos(A+B)+ =0. 2 (1)求角 C 的大小; (2)若 c= 7,a=2,求 b 的值.
【分析】 利用二倍角公式及诱导公式求出C

角,结合余弦定理可求出b值.

【解】 (1)在△ABC 中, A+B=π-C, 由已知, 得 3 (2cos C-1)+2cos(π-C)+ =0, 2
2

整理,得 4cos2C-4cosC+1=0. 1 解得 cosC= ,又因 0° <C<180° ,∴C=60° . 2

(2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC, 即( 7)2=22+b2-2· 2bcos60° 化简, 得 b2-2b-3=0,解得 b=3 或 b=-1(舍去). ∴b=3.
【点评】 熟练应用三角公式化简求角,再 结合面积公式及正余弦定理是解决此类综合

题的关键,但要注意解关于边或角的方程时
根的检验.

自我挑战 3 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内 角,它们的对边分别为 a、b、c,且 cosBcosC 1 -sinBsinC= . 2 (1)求 A; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

1 解:(1)∵cosBcosC-sinBsinC= ,∴cos(B+C) 2 1 = . 2 π 又∵0<B+C<π,∴B+C= . 3 2π ∵A+B+C=π,∴A= . 3

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bc· cosA, 2π 得(2 3) =(b+c) -2bc-2bc· cos , 3
2 2

1 即 12=16-2bc-2bc· ),∴bc=4. (- 2 1 1 3 ∴S△ABC= bc· sinA= · = 3. 4· 2 2 2

方法感悟 1.正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包

含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已
知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三

角形一定可解.
2.正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互

换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关
系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而

使许多问题得以解决.

3.判断三角形的形状,一般考虑从两个方向

进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,
通常正、余弦定理结合使用;另一个方向是

角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理,
要注重边角转化桥梁——正、余弦定理.


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