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第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数_图文

第三章 三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

结束

端点

正角 负角 象限角

零角

结束

半径长

角 α 的弧度数公式

l |α|=r(弧长用 l 表示)
?180?° ? ? π ? rad=? _____

角度与弧度的换算

π ①1°= rad;②1 180

弧长公式 扇形面积公式

弧长 l= |α|r

1 2 1 |α|r lr 2 2 S= =_______

结束

三角 函数

正弦

余弦

正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义

y 叫做 α 的 ___ x 叫做 α y __ x 叫做 α 的正切,记 ___ 正弦,记作 的余弦,记 作 tan α 作 cos α sin α

结束

三角函数 Ⅰ 各象限 符号 Ⅱ

正弦 + +

余弦 + -

正切 + -













三角函 数线

OM 有向线段____ MP 有向线段____ AT 有向线段____
为正弦线 为余弦线 为正切线

结束

1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是 A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

(

)

答案:C 2.(教材习题改编)3 900°是第________象限角,-1 000°是

第________象限角.
答案:四 一 3. (教材习题改编)已知半径为 120 mm 的圆上, 有一条弧的长

是 144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为________. 答案:1.2

结束

1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90°的角是概 念不同的三类角. 第一类是象限角, 第二、 第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个 式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐 标轴上的情况. 4. 三角函数的定义中, 当 P(x, y)是单位圆上的点时有 sin α=y, y cos α=x,tan α=x,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r, y x y 则 sin α=r ,cos α = r ,tan α=x.

结束

1.下列说法正确的是 A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同

(

)

D.若 β=α+k· 360°(k∈Z),则 α 和 β 终边相同

x 2.若角 α 终边上有一点 P(x,5),且 cos α= (x≠0),则 sin 13 α=________. 5 答案: 13

答案:D

结束

考点一

角的集合表示及象限角的判定

???????????????????基础送分型考点——自主练透?

1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角; ② 是第三角限角; ③-400°是第四 4 3 象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 B. 2 个 D.4 个
解析

)

结束

α 2.(易错题)若角 α 是第二象限角,则 是 2 A.第一象限角 C.第一或第三象限角 B.第二象限角

(

)

D.第二或第四象限角

解析:∵α 是第二象限角, π ∴ +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 2 π α π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z. 4 2 2 α 当 k 为偶数时, 是第一象限角; 2 α 当 k 为奇数时, 是第三象限角. 2 答案:C

结束

3.设集合

? ? k ? ? ? ? ? 180°+45°,k∈Z? M=?x x=2· ? ? ? ? ? ? ?,那么 ? ?

,N= ( )

? ? ? k ?x?x= · 180°+45°,k∈Z 4 ? ? ?

A.M=N C.N?M

B.M?N D.M∩N=?

解析

结束

4.在-720°~0°范围内所有与 45°终边相同的角为 ________.

解析:所有与 45°有相同终边的角可表示为: β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°, 765 45 得-765°≤k×360°<-45°,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1, 代入得 β=-675°或 β=-315°. 答案:-675°或-315°

结束

结束

结束

1.已知扇形的周长是 6,面积是 2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 C.1 或 4 B. 4 D.2 或 4

)

解析:设此扇形的半径为 r,弧长为 l, 2r+l=6, ? ? ? ? ?r=1, ?r=2, 则?1 解得? 或? ? ? rl=2, ?l=4 ?l=2. ? ?2 l 4 l 2 从而 α=r= =4 或 α=r= =1. 1 2

答案:C

结束

2.(易错题)若扇形的圆心角是 α=120°,弦长 AB=12 cm, 则弧长 l=________cm.
解析:设扇形的半径为 r cm,如图.
6 由 sin 60°= r , 得 r=4 3 cm, 2π 8 3 ∴l=|α|· r= ×4 3= π cm. 3 3 8 3 答案: π 3

结束

3.已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时, 扇形的面积最大?
解:设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40. 1 2 1 又 S = θr = r(40 - 2r) = r(20 - r) = - (r - 10)2 + 2 2 100≤100. 当且仅当 r=10 时,Smax=100,此时 2×10+10θ=40, θ=2. 所以当 r=10,θ=2 时,扇形的面积最大.

结束

结束

任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内 容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 常见的命题角度有: (1)三角函数值的符号判定; (2)由角的终边上一点的 P 的坐标求三角函数值; (3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值.

结束

解析

结束

4 解析:因为 A 点纵坐标 yA= ,且 A 点在第二象限,又因 5 3 为圆 O 为单位圆,所以 A 点横坐标 xA=- ,由三角函数 5 3 的定义可得 cos α=- . 5 3 答案:- 5

结束

3.已知角 α 的终边上一点 P(- 3,m)(m≠0),且 sin α= 2m ,则 m=________. 4
解析:由题设知 x=- 3,y=m, ∴r2=|OP|2=(- 3)2+m2(O 为原点),r= 3+m2. m 2m m ∴sin α= r = = , 4 2 2 ∴r= 3+m2=2 2, 即 3+m2=8,解得 m=± 5. 答案:± 5

结束

解:设 α 终边上任一点为 P(-4a,3a), 3 4 3 当 a>0 时,r=5a,sin α= ,cos α=- ,tan α=- ; 5 5 4 3 4 3 当 a<0 时,r=-5a,sin α=- ,cos α= ,tan α=- . 5 5 4

结束

结束

“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(十八)”
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