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高中数学-圆锥曲线第七节(巧妙讲解)


圆锥曲线

第七节、圆锥曲线的题型一(定义的应用) 【典型例题讲解】
【例 1】已知 F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长度 9 16
.

等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0) 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为

【例 2】已知点 A( 2, 0) ,抛物线 C : x ? 4 y 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M , 与其准线相交于点 N ,则 FM : MN ? A. 2 : 5 B. 1 : 2 . C. 1 : 5 D. 1 : 3

2

【答案解析】

【例 3】考察双曲线定义;问题关键是: c ?

a 2 ? b 2 ? 5 ,知点 A(5,0)

y

为右焦点,又因点 A 在线段 PQ 上,易知 PQ ? 4b ? 16 ; 由定义知:

P

? PF ? PA ? 2a ? ? QF ? QA ? 2a ? PF ? QF ? 4a ? PQ ? 12 ? 16 ? 28 ? ? PA ? AQ ? PQ
则 PF ? QF ? PQ ? 44 .

F

O

A Q

x

1

圆锥曲线
【例 4】解法一:已知 A( 2, 0) , F ? 0,1? ,由截距式得: 直线 AF 所在的直线方程为
y

x ? y ?1 2 ?x 3? 5 ? ? y ?1 ; ? y 2 ? 3 y ? 1 ? 0 ? y1 ? ?2 2 ?x 2 ? 4 y ? y2 ? 3? 5 (舍去). 2 FM MN ? 1 ? y1 1 ? . 故答案:C. 1 ? y1 5
O

F

M

A

P

?

x N

由几何关系得:

解法二:设 ?MNP ? ? ,由题知, FM ? MP ,要求 FM : MN , 即求 MP : MN ,也就是求 sin ? ;直线 AF 斜率 k ? 所以在直角三角形 MPN 中, tan ? ?

1? 0 1 ?? 0?2 2

1 1 .故答案:C. ? sin ? ? 2 5

知识索引: 倾斜角 ? , (? ?

? ) 的正切值就是直线斜率,即 tan ? ? k ;则与倾斜角互补的的角 ? ? ? 的 2

正切为 tan(? ? ? ) ? ? k ;

2


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