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汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试 数学理


广东省汕头市金山中学 2013 届高三上学期期中考试 数学理试题
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.)

1. sin 660 o 等于( ) 3 1 A. B. 2 2 2.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

C. ? )

1 2

D. ?

3 2

3.已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i ) ? i ,则 i, j 夹角为( A.

??

? ?

?

??

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) D.

? 4

B.

? 6
? ?

C.

4. 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ?

??

? 3

2? 3


且此函数的图象如图所示, 则点 ?? , ? ? 的坐标是 ( ?, 2?

? ?? ? ? 4? ? ?? C. ? 4, ? ? 4?
A. ? 2, 5.函数 y ? e
ln x

B. ? 2,

? ?? ? ? 2? ? ?? D. ? 4, ? ? 2?


? x ? 1 的图象大致是(

? x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 a ? ( x, ? 2) ,b ? (1, y) ,则 z ? a ? b 的最大值是( ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?
A. ?1 B. 5
x



C. ?

7. 若函数 f ? x ? 的零点与函数 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 , 则 f ? x ? 可以是 ( A. f ? x ? ? e ? 1
x

5 2

D. 7 )

B. f ? x ? ? ln ? x ?

? ?

1? ? 2?

C. f ? x ? ? 4 x ? 1

D. f ? x ? ? ( x ? 1)

2

8.对于下列命题: ①在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2B ,则△ ABC 为等腰三角形; ②已知 a,b,c 是△ ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? ③设 a ? sin
?
6

,则△ ABC 有两组解;

2012? 2012? 2012? , b ? cos , c ? tan ,则 a ? b ? c ; 3 3 3 ?? ? ? ?? ④将函数 y ? 2sin ? 3x ? ? 图象向左平移 个单位,得到函数 y ? 2cos ? ? 3x ? ? 图象。其中正确命题的个数是 6? ? 6 6? ?

第 1 页 共 7 页

( ) A. 0 B. 1 C. 2 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

D. 3

9.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1, 0 ? , c ? ? 3, 4 ? .若 ? 为实数, a ? ? b // c ,则 ? ? 10.设 ? ? (0,

?

?

?

?

?

?

?

?



?
2

), 且函数y ? (sin ? ) x

2

?6 x ?5

的最大值为 16,则 ? ?

。 。

11.已知 sin? ? ?

? ?

??

4 3 2? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ,则 cos? ? ? ? ? sin ? ? ? ?? 3? 5 3 ? ? 2 ? ?

12.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

cos B ?

5 2 ? , A ? ,则 3 4




13.若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 14.函数 f ( x ) ?

x2 ? x4 .给出函数 f ( x) 下列性质:①函数的定义域和值域均为 ? ?1,1? ;②函数的图像 x?2 ?2

关于原点成中心对称;③函数在定义域上单调递增;④

?

A

f (x)dx ? 0 (其中 A 为函数的定义域) ;⑤ A 、

B 为函数 f ( x) 图象上任意不同两点,则 2< AB ? 2 。请写出所有关于函数 f ( x) 性质正确描述的序
号 。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x | | x ? a |? 2? , B ? ? x | (Ⅰ)求集合 A 和集合 B ; (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围。

? ?

2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

16. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,已知 A ( cos x , 1) , O 为坐标原点, OA ? OB ? OC , f ( x) ? | OC | . sin x ) , B (1,
2

??? ? ??? ?

??? ?

????

(Ⅰ)求 f ? x ? 的对称中心的坐标及其在区间 ? ?? , 0? 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ? x0 ? ? 3 ? 2 , x0 ? ?

? ? 3? ? , ,求 tan x0 的值。 ?2 4 ? ?

第 2 页 共 7 页

17. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 , x ? R. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin ? A ? C ? ? 2sin A ,求 a, b 的值.

18. (本小题满分 14 分)

1 3 x ? ?a ? 6?x ? ?4 ? 2a ? ln x , g ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? b 3 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ?x1 , x2 ? ?0,??? ,都有 f ?x1 ? ? g ?x 2 ? ,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)若 f ? x ? 在 ?0, m ? , ?n,??? 上单调递增,在 ?m, n ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围。
已知函数 f ?x ? ?

19. (本小题满分 14 分) 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ( ABCD) 的池底水平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是直 角顶点)来处理污水,管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别 落在线段 BC , AD 上。已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? 。 (Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ?

3 ?1 ,求此时管道的长度 L ; 2

D

C E

(Ⅲ) 问: 当 ? 取何值时, 铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。 F

A

H

θ

B

第 3 页 共 7 页

20. (本小题满分 14 分)

4x ? a 的单调递增区间为 ? m, n ? , 1 ? x2 (Ⅰ)求证: f (m) f (n) ? ?4 ; (Ⅱ) 当 n ? m 取最小值时, 点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )(a ? x1 ? x2 ? n) 是函数 f ( x) 图象上的两点, 若存在 x0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ' 使得 f ( x0 ) ? ,求证: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1
已知函数 f ( x) ?

第 4 页 共 7 页

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 参考答案
一、选择题(40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D
? 6

A
11.

C
12.

A
2 2 3

D

B

C
14.②④

C

二、填空题(30 分) 9.

1 2

10.

4 5

13. ? ??, ?3? ? ?3, ?? ?

三、解答题(80 分) 15.解: (Ⅰ)由 | x ? a |? 2 ,得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,即 A ? (a ? 2, a ? 2) …………………3 分

2x ? 6 x?4 ?1? ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 , x?2 x?2 即 B ? (??, ?4) ? (?2, ??) ………………………………………………………………………6 分 ? a ? 2 ? ?4 ? ?4 ? a ? ? 2 , (Ⅱ) A ? B ? R ? ? ? a ? 2 ? ?2 ?4 ? a ? ?2 …………………………………………………………………12 分 ?a 的取值范围是 ??? ? ??? ? sin x) , OB ? (1 , 1) , 16.解:? OA ? (cos x , ??? ? ??? ? ??? ? 则 OC ? OA ? OB ? (1 ? cos x , 1 ? sin x) …………… ……………………2 分 ???? 2 ? f ( x) ?| OC | ? (1 ? cos x)2 ? (1 ? sin x)2


? 3 ? 2(sin x ? cos x) ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) ……………………………………………………4 分 4
(Ⅰ)由 x ? 当 2k? ?

?

? ? ? 3) ,k ? Z ? k? ,k ? Z ,即 x ? k? ? ,k ? Z ?对称中心是 (k? ? , 4 4 4

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

3? ? 5? ,k ? Z 时 f ( x) 单调递减,即 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ? Z 2 4 4

2 k? ? ? f ( x) 的单调递减是 [2k? ? , 4

?

5? ] k ? Z ………………………………………6 分 4

3? ? ? f ( x) 在区间 ? ?? , 0? 上的单调递减区间为 ? ?? , ? ? .………………………………………8 分 4 ? ?
(Ⅱ) ? f ( x0 ) ? 3 ? 2 2sin( x0 ?

?

? 1 ) ? 3 ? 2 ? sin( x0 ? ) ? 4 4 2

? 3? ? 3? ? 5? 7? ……………………………………10 分 ? x0 ?[ , ],? x0 + ?[ , ? ]? x0 + = 即x0 = 2 4 4 4 4 6 12

? tan x0 ? tan

7? ?? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ? 3 。…………………………………………………12 分 12 ?3 4?

17.解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 …………………………2 分 2 2 2 6

则 f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ?

2? ? ? ……………………………………………4 分 2
第 5 页 共 7 页

(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6

?

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ??

?
6

? 2C ?

?
6

?

11 ? 6

? 2C ?

?
6

?

?
2

?C ?

?
3

……………………………………………………………………………6 分

? sin( A ? C ) ? 2sin A 由正弦定理得
由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
2 2

a 1 ? ①………… …………………9 分 b 2

?
3

即 a ? b ? ab ? 9 ②……………………………………………………………………………12 分 由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 …………………………………………………………………14 分 18.解: (Ⅰ) f ( x) 定义域为 (0, ??) 当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 3 x ? 4 x , f ' ( x) ? x 2 ? 4 ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 (舍) 3

x
f ' ( x) f ( x)

(0,2) ↘

2 0

(2,??)
+ ↗

∴ f ( x) 的递减区间为(0,2) ,递增区间为 (2,??) …………………………………………4 分 (Ⅱ)∵ ?x1 , x2 ? (0,??) 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 ∴ g ( x) max ? f ( x) min ………………………………………………………………………………5 分

16 3 2 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? b , g ( x) max ? g (1) ? 1 ? b ……………………………………………7 分 16 19 ∴ 1 ? b ? ? ,∴ b ? ? ……………………………………………………………………8 分 3 3 4 ? 2a x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a 2 ? (Ⅲ) f ?( x) ? x ? (a ? 6) ? …………………………………9 分 x x 由条件知 m, n 恰为 f ?( x) ? 0 的两个不相等正根, 3 即 x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? 0 恰有两个不相等正根,……………………………………………10 分
由(Ⅰ)知 f ( x) min ? f (2) ? ? 对于方程 a( x ? 2) ? x ? 6 x ? 4 ? 0 显然 x ? 2 是方程的一个解,……………………………11 分
3

当 x ? 2 时, a ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 3 ( x ? 0 且 x ? 2 )
2 2

当 x ? 0 时, ? x ? 2 x ? 2 ? 2
2

当 x ? 2 时, ? x ? 2 x ? 2 ? ?6 …………………………………………………………………13 分 ∴ a ? 2 且 a ? ?6 ………………………………………… ……………………14 分 10 10 10 19.解: (Ⅰ) EH ? , FH ? , EF ? sin ? cos ? cos ? sin ?
2

由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 , AF ? 所以 L ?

3 10 ? ? ? tan ? ? 3 , ? ? [ , ] 。……3 分 ? 10 3 , 3 tan ? 6 3

? ? 10 10 10 , ? ? [ , ] ………………………………………………5 分 ? ? 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ?

第 6 页 共 7 页

3 ?1 3 时, sin ? cos ? ? , L ? 20( 3 ? 1) ;…………………………10 分 2 4 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ,设 sin ? ? cos? ? t , (Ⅲ) L ? 10 ? 10 ? = 10 ? ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?
(Ⅱ) sin ? ? cos ? ? 则 sin ? ? cos ? ?

t 2 ?1 ? ? ,由于 ? ? [ , ] , 2 6 3
在[

20 所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ? ) ? [ 3 ? 1 , 2] , L ? t ?1 4 2
于是当 t ? 答:当 ? ?

2 时? ?

?

3 ?1 , 2] 内单调递减, 2

?
4

4

. L 的最小值 20( 2 ? 1) 米……………………………………………13 分

时,所铺设管道的成本最低,此时管道的长度为 20( 2 ? 1) 米………………14 分

?4 x 2 ? 2ax ? 4 ……………………………………………………………2 分 (1 ? x 2 ) 2 a ? ?m ? n ? ? 2 依题意 m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根有: ? 2 ………………………………4 分 ? ?mn ? ?1
20.解: (Ⅰ) f ?( x ) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) f ( m) f ( n ) ? ? ? ? ? ?4 ……………6 分 a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4 a2 2 ?4 ?2 (Ⅱ)? n ? m ? (m ? n) ? 4mn ? 4 ?n ? m 取最小值时, a ? 0, n ? 1, m ? ?1 ,……………………………………………………7 分 ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
? f ' ? x0 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,从而 x0 ? ? ?1,1? ………………………………………………8 分

x ?x ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 1 ? x x 即 ?1 ? x ? ?1 ? x ??1 ? x ?
2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 0 2 1 2 2

f ?( x0 ) ?

2 4 ?1 ? x0 ?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ?
1

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

4 ?1 ? x1 x2 ?

2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?1 ? x ?
0

1 ? x0 2

2 2

?

1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ………………… …………10 分 ? 2 2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x1x2 ?2
1? x
2 '

? x ? 1? ? 2 ,故当 x ? 0,1 时,有 g ' x ? 0 , 考虑函数 g ? x ? ? ,因 g ? x ? ? ? ? ? ? 2 4 ?1 ? x ? ?1 ? x ?
2 2 2 所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数. ?由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ,得 x0 ? x1 x2 ? x1 . ? x0 ? x1. …………12 分



2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 2 2 2 2 2 2 ? 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 ?1 ? x0 ? ? ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ? ?1 ? x2 ? 故 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )

1 ? x0 2 ? 1 ? x2 2 ,即 x0 ? x2 .? x1 ? x0 ? x2 ………………………………14 分

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