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2011年高一数学优质课比赛课件:平面向量的数量积的坐标表示


平面向量的数量积的坐标表示

一.教学情境
已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b的夹角为? , 求cos? .

a ?b 根据以前的知识, cos ? ? . | a || b |

我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样 用 a和b的坐标表示a ? b呢?

二、新课学习
1.平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,
由于a ? b ? a ? b cos ?,所以

y A( x , y ) 1 1
j

i ?i ? 1 . j ? j ?1 .
i ? j ? j ? i ?0 .

B(x2,y2)
b

a

o

i

x

下面研究怎样用 a和b的坐标表示a ? b. 设两个非零向量
a =(x1,y1), b=(x2,y2),则

a ? x1i ? y1 j,b ? x2 i ? y2 j,
a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2.
2 2

故两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.即 y
A(x1,y1)
a
i

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

B(x2,y2)
b
j

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算.

2.向量的模和两点间的距离公式
(1)a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模
设a ? ( x, y), 则 a ? x2 ? y 2 , 或 a ?
2

x2 ? y 2 .

(2)两点间的距离公式
设A (x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 .

3.两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0
设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

(2)平行
设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

三、基本技能的形成与巩固
例1.已知a ? (3, 2), b ? (1, ?1), 求向量a与b的 夹角的余弦值.

解:设向量a与b的夹角为?,则 26 cos ? ? ? . 2 26 32 ? 22 ? 12 ? (-1) 3 ?1 ? 2 ? (-1)

26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26

例2.求以点C (a, b)为圆心,r为半径的圆的方 程(如图).
解:设M ( x, y)是圆上一点,则 | CM |? r,即CM ? CM ? r 2 .
因为CM ? ( x ? a, y ? b), 所以(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 即圆的标准方程.

y

M

如果圆心在坐标原点上,这时a ? 0,b ? 0, 那么圆的标准方程就是 x2 ? y 2 ? r 2 .

C

o

x

本堂小结
理解和应用向量的坐标表示公式解决问题:
1.数量积的坐标表示

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
2

2.向量坐标表示的求模公式 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2 3.平面内两点间的距离公式

AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2

2

4.两向量夹角的余弦

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

5.向量垂直的判定

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

四、课后练习
1.已 知 OA ? (?3,1), OB ? (0,5), 且 AC // OB, BC ? AB, 则 点 C的 坐 标 为
29 ? ? C ? ? 3, ? 3 ? ?

2.已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8), 则四边形ABCD的形状是 矩形.

a = (1,2), b = (-3,2), 若 k a ? 2b 与 2 a - 4 b 平行,则k =- 1
3.已知

.


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