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湖南省浏阳一中、攸县一中2015-2016学年高二上学期期中联考试题 数学(文)


2015 年下期浏阳一中、攸县一中高二年级期中联考试卷 文科数学
命题人:浏阳一中 张先祥 审题人:浏阳一中 胡慧君

一.选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求) 1.不等式 2 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域(用阴影表示)是(
y y y y



o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

2. (浏阳一中选做)不等式 ?2 x 2 ? x ? 3 ? 0 的解集是( A. ?x | x ? ?1?
? C. ? x | x ? 1 ? x ? ? 3? ? 2? ? B. ? x | x ? ? 3? ? 2?



? D. ? x | x ? ?1或x ? ?

3? ? 2?

2. (攸县一中选做)已知椭圆 则 P 到另一焦点距离为( A. 2 B. 3
2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 , 25 16

) C. 5 D. 7 )

3.命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1,或 x ? ?1 C.若 x ? 1,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 4.实数 x ,条件 p : x 2 ? x ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1
1 ) ? 1 ,则 p 是 q 的( x B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 5.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b

)

A.a2<b2 B.ab<b2

C. + >2 D.|a|-|b|=|a-b|

b a

a b

6.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则 A.
15 16

a3 的值是( a5

)

B.

15 8

C.

3 4

D.

3 8

7.已知锐角三角形 ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为(

)

A.75° B.60° C.45° D.30° 8.设等差数列 ?an ?的前 n 项和是 S n ,若 ?am ? a1 ? ?am?1 ( m ?N*,且 m ? 2 ),则必定有 ( ) B. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0

A. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0

9.在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一确定的实数, 且具有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0). 1 则函数 f(x)=(ex)* x的最小值为( e A.2 B.3 C.6 D.8 )

10. 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn ? n2 ? n, 正 项 等 比 数 列 {bn } 中 , b2 ? a3 ,
2 bn?3bn?1 ? 4bn (n ? 2, n ? N? ) ,则 log 2 bn ? (

) D. n

A. n ? 1

B. 2n ? 1

C. n ? 2

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中 横线上)

?x-y≥0 11.设 x,y 满足约束条件?x+2y≤3,则 z=x+4y 的最大值为________. ?x-2y≤1
12. (浏阳一中选做) 已知 {an } 是等差数列, 若 2a7 ? a5 ? 3 ? 0 , 则 a9 的值是________.
x2 y2 12. (攸县一中选做)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距 a b
1 的 ,则该双曲线的离心率是 4 _____ __

13.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a7 ? 8, 则 a5 = ________.

14.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD =135°,则 BC 的长______.

1 2 ? 在 x ? ? 0,1? 时恒成立,则实数 m 的最大值为 ; 2x 1? x 三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 全 集 U=R, 非 空 集 合 x?2 A ? ?x < 0? , B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? < 0? . x?3 1 (1)当 a ? 时,求 ? CU B ? ? A ; 2

15.若不等式 m ?

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A= (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 18. (本小题满分 12 分)某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒 定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖, 每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,求: (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 19. (本小题满分 13 分)已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 ,S 2 ,S 3 成等差数 列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 是否存在正整数 n , 使得 sn ? 2015?若存在, 求出符合条件的所有 n 的集合; 若不存在,说明理由.

?
4

, cos B ?

2 5 . 5

20. (浏阳一中选做) (本小题满分 13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别

为 a,b,c,已知 cosC ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围.

x2 20. (攸县一中选做) (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的 4

长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程;

??? ? ??? ? (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方
程.

21. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 并且 a2 ? 2 ,S5 ? 15 , 数列 {bn } 满足: b1 ?
1 n ?1 , bn ?1 ? bn ???(n ? N ? ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 2 2n (I)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和公式 S n ;

(II)求数列 {bn } 的通项公式 bn 及前 n 项和公式 Tn ; 2 S (2 ? Tn ) (III)记集合 M ? {n | n ? λ, n ? N ? } ,若 M 的子集个数为 16,求实 n?2 数 λ 的取值范围。

参考答案: BDDAD CBABD 11.5 2 3 12. (浏阳一中选做)3 (攸县一中选做) 3 13. 4 15.
9 2

14. 8 2 16.

17. 【解析】(Ⅰ) ? cos B ? 分

2 5 5 且 B ? (0? ,180? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? 5 5

?2

cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(

3? ? B) 4

???????????4 分

? cos

3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10
? 1 ? cos 2 C ? 1 ? (?

?????6 分 ??8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C 由正弦定理得
BC sin A sin C ? AB

10 2 3 10 ) ? 10 10

,即

2

5 2 2

?

AB 3 10 10

,解得 AB ? 6 .?10 分

在 ?BCD 中, CD 2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ? 18. 解析:答案

2 5 ? 5 ,所以 CD ? 5 ????12 分 5

解:设铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,则顶部面积为 S ? xy

依题设, 40x ? 2 ? 45y ? 20xy ? 3200,?????4 分 由基本不等式得

3200? 2 40x ? 90y ? 20xy ? 120 xy ? 20xy ? 120 S ? 20S , ?????6


? S ? 6 S ?160 ? 0 ,即 ( S ?10)( S ? 6) ? 0 ,?????9 分
故 S ? 10 ,从而 S ? 100 ?????11 分 所以 S 的最大允许值是 100 平方米, 取得此最大值的条件是 40x ? 90 y 且 xy ? 100, 求得 x ? 15 ,即铁栅的长是 15 米。?????12 分

19.
【解析】 Ⅰ ? ? 设数列?an ?的公比为q, 则a1 ? 0, q ? 0.由题意得
2 3 2 ? ? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ?a1 ? 3, ??a1q ? a1q ? a1q , 即? 解得 ? ? 2 ?q ? ?2. ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? ?a1q ?1 ? q ? q ? ? ?18,

故数列?an ?的通项公式为an ? 3 ? ?2 ?
n 3??1 ? ? ?2 ? ? ? ? ? 1 ? ?2 n . ?Ⅱ?由?Ⅰ? 有Sn ? ? ? 1 ? ? ?2 ?

n ?1

.

若存在n, 使得Sn ? 2013,则1- ? ?2 ? ? 2013, 即 ? ?2 ? ? ?2012.
n n

当n为偶数时, ? ?2 ? ? 0, 上式不成立;
n n

当n为奇数时, ? ?2 ? ? ?2n ? ?2012,即2n ? 2012, 则n ? 11. 综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为

?n n ? 2k ? 1, k ? N , k ? 5?.
20. (浏阳一中选做) 解 (1) 由已知得 ? cos(A ? B) ? cos Acos B ? 3sin Acos B ? 0 , 即 sin Asin B ? 3 sin Acos B ? 0 .因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又
cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
? . 3 1 ,所以 2

(2)由余弦定理,有 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,因为 a ? c ? 1 , cos B ?
1 1 1 1 b 2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? b 2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . 2 2 4 4

y 2 x2 20. (攸县一中选做)解:1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? ? 1 (a ? 2) a 4

a2 ? 4 3 3 其离心率为 ,故 ,则 a ? 4 ? 2 a 2

故椭圆的方程为 (2)

y2 x2 ? ?1 16 4

A, B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ), ( xB , yB )

??? ? ??? ? 由 OB ? 2OA 及(1)知, O, A, B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上,
因此可以设直线 AB 的方程为 y ? kx
4 x2 2 ? 将 y ? kx 代入 ? y 2 ? 1中,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,所以 x A 1 ? 4k 2 4

将 y ? kx 代入

16 y 2 x2 2 ? ? ? 1 中,则 (4 ? k 2 ) x2 ? 16 ,所以 xB 4 ? k2 16 4

??? ? ??? ? 16 16 2 2 ? 由 OB ? 2OA ,得 xB ,即 ? 4 xA 2 4?k 1 ? 4k 2
解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x 21. 解析: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,

? a1 ? d ? 2 ?a1 ? 1 n2 ? n 由题意得 ? ,解得 ? ,∴ an ? n ,∴ S n ? 。 2 ?d ?1 ?5a1 ? 10d ? 15 b 1 n ?1 (2)由题意得 n ?1 ? ? , bn 2 n b b b 1 n n ?1 2 n 叠乘得 bn ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? b1 ? ( ) n ( ? ? ?? ) ? n . bn ?1 bn ? 2 b1 2 n ?1 n ? 2 1 2 1 2 3 n 由题意得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ① 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n ② Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? ? n ? 2 ②—① 得: Tn ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2n ?1 2 n ?1 1? 2 n?2 ∴ Tn ? 2 ? n 2 2 S (2 ? Tn ) n 2 ? n n2 ? n ? f ( n ) ? (3)由上面可得 n ,令 , n?2 2n 2n 3 3 5 15 则 f (1) ? 1 , f (2) ? , f (3) ? , f (4) ? , f (5) ? 。 2 2 4 16 2 n ?n 下面研究数列 f (n) ? 的单调性, 2n

(n ? 1) 2 ? n ? 1 n 2 ? n (n ? 1)(2 ? n) , ? n ? 2n ?1 2 2n ?1 ∴ n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 , f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n) 单调递减。 ∵集合 M 的子集个数为 16,∴ M 中的元素个数为 4, n2 ? n ∴不等式 n ? λ , n ? N ? 解的个数为 4, 2 15 ∴ ? λ ?1 16
∵ f (n ? 1) ? f (n) ?


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