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3.1数系的扩充和复数的概念


3.1.1 数系的扩充与复数的概念 【教学目标】 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数 的基本概念 (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 (3)了解复数的代数表示方法 【教学重难点】 重点:引进虚数单位 i 的必要性、对 i 的规定、复数的有关概念 难点:实数系扩充到复数系的过程的理解,复数概念的理解 【教学过程】 一、创设情景、提出问题 问题 1:我们知道,对于实系数一元二次方程 ,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充, 使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?

问题 2:类比引进 ,就可以解决方程 在有理数集中无解的问题,怎么解决 在实数集中无 解的问题呢?

问题 3:把实数和新引进的数 i 像实数那样进行运算,并希望运算时有关的运算律仍成立, 你得到什么样的数? 二、学生活动 1.复数的概念: ⑴虚数单位:数__叫做虚数单位,具有下面的性质: ①_________ ②______________________________________ ________ ⑵复数:形如__________叫做复数,常用字母___表示,全体复数构成的集合 叫做______,常用字母___表示. ⑶复数的代数形式:_________,其中____叫做复数的实部,___叫做复数 的虚部,复数的实部和虚部都是___数. (4)对于复数 a+bi(a,b∈R), 当且仅当_____时,它是实数; 当且仅当_____时,它是实数 0; 当_______时, 叫做虚数; 当_______时, 叫做纯虚数; 2.学生分组讨论 ⑴复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系? ⑵如何对复数 a+bi(a,b∈R)进行分类? ⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 3.练习:

(1).下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚 部各是什么? 2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0, 5 i +8, 3-9 i (2)、判断下列命题是否正确: (1)若 a、b 为实数,则 Z=a+bi 为虚数 (2)若 b 为实数,则 Z=bi 必为纯虚数 (3)若 a 为实数,则 Z= a 一定不是虚数 三、归纳总结、提升拓展 例 1 实数 m 分别取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 解:

归纳总结: 确定复数 z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数的条件是:

练习:实数 m 分别取什么值时,复数 2 2 z=m +m-2+(m -1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 两个复数相等,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.也就是 a+bi=c+di _______________________(a、b、c、d 为实数) 由此容易出:a+bi=0 _______________________ 例 2 已知 x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中,x,y 为实数,求 x 与 y.

四、反馈训练、巩固落实 1、若 x,y 为实数,且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i 求 x 与 y.

2、若 x 为实数,且(2x -3x-2)+(x -5x+6)i=0,求 x 的值.

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