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金陵中学2013-2014学年度第一学期高三数学期中试卷


金陵中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学期中试卷
(满分:160 分,考试时间:120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应的位 置上. 1 2 1.设集合 A={x|- <x<2} ,B={x|x ≤1} ,则 A∪B= 2 2.复数 i (1-2i)的实部是
2 2



. . . .

3.命题“ ? x∈R,x +ax+1<0” 的否定是 4.函数 f(x)= 1-log3x的定义域是

5.在各项均为正数的等比数列{an}中, 已知 a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则 a4+ a5+ a6 =

6.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,向量 c=2a+b.则向 量 c 的模为 .
2 2

x y 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y= 3x 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程, a b 则此双曲线的离心率为 .

8.已知直线 l⊥平面α ,直线 m?平面β ,则下列四个命题: ①若α ∥β ,则 l⊥m; ③若 l∥m,则α ⊥β ; ②若α ⊥β ,则 l∥m; ④若 l⊥m,则α ∥β . 其中正确命题的序号是 .

9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y = 5 下方的概率为 .

π 10.已知 f(x)=3sin(2x- ),若存在α ∈(0,π ),使 f(α +x)= f(α -x)对一切实数 x 恒成 6 立,则α = .
2 2

11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2-a )>f(a),则实 数 a 的取值范围是 . .
2 x

12.已知函数 f(x)= |lg(x-1)| 若 a≠b,f(a)= f(b) ,则 a+2b 的取值范围是

13..定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f(x+5)=16,当 x∈(-1,4]时,f(x)=x -2 ,则函数 f(x)在[0,2013]上的零点个数是_____. 4 +k?2 +1 14.已知函数 f(x)= x x ,若对任意的实数 x1,x2,x3,不等式 f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立, 4 +2 +1 则实数 k 的取值范围是 .
x x

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ........

说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a=(2cosx , 2sinx) ,b=( 3cosx , cosx),设函数 f(x)=a?b- 3, 求: (1) f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若 f (

?

? ) ? f ( ? ) ? 6 , 且α ∈( ,π ). 求α . 2 2 6 2 12

?

?

?

π

16.(本题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为平行四边形,四边形 ADEF 是正方形,且 BD⊥平面 CDE,H 是 BE 的 中点,G 是 AE,DF 的交点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

17.(本题满分 14 分) 已知等差数列{an}中,首项 a1=1,公差 d 为整数,且满足 a1+3<a3, a2+5> a4,数列{bn}满足 bn = ,其前 n 项和为 Sn. an an+1 1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 S2 为 S1,Sm (m∈N )的等比中项,求正整数 m 的值. (3)对任意正整数 k,将等差数列{an}中落入区间(2 ,2 )内项的个数记为 ck,求数列{cn}的前 n 项 和 Tn
k 2k *

18.(本小题满分 16 分) 如图,某自来水公司要在公路两侧铺设水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线铺设线路 l1,在路南侧沿直线铺设线路 l2,现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通.已知 AB = 60m,BC = 80m,公路两侧铺设水管的费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分铺设水管的费 π 用为每米 2 万元,设∠EFB= -α ,矩形区域内的铺设水管的总费用为 W. 2 (1)求 W 关于α 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角α .
公路 公路 l1 A E D

B

F

C

l2

19.(本小题满分16分)

x y 3 已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率e= ,椭圆C的上、下顶点分别为A1,A2,左、右 a b 2 2 5 顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2.原点到直线A2B2的距离为 . 5
y

2

2

(1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过原点且斜率为 的直线 l,与椭圆交于 E,F 点,试 2 判断∠EF2F 是锐角、直角还是钝角,并写出理由; (3)P 是椭圆上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2,分别交
B1

A1

T P G N B2 x

F1 O

F2

M

A2

x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,
并求出该定值.

20.(本大题满分 16 分)

|x| 2 已知函数 f(x)=a + x(a>0,a≠1) a

(1)若 a>1,且关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (2)设函数 g(x)= f(-x),x∈[-2,+∞) g ? x ? 满足如下性质:若存在最大(小)值,则最 , 大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

金陵中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学期中试卷

参考答案
1.{x|-1≤x<2} 2.(-1) 3. ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0
2

4.(0,3]

5.16

6.2 3 7.2 8. ① ③

解析|c|2=(2a+b)2=4a2+4a· 2=4+4× 2× b+b 1× cos60° +4=12,即|c|=2 3 解析由题意
b c b ? 3 ,∴e ? ? ( )2 ? 1 ? 2 . a a a

1 9. .解析点 P 在直线 x+y = 5 下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能, 6 6 1 故其概率为 = . 6× 6 6 10.

? 5?
3 , 6

11.(-2,1)

12. 2 2 ? 3

13.604

解析 由 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,可知 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 16 ,则 f (x ? 5) ? f ( x ?5) ?0 ,所
2 x 以 f ( x) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 ( ?1, 9] 上,函数 f ( x) ? x ? 2 在

x ? (?1, 4] 区间内有 3 个零点,在 x ? (4,9] 区间内无零点,故 f ( x) 在一个周期上仅有 3 个
零点, 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期, x ? [0,3] 时也存在一个零点 x ? 2 , f ( x) 又 故 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3 ? 201 ? 1 ? 604 . 14. [? , 4] .解析 f ( x) ? 则 f (t ) ?

1 2

4 x ? k ? 2 x ? 1 2 x ? 2? x ? k x ?x ? x ,令 2 ? 2 ? t , 4x ? 2x ? 1 2 ? 2? x ? 1

t?k (k ? 1) ? 1? (t≥2) . t ?1 t ?1

原题等价为:对于 t≥2 , [2 f (t )]min≥ f (t )]max 恒成立,求实数 k 的取值范围. [ (1)当 k ? 1 时,显然成立; (2)当 k ? 1 时,

k ?2 k ?2 1 ≤f (t ) ? 1 ,由 2( )≥1 ,得 ? ≤k ? 1 ; 3 3 2 k ?2 k ?2 ,由 2 ?1 ,得 1 ? k≤4 . ≥ 3 3
1 2

(3)当 k ? 1 时, 1 ? f (t )≤

综上,实数 k 的取值范围为 [? , 4] .
2 15.解 f ( x) ? a? ? 3 = 2 3 cos x ? 2sin x cos x ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? b

? ? ?

?
3

) -3



2? ? ? ---------------5 分 2 5? ? ? ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k ? ? 12 12 2 3 2 5? ? , k? ? ](k ? Z ) ---------------8 分 ∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? 12 12 ? ? ? ? (2)∵ f ( ? ) ? f ( ? ) ? 6 , 2 6 2 12
(1)函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ∴2sin ? ? 2cos ? ? ∴2 2 sin(? ? ∴sin(? ? ∴? ?

6,

?
4

) ? 6 …………………………………………………………11 分
3 ? ? ? 3? ,∵? ? ( , ? ) ,∴? ? ? ( , ), 2 2 4 4 4

?
4

)?


?
4

?

?
3

2? 7? 11? ,∴? ? 或 ---------------14 分 3 12 12

16.证明:⑴G 是 AE, DF 的交点,∴G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点, ∴?EAB中, GH // AB , ∵ ABCD 为平行四边形 ∴ AB∥CD ∴GH // CD , ----------------------------------------------4 分 ---------------2 分

又∵CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴GH // 平面 CDE
? ⑵ BD ? 平面CDE ,

-------------------7 分

所以 BD ? ED , 又因为四边形 AFED 为正方形,

-------------------9 分

? ED ? AD ,
? AD ? BD ? D ,

------------------10 分

ED ? 面ABCD ,? ED ? 面AFED 面AFED ? 面ABCD .

-----------------12 分

----------------14 分

? a1 ? 3 ? a1 ? 2d , 3 5 17.解: (1)由题意,得 ? 解得 < d < . 2 2 ? a1 ? d ? 5 ? a1 ? 3d ,

……………………2 分

又 d∈ Z,∴ = 2. d ∴a n =1+(n-1) ? 2=2n-1. (2)∵bn ? ………………………4 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ………………………………..6 分 an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 n 1 1 1 1 1 1 ∴Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( …………………7 分 )? ? )] ? (1 ? 2 2n ? 1 2 n ? 1 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

∵S1 ?

1 2 m ? , S 2 ? , Sm ? , S 2 为 S 1 , S m ( m ? N )的等比中项, 3 5 2m ? 1
2

1 m ?2? 2 ∴S2 ? Sm S1 ,即 ? ? ? ? , 3 2m ? 1 ?5?

解得 m =12. (3)对任意正整数 k, 2 ? 2n ? 1 ? 2 ,则 2
k 2k
?
k ?1

……………………………………….9 分

?
,

1 1 ? n ? 2 2 k ?1 ? , 2 2
?????????????12 分

而k?N , 由题意可知 ck ? 22k ?1 ? 2k ?1

于是 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? ? ? ? ? ?cn ? (21 ? 23 ? ? ? ? ? ? ? ?22n?1 ) ? (20 ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?2n?1 )

?

2 ? 22 n ?1 1 ? 2n 22 n ?1 ? 2 22 n ?1 ? 3 ? 2n ? 1 ? ? ? (2n ? 1) ? , 1 ? 22 1? 2 3 3 2 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ? 1 . 3
??????14 分

即 Tn ?

18.解: (1)如图,过 E 作 EM ? BC , 垂足为 M,由题意得∠ MEF=α,

60 , AE ? FC ? 80 ? 60 tan ? ,……………….3 分 cos ? 60 ?2 所以 W ? (80 ? 60 tan ? ) ?1 ? cos ? π 4 120 , tan ? 0 ? ) ……..……………8 分 =80+ -60tanα(其中 0 ≤? ≤? 0 ? cosα 2 3 sin ? 1 ? 120 (2)W ? 80 ? 60 cos ? cos ? sin ? ? 2 . ? 80 ? 60 cos ?
故有 MF ? 60 tan ? , EF ? 设 f (? ) ?

sin ? ? 2 , cos ?

则 f ?(? ) ?

cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? ? . cos 2 ? cos 2 ?

………………11 分

令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2 sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 列表

? 1 ,得 ? ? . 6 2
( ,?0 ) 6
单调递减 …………… 14 分

?
f ?(? ) f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+ 单调递增

?

? 6
0 极大值

?

?
6

时有 f (? )max ? ? 3 ,此时有 Wmin ? 80 ? 60 3 .

答:铺设水管的最小费用为 80 ? 60 3 万元,相应的角 ? ? 3 , 2

?
6

. ………………… 16 分

19.解: (1)因为椭圆 C 的离心率 e=

故设 a=2m,c= 3m,则 b=m. 直线 A2B2 方程为 bx-ay-ab=0, 即 mx-2my-2m2=0. 所以 2m2 2 5 2 2= 5 ,解得 m=1. m +4m

x2 2 所以 a=2,b=1,椭圆方程为 +y =1. ………………… 5 分 4 2 x +y2=1, 4 2 2 (2)由 得 E( 2, ),F(- 2,- ).……………………………….7 分 1 2 2 y= x, 2

? ? ?

2 2 → → 又 F2( 3,0),所以F2E=( 2- 3, ),F2F=(- 2- 3,- ), 2 2 2 2 1 → → 所以F2E· 2F=( 2- 3)× F (- 2- 3)+ × (- )= >0. 2 2 2 所以∠ 2F 是锐角. EF (3)由(1)可知 A1(0,1) A2(0,-1),设 P(x0,y0), y0-1 x0 直线 PA1:y-1= x,令 y=0,得 xN=- ; x0 y0-1 y0+1 x0 直线 PA2:y+1= x,令 y=0,得 xM= ;……………………………………12 分 x0 y0+1 ………………… 10 分

1 x0 x0 解法一:设圆 G 的圆心为( ( - ),h), 2 y0+1 y0-1 1 x0 x0 x0 2 1 x0 x0 2 则 r2=[ ( - )- ] +h2= ( + ) +h2. 2 y0+1 y0-1 y0+1 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 OG2= ( - ) +h2. 4 y0+1 y0-1 1 x0 x0 2 1 x0 x0 2 x02 OT2=OG2-r2= ( - ) +h2- ( + ) -h2= .………….14 分 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1-y02 x02 而 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OT2=4, 4 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. 解法二:OM· ON=|(- x0 x0 )· |= , y0-1 y0+1 1-y02 x02 ………………… 16 分

x02 而 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OM· ON=4. 4 由切割线定理得 OT2=OM· ON=4. 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. ………………… 16 分

x 20.解:(1)令 a ? t , x ? 0 ,因为 a ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以关于 x 的方程 f ? x ? ? m 有两个不

同的正数解等价于关于 t 的方程 t ?

2 ? m 有相异的且均大于 1 的两根,即 关于 t 的方程 t

t 2 ? mt ? 2 ? 0 有相异的且均大于 1 的两根,…………………………………………2 分

?? ? m2 ? 8 ? 0, ? ?m 所以 ? ? 1, ,…………………………………………………………………4 分 2 ? ?12 ? m ? 2 ? 0 ?
解得 2 2 ? m ? 3 ,故实数 m 的取值范围为区间 (2 2,3) .……………………………6 分 (2) g ( x) ? a| x| ? 2a x , x ?[?2, ??) ① a ?1 时, 当 a) x ? 0 时, a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? [3, ??) , b) ?2 ? x ? 0 时,

1 ? a x ? 1 g ( x) ? a? x ? 2a x ,所以 2 a
x

g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ?

?x

2? ax ? ?1
2

ax

ln a ……8 分

ⅰ )当

1 1 ? 即 1 ? a ? 4 2 时,对 ?x ? (?2,0) , g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [ ?2, 0) 上递增, a2 2

所以 g ( x) ?[a2 ?

2 2 ,3) ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合…10 分 2 a a

ⅱ )当

1 1 1 1 ? 即 a ? 4 2 时 , 由 g '(x )? 0 得 x ? ? log a 2 , 且 当 ?2 ? x ? ? log 2时 , a 2 a 2 2 2

1 1 g '(x )? 0,当 ? loga 2 ? x ? 0 时, g '( x ) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [?2, ? log a 2] 上递减,在 2 2

1 ? 1 ? [? log a 2,0] 上递增,所以 g ( x) min ? g ? ? log a 2 ? ? 2 2 ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 2 2 ? ?
2 2 与 a 无关,符合要求.………12 分
② 0 ? a ? 1 时, 当 a) x ? 0 时, 0 ? a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? (0,3] b) ?2 ? x ? 0 时, 1 ? a x ?

1 , g ( x) ? a? x ? 2a x , 2 a
x

所以 g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ? 所以 g ( x) ? (3, a 2 ?

?x

2? ax ? ?1
2

ax

ln a ? 0 , g ( x) 在 [ ?2, 0) 上递减,

2 2 ] ,综合 a) b) g ( x) 有最大值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合……15 分 2 a a

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? 4 2 .………………………………………………16 分

金陵中学 2013-2014 学年度第一学期高三期中试卷 数学(附加题)
21【选做题】在下面 A,B,C,D 四个小题中只能选做两题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图, AB 为⊙ 的任一条不与直线 l 垂直的直径, 是⊙ 与 l 的公共点, 设 O P O AC⊥ l, BD⊥ l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD,求证: (1)l 是⊙ 的切线; O (2)PB 平分∠ ABD.

证明: (1)连结 OP, 因为 AC⊥ l,BD⊥ l, 所以 AC//BD. 又 OA=OB,PC=PD, 所以 OP//BD,从而 OP⊥ l. 因为 P 在⊙ 上, O 所以 l 是⊙ 的切线. ...........5 分 O (2)连结 AP, 因为 l 是⊙ 的切线, O 所以∠ BPD=∠ BAP. 又∠ BPD+∠ PBD=90° BAP+∠ ,∠ PBA=90° , 所以∠ PBA=∠ PBD,即 PB 平分∠ ABD. .........10 分 2 0 0 9 0 6 0 2

B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M=?

?1 2?,N=?0 -1?. ? ? ? ?3 4? ?1 3?

(1)求矩阵 MN; (2)若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0,1),求点 P 的坐标. 解: (1)MN=?

?1 2? ?0 -1?=?2 ? ? ? ? ?3 4? ?1 3? ?4

5? 9?

?;

…………5 分

(2)设 P(x,y),则 解法一:

?2 ? ?4

5? ?x?

?2x+5y=0, ?0? ? ? ?=? ?,即?4x+9y=1. ? 9? ?y? ?1?

?x=5, ? 5 解得? 2 即 P( ,-1). 2 ? ?y=-1,
解法二:

…………10 分

?2 因为? ?4

9 5? 5? ? 9 5?-1 ?-2 ? ?.所以?x?=?-2 2 2? ? =? ?? ? ? ? ?y? 9? ? 2 -1? ? 2 -1?

? 5 ? ?0?=? 2 ?. ? ? ? ? ?1? ?-1?
…………10 分

5 即 P( ,-1). 2

C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ( ? 为参数) , ? y ? 2sin ? , ?

若以直角坐标系 xoy 的原点为极点,OX 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线 l π 的极坐标方程为 ρsin(θ+ )=0, 求与直线 l 垂直且与曲线 C 相切的直线 m 的极坐标方程. 4 解: l : y ? ? x, C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ······ 分 ·····3 ····· 设m: y ? x?b,

? 直线 m 与 C 相切,可得

| 2 ?b| ······ ······ ? 2,?b ? 2 或 b ? ?3 2 ,······7 分 1?1

? 直线 m 的极坐标方程为
· · ? cos? ? ? sin? ? 2 ? 0 或 ? cos? ? ? sin ? ? 3 2 ? 0 ·10 分

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) ? 设 f(x)=x2 x+13,实数 a 满足| x-a|<1,求证:| f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 证: ? f ( x) ? x ? x ? 13 ,
2

?| f ( x) ? f (a ) |?| x 2 ? x ? a 2 ? a | ? x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ,
又? x ? a ? 1 ? ( x ? a ) ? 2a ? 1 ? x ? a ? 2a ? 1 ? 1 ? 2a ? 1 ? 2( a ? 1) .…………10 分 [必做题] 22. (本小题满分 10 分) 口袋中有 n(n∈N )个白球,3 个红球.依次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继 续取球,且取出的红球不放回;如果取到白球,就停止取球.记取球的次数为 X, 若 P(X=2)= 7 求: 30 (1)n 的值; (2)X 的概率分布与数学期望. 解: (1)由题知 P( X ? 2) ?
1 1 A3 ? An 3n 7 ? ? , 2 (n ? 3)(n ? 2) 30 An?3


即7n 2 ? 55n ? 42 ? 0,即(7n ? 6)(n ? 7) ? 0. 因为n ? N * , 所以n ? 7.????5分
(2)由题知,X 的可能取值为 1,2,3,4,所以

P( X ? 1) ?

1 A7 A 2 A1 7 7 7 ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? 3 3 7 ? , 1 30 120 A10 10 A10

P( X ? 4) ? 1 ?

7 7 7 1 ? ? ? , 10 30 120 120

所以,X 的概率分布表为

X P

1

2

3

4

7 10

7 30

7 120

1 120

所以 E ( X ) ? 1 ?

7 7 7 1 11 ? 2? ? 3? ? 4? ? . 10 30 120 120 8

答 X 的数学期望是

11 . 8

…………10 分

23. (本小题满分 10 分) 设 P1,P2,…,Pj 为集合 P={1,2,…,i}的子集,其中 i,j 为正整数.记 aij 为满足 P1∩P2∩…∩Pj=?的有序子集组(P1,P2,…,Pj)的个数. (1)求 a22 的值; (2)求 aij 的表达式. 解: (1)由题意得 P1,P2 为集合 P={1,2}的子集, 因为 P1∩P2=?, 所以集合 P={1,2}中的元素“1”共有如下 3 种情形: 1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1? P2;1?P1,且 1?P2; 同理可得集合 P={1,2}中的元素“2”也有 3 种情形, 根据分步乘法原理得,a22=3× 3=9; (2)考虑 P={1,2,…,i}中的元素“1”,有如下情形: 1 不属于 P1,P2,…,Pj 中的任何一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某一个,共 C j 种; 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某两个,共 C j 种; …… 1 只属于 P1,P2,…,Pj 中的某(j-1)个,共 Cj j 1种,


…………4 分

0

1

2

根据分类加法原理得,元素“1”共有 C j +C j +C j +…+Cj j 1=2j-1 种情形,


0

1

2

…………8 分 同理可得,集合 P={1,2,…,i}中其它任一元素均有(2j-1)种情形, 根据分步乘法原理得,aij=(2j-1)i. …………10 分


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