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高中数学第一章集合与函数概念1-3函数的基本性质1-3-1单调性与最大小值第二课时函数的最大小值学案含解析新

凡读书...... 须要读得字字响 亮,不 可误一 字,不 可少一 字,不 可多一 字,不 可倒一 字,不 可牵强 暗记, 只是要 多诵数 遍,自 然上 口,久 远不忘 。古人 云,“ 读书百 遍,其 义自见” 。 谓读得 熟,则 不待解 说,自 晓其义 也。余 尝谓, 读书有 三到, 谓心到 ,眼到 ,口到 。 高中数学第一章集合与函数概念 1-3 函数的基本性质 1-3-1 单调性与最大小值第二课时函数的最大小值学案含解析新 人教 A 版必修 1 [提出问题] 观察下面的函数图象: 问题 1:该函数 f(x)的定义域是什么? 提示:[-4,7]. 问题 2:该函数 f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什 么? 提示:3,-2. 问题 3:函数 y=f(x)的值域是什么? 提示:[-2,3]. [导入新知] 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 2.最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最小值. 邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子 何泣? ”原曰 :“孤 者易伤 ,贫者 易感。 夫书者 ,凡得 学者, 有亲也 。一则 愿其不 孤,二 则羡 其得学 ,中心 伤感, 故泣耳 。 ”师 恻然曰 :“欲 书可耳! ”原曰 :“ 无钱资 。”师 曰:“ 童子苟 有志, 吾徒相 教,不求 资也。 1 / 14 凡读书...... 须要读得字字响 亮,不 可误一 字,不 可少一 字,不 可多一 字,不 可倒一 字,不 可牵强 暗记, 只是要 多诵数 遍,自 然上 口,久 远不忘 。古人 云,“ 读书百 遍,其 义自见” 。 谓读得 熟,则 不待解 说,自 晓其义 也。余 尝谓, 读书有 三到, 谓心到 ,眼到 ,口到 。 [化解疑难] 1.函数最大(小)值的几何意义 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标; 函数的最小值对应图象 最低点的纵坐标. 2.函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系 (1)对一个函数来说,一定有值域,但不一定有最值,如函数 y =.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在区间 端点处取得,即最大值是 f(a)或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a). 图象法求函数的最值 [例 1] (1)函数 f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示, 则此函 数的最小值、最大值分别是( A.-2,f(2) C.-2,f(5) ) B.2,f(2) D.2,f(5) (2)求函数 f(x)=的最值. [解] (1)选 C 由函数的图象知,当 x=-2 时,有最小值-2; 当 x=5 时,有最大值 f(5). (2)函数 f(x)的图象如图: 由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1,无最大值. [类题通法] 用图象法求最值的一般步骤 [活学活用] 作出函数 y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断 是否存在最大值和最小值. 解:当 x≥2,即 x-2≥0 时, 邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子 何泣? ”原曰 :“孤 者易伤 ,贫者 易感。 夫书者 ,凡得 学者, 有亲也 。一则 愿其不 孤,二 则羡 其得学 ,中心 伤感, 故泣耳 。 ”师 恻然曰 :“欲 书可耳! ”原曰 :“ 无钱资 。”师 曰:“ 童子苟 有志, 吾徒相 教,不求 资也。 2 / 14 凡读书...... 须要读得字字响 亮,不 可误一 字,不 可少一 字,不 可多一 字,不 可倒一 字,不 可牵强 暗记, 只是要 多诵数 遍,自 然上 口,久 远不忘 。古人 云,“ 读书百 遍,其 义自见” 。 谓读得 熟,则 不待解 说,自 晓其义 也。余 尝谓, 读书有 三到, 谓心到 ,眼到 ,口到 。 y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=2-; 当 x<2,即 x-2<0 时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-2+. ?x-1?2-9,x≥2, ? ? ?? ? 2? 4 所以 y=? 1? 9 ?x-2?2+4,x<2. ?-? ? ? ? 画出该分段函数的图象,如图.由图象可知, 函数 y=|x-2|(x+1)在,[2,+∞)上是增函数; 在上是减函数. 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值. 利用单调性求函数的最值 [例 2] 已知函数 f(x)=x+. (1)求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求 f(x)在[2,4]上的最值. [解] (1)证明:设任意两个 x1,x2∈(1,+∞),并且 x1<x2. 则 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-x2 =(x1-x2)=. ∵x2>x1>1,∴x1-x2<0, 1 x1x2>1,∴x1x2-1>0, 故<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数. (2)由(1)可知 f(x)在[2,4]上是增函数, ∴当 x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4). 又∵f(2)=2+=,f(4)=4+=, ∴f(x)在[2,4]上的最大值为,最小值为. 邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子 何泣? ”原曰 :“孤 者易伤 ,贫者 易感。 夫书者 ,凡得 学者, 有亲也 。一则 愿其不 孤,二 则羡 其得学 ,中心 伤感, 故泣耳 。 ”师 恻然曰 :“欲 书可耳! ”原曰 :“ 无钱资 。”师 曰:“ 童子苟 有志, 吾徒相 教,不求 资也。 3 / 14

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